Диссертация (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения), страница 4

Б. Кузнецова. Адаптация нейросетевого подхода [12] к решению задач пол­зучести выполнена совместно с А. Н. Васильевым. Программная реализация алгоритмов ней­росетевого моделирования в среде Mathcad выполнена автором диссертации.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 28 печатных иэлектронных изданиях, среди которых 2 статьи опубликованы в журналах, индексируемыхв Scopus [47,107], 4 – в журналах, рекомендованных ВАК РФ для представления результатовдиссертационного исследования на сосискание ученых степеней кандидата и доктора наук[8, 43, 44, 60], 3 – в сборниках научных статей [11, 39, 52], 18 – в тезисах докладов [10, 40–42,45,46,48–51,53–59,112].

Помимо этого, в соавторстве с Васильевым А. Н. и Кузнецовым Е. Б.написано приложение к монографии [9].В соавторстве с Е. Б. Кузнецовым создан и зарегистрирован программный комплекс«Численное решение задачи Коши. Метод наилучшей параметризации» (свидетельство огосударственной регистрации программы для ЭВМ № 2016613378).12Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заклю­чения и четырех приложений. Полный объём диссертации составляет 176 страниц с 28 ри­сунками и 56 таблицами. Список литературы содержит 115 наименований.Работа поддержана грантами РФФИ № 13-08-00473-а: «Математическое моделированиепроцессов нелинейного деформирования материалов со сложной реологией» (2013-2015) и№ 16-08-00943-а: «Математическое моделирование длительной прочности и разрушения принелинейном деформировании материалов» (2016-2018).Благодарности.

Прежде всего автор хотел бы выразить глубокую благодарность сво­ему научному руководителю Евгению Борисовичу Кузнецову за многолетнее внимание кработе и обсуждение кандидатской диссертации на всех этапах ее создания. Огромную при­знательность автор выражает Александру Николаевичу Васильеву, советы которого позво­лили значительно улучшить часть диссертационной работы, посвященную использованиюискусственных нейронных сетей. Автор безгранично признателен родителям Галине Влади­мировне и Сергею Алексеевичу за неоценимую моральную поддержку, без которой диссерта­ционная работа не была бы завершена.13Глава 1.

Традиционные методы решения начальных задачКак отмечалось во введении, в течение последних пятидесяти лет большое вниманиеуделяется исследованию ползучести материала применительно к расчету деформационно­прочностных характеристик элементов конструкций эксплуатируемых при различных тем­пературно-силовых режимах.

Во многих случаях процесс ползучести моделируется началь­ными задачами для систем нелинейных ОДУ, аналитическое решение которых возможнотолько в исключительных случаях. При этом, численное решение подобных задач осложне­но тем, что используемые определяющие уравнения ползучести могут быть c ПОТ. Тради­ционно при расчете конструкций на ползучесть применяются численные, например явныеметоды семейства Рунге-Кутты, или численно-аналитические методы, дополняемые упроща­ющими гипотезами для преодоления ПОТ. В данной работе также начнем исследование срассмотрения применения явных и неявных методов решения задачи Коши для вычислениядлительной прочности элементов конструкций, работающих в условиях ползучести.

Но вна­чале кратко остановимся на моделях, используемых в диссертации для описания процессаползучести вплоть до разрушения.1.1Математическое моделирование процесса ползучести металловОсновной проблемой, возникающей при расчетах элементов конструкций на прочность,является недопущение их разрушения, поэтому особое значение приобретает проблема дли­тельной прочности металлов, из которых изготовлены эти конструкции.Общепринятая схема расчета на длительную прочность конструкции разбивается надве самостоятельные задачи [24]: 1) определение напряженно-деформированного состоянияконструкции с использованием одной из теорий ползучести, 2) определение долговечностиконструкции с использованием одного из критериев длительной прочности.В конце 50-х годов XX века Л.

М. Качанов [34] и Ю. Н. Работнов [78] пришли к выводу,что использующихся в то время терминов механики деформируемого твердого тела (тензорынапряжений и деформаций, вектор перемещений) недостаточно для описания процесса дли­тельного разрушения материалов и элементов конструкций в условиях ползучести. Ими былпредложен новый подход к исследованию длительной прочности, названный кинетическим.Этот подход основан на использовании введенного параметра поврежденности . Исходномусостоянию материала ( = 0) соответствует значение = 0, при разрушении поврежденность становится равной единице [66].При использовании уравнений кинетической теории к расчету ползучести и длитель­ной прочности конструкции задачи определения напряженно-деформированного состоянияи длительной прочности совмещаются.

Рассмотрим далее два варианта кинетической теорииползучести.141.1.1Теория структурных параметров Ю. Н. РаботноваОдним из наиболее расспространенных подходов к моделированию процессов ползуче­сти и разрушения металлических конструкций является использование уравнений теорииструктурных параметров Ю. Н.

Работнова [79, с. 363-364; 22], которые в одномерном слу­чае с одним скалярным параметром поврежденности можно записать в виде системы ОДУвторого порядка⎧⎪⎪⎨ =⎪⎪⎩=1 (, ),Ψ(, )2 (, ),Ω(, )(1.1)где – деформация ползучести; – действующее напряжение, в общем случае переменное; – время; – температура; функциональные зависимости, входящие в правые части, опре­деляются по результатам эксперимента.В работе [109] с феноменологической позиции обоснована возможность конкретизациисистемы ОДУ (1.1) в виде соотношений⎧⎪⎪⎨ =⎪ ⎪⎩=1 (, ),Ψ(, )2 (, ).Ψ(, )(1.2)В случае постоянной температуры = const, уравнения системы (1.2) упрощаются⎧1 ()⎪⎪⎨ = Ψ() ,(1.3)⎪2 ()⎪⎩=.Ψ()В качестве начальных условий для системы ОДУ (1.3) берутся однородные(0) = 0, (0) = 0.(1.4)Искомыми функциями в задаче (1.3)-(1.4) являются () и (), () – известнаяфункция времени, в частности постоянная величина.

Решение задачи ищется в области = {(, , ) | 0 ≤ ≤ * , 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ * }, где * – значение деформации ползучестив момент разрушения; * – длительная прочность конструкции.Отметим некоторые особенности системы (1.3). Рассматриваются процессы деформиро­вания, для которых ˙ ≥ 0 и ˙ ≥ 0, т. е. процессы деформирования и накопления поврежденийв материале предполагаются монотонными. Функции 1 () и 2 () будем считать монотон­ными положительными, () будем полагать непрерывной функцией аргумента . В качествеΨ() будем рассматривать неотрицательные функции, причем для неупрочняющихся матери­алов, т.

е. таких материалов, для которых стадия неустановившейся ползучести отсутствует,15будем применять монотонно убывающие функции, такие что Ψ(1) = 0, а для упрочняющихсяматериалов немонотонные унимодальные функции, для которых Ψ(0) = 0, Ψ(1) = 0.Точное аналитическое решение задачи (1.3)-(1.4) может быть найденно, если удастсяпроинтегрировать второе уравнение системы (1.3)∫︁∫︁ Ψ() =02 (()).(1.5)0После выполнения интегрирования решение может быть записано в неявном виде () = ().Используем условие ′ () = Ψ() ≥ 0.

По теореме о неявной функции [35, с. 312],в открытой области 0 = {(, , ) | 0 < < * , 0 < < 1, 0 < < * } существует обратнаяфункция = −1 ( ). По начальным условиям (1.4) можно определить обратную функциюи при = 0, а учитывая, что в момент разрушения (* ) = 1, можно также установитьсуществование обратной функции = −1 ( ) при = * . Таким образом, решение дляпараметра поврежденности может быть записано в явном виде = −1 [()] = ().(1.6)Проведя аналогичные рассуждения для функции (), найдем явное выражение длявремени = −1 [ ()] ,а полагая = 1 в момент разрушения, получим соотношение для длительной прочности* = −1 [ (1)] .(1.7)Деформацию ползучести можно выразить в виде∫︁() =1 (()) =2 (())0∫︁ 1 (()) ˙() или () =2 (())0∫︁ 1 (()),Ψ [()](1.8)0˙где ()– первая производная функции () из равенства (1.6) по времени .Таким образом, полное решение задачи (1.3)-(1.4) в интегральном виде дается соотно­шениями (1.6), (1.7) и (1.8).1.1.2Определяющие уравнения в энергетической формеВ начале 70-х годов XX века Олегом Васильевичем Сосниным была предложена и экс­периментально обоснована конкретизация кинетических уравнений теории структурных па­раметров Ю.

Н. Работнова [79, с. 223-224]. В качестве параметра поврежденности О. В. Сос­нин предложил использовать величину удельной работы рассеяния , а за меру интенсивно­16сти процесса ползучести – величину удельной мощности рассеяния . Эта теория получиланазвание энергетического варианта теории ползучести (ЭВТП).

Дальнейшее развитие ЭВТПполучил в работах О. В. Соснина и его учеников [23, 72, 92]. Основные гипотезы, на которыхбазируется данная теория, следующие [92, с. 18-19; 91]:1. Процессы ползучести и разрушения – есть два сопутствующих и влияющих друг надруга процесса.2. За меру интенсивности процесса ползучести принимается величина удельной мощно­сти рассеяния , которая в линейном случае определяется выражением = ,где = / – компоненты тензора скоростей деформации ползучести , –компоненты тензора напряжений. Здесь предполагается суммирование по повторяю­щимся индексам. За меру повреждаемости материала – величина удельной работы∫︀рассеяния , которая в линейном случае определяется выражением .

Разруше­0ние материала наступает при достижении удельной работой рассеяния критическогозначения * , являющегося функцией температуры.3. Предполагается существование уравнения состояния, связывающего оба процессаползучести и разрушения по выбранным выше мерам в виде [91] = ( , , , 1 , 2 , . . .

, ),где =(1.9)√︀3 /2 – интенсивность напряжений; = − 0 – компоненты деви­атора тензора напряжений; 0 = /3 – гидростатическая (шаровая) составляю­щая тензора напряжений; – символы Кронекера; 1 , 2 , . . . , отождествляютсяс параметрами поврежденности.4. Далее ограничимся одним параметром поврежденности , кинетическое уравнениедля которого запишем в виде [91]= Ψ( , , , ), ( ,0) = 0, (* ,* ) = 1.(1.10)Считается, что в случае неповрежденного материала параметр во всех точках кон­струкции равен нулю; если в какой-либо точке с координатами * в момент времени = * он достигает значения равного единице, то говорят, что в этой точке произошлоразрушение, а время * называют временем начала разрушения конструкции.5.

Предполагается справедливым закон течения вплоть до разрушения в виде = ,где – эквивалентное напряжение.6. Материал считается пластически несжимаемым вплоть до разрушения = 0.17Экспериментально показано [92, с. 11-17; 91], что кривые ползучести = () подоб­ны при различных уровнях напряжений и температур. Учитывая этот факт, в одномерномслучае можно конкретизировать зависимости (1.9)-(1.10) и представить их в виде1 (, )=,1 ()2 ()(1.11)2 (, )=,3 ()4 ()(1.12)где функциональные зависимости 1 , 2 , 1 , .

. . ,4 определяются в экспериментах [91].Вместе с уравнением для определения дефоромации ползучести1 = · (1.13)(0) = 0, (0) = 0, (0) = 0,(1.14)и начальными условиямиполучим начальную задачу (1.11)-(1.14) для определения напряженно-деформированного со­стояния элементов конструкций вплоть до разрушения.Отметим, что задача (1.11)-(1.14) интегрируется аналитически только в исключитель­ных случаях. Однако, для определяющих соотношений энергетического варианта теорииползучести справедливо [91],*связывающее безразмерный параметр поврежденности и величину удельной работы рас­=сеяния . Используя это соотношение, можно преобразовать задачу (1.11)-(1.14) к виду(1.3)-(1.4), решение которой описано в параграфе 1.1.1.1.2Дифференциальные уравнения с одной предельной особойточкойВ предыдущем разделе были рассмотренны определяющие соотношения теории струк­турных параметров Ю.