Диссертация (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)УДК 519.62+539.376+539.434На правах рукописиЛеонов Сергей СергеевичМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЧИСЛЕННЫЕМЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯСпециальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы икомплексы программ»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Кузнецов Евгений БорисовичМосква — 2016ОглавлениеСтр.Введение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Глава 1. Традиционные методы решения начальных задач . . . . . . . . . . . .141.11.21.3Математическое моделирование процесса ползучести металлов . .

. . . . . . .141.1.1Теория структурных параметров Ю. Н. Работнова . . . . . . . . . . . .151.1.2Определяющие уравнения в энергетической форме . . . . . . . . . . . .16Дифференциальные уравнения с одной предельной особой точкой . . . . . . .181.2.1Модель чистого растяжения трубок из стали Х18Н10Т . . . . . . . .

. .191.2.2Моделирование процесса ползучести для образцов из сплава ОТ-4 . . .261.2.3Анализ полученных расчетных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35Дифференциальные уравнения с двумя предельными особыми точками . . . .361.3.1Модель растяжения образцов из стали 45 . . . . . . . . . . . . . . . . .371.3.2Модель растяжение образцов из сплава 3В . . .

. . . . . . . . . . . . . .431.3.3Анализ полученных расчетных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Глава 2. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая2.12.2параметризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50Метод продолжения решения по параметру для систем ОДУ . . . .

. . . . . .502.1.1Традиционный подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512.1.2Параметризация решения. Общий подход . . . . . . . . . . . . . . . . .522.1.3Наилучшая параметризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Наилучшая параметризация в задачах ползучести . .

. . . . . . . . . . . . . .542.2.1Наилучшая параметризация задачи растяжения образцов из стали 45 .552.2.2Наилучшая параметризация задачи растяжения образцов из сплава 3В582.2.3Наилучшая параметризация задачи растяжения образцов из сплава ОТ-4 622.2.4Анализ результатов наилучшей параметризации . . . . . .

. . . . . . .68Глава 3. Продолжение решения по модифицированному наилучшему3.1аргументу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70Модификация наилучшего аргумента продолжения для систем ОДУ . . . . .713.1.1О направлениях отсчета аргументов и в окрестности точкиинтегральной кривой . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .3.1.23.1.371Суммирование локальных отклонений между направлениями отсчетааргументов и в рассматриваемой области . . . . . . . . . . . . . . .85Эквивалентность аргументов и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8823.2-преобразование задач ползучести . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .913.2.1-преобразование задачи растяжения образцов из стали 45 . . . . . . .913.2.2-преобразование задачи растяжения образцов из сплава 3В . . . . . .983.2.3-преобразование задачи растяжения образцов из сплава ОТ-4 . . . . . 1023.2.4Анализ применения модифицированного наилучшего аргумента . . . . 109Глава 4.

Методы нейросетевого моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1Нейросетевое моделирование при решении начальных задач для систем ОДУ1114.2Идентификация параметров моделей ползучести . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2.1Модель растяжение образцов из титанового сплава 3В . .

. . . . . . . . 1134.2.2Модель растяжения образцов из стали 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2.3Комбинация искусственных нейронных сетей и продолжения решенияпо параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3Определение установившегося напряженно-деформированного состояния вовращающемся диске . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.44.3.1Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.3.2Традиционный алгоритм решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.3.3Нейросетевое решение . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.3.4Нейросетевое решение. Дискретизированная задача . . . . . . . . . . . 132Анализ применения искусственных нейронных сетей . . . . . . . . . . . . . . . 134Заключение . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Список сокращений и условных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Список рисунков .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Приложение А. Неявные методы при решении задач ползучести . . . . . . .

152А.1 Неявный метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152А.2 Гауссов метод четвертого порядка точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Приложение Б. Результаты экспериментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156Приложение В. Грамоты, дипломы, патенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Приложение Г.Комплекс программ «Численное решение задачи Коши.Метод наилучшей параметризации» . . . . . . . . . . . . . . . 1673ВведениеАктуальность темы. Многие практические задачи физики и механики моделируютсяплохо обусловленными задачами Коши для систем обыкновенных дифференциальных урав­нений (ОДУ) с несколькими предельными особыми точками (ПОТ), в которых правые частиуравнений системы теряет смысл.

Явные методы для решения таких задач могут оказать­ся малоэффективными и появляется необходимость в использовании специальных методоврешения жестких задач, к числу которых относятся и плохо обусловленные задачи.Уже в конце 40-х – начале 50-х годов XX века в вычислительной практике появил­ся ряд задач, решение которых при помощи традиционных явных методов численного ин­тегрирования задачи Коши сталкивалось со значительными затруднениями. Это задачимоделирования процесса переноса квазилинейным уравнением теплопроводности, электри­ческих цепей с затуханием, процессов горения и химического взаимодействия различныхвеществ.

Начиная с 50-х годов вопросами моделирования и расчета подобных задач зани­мались многие ученые: Ракитский Е. В., Арушанян О. Б., Бобков В. В., Калиткин Н. Н.,Скворцов Л. М., Демидов Г. В., Лебедев В. И., Новиков Е. А., Артемьев С. С., Gear C. W.,Dahlquist G., Rosenbrock H. H., Lambert J. D., Lubich Ch., Wanner G., Hairer E., Griffiths D. F.,Lindberg B., Verver J. G. и другие. Наиболее крупной работой по методам решения жесткихзадач является книга Хайрера Э.

и Ваннера Г. [99], также стоит упомянуть книги Декке­ра К., Вервера Я. [27] и Холла Дж., Уатта Дж. [88]. Среди отечественных авторов выделиммонографии Новикова Е. А. [75] и Ракитского Ю. В. с соавторами [80].В последнее время появилось множество публикаций, посвященных различным подхо­дам к решению жестких задач. В работе [30] Зубановым А. М., Коконковым Н. И. и Ширко­вым П. Д. предложено обобщение одностадийной схемы Розенброка с комплексными коэф­фициентами, также Ширковым П. Д. показана невозможность построения -устойчивыхметодов Розенброка-Ваннера для расчета жестких задач [103]. Большое количество статейв рассматриваемой области принадлежит Скворцову Л. М.

Им построены явные стабили­зированные (имеющие расширенные вдоль вещественной оси области устойчивости) методыРунге-Кутты 2-го и 3-го порядков и исследована их точность при решении жестких задач [86],рассмотрены явные адаптивные методы Рунге-Кутты (коэффициенты которых настраивают­ся на решение конкретной задачи) и показана эффективность их применения при решениижестких и осцилирующих задач [84, 85], получены эффективные реализации неявных ме­тодов Рунге-Кутты 2-го порядка и диагонально-неявных методов Рунге-Кутты 3-го и 4-гопорядков [82, 83, 87].

В работах Калиткина Н. Н. совместно с его коллегами и ученикамиисследована применимость обратных схем Рунге-Кутты и метода длины дуги для решениежестких задач для систем ОДУ и дифференциально-алгебраических уравнений, также рас­смотрено решение сверхжестких задач [5,32,33]. Различным вопросам, связанным с решениежестких задач для систем ОДУ, посвящены работы Новикова Е. А.

и Новикова А. Е. [73, 74],Сигунова Ю. А. и Диденко И. Р. [81], а также Булатова М. В. с соавторами [7].4В зависимости от спектра матрицы Якоби жесткие задачи разделяют на жесткие (ин­тегральные кривые быстро сходятся), осциллирующие (присутствуют собственные числа сбольшими мнимыми частями) и плохо обусловленные (интегральные кривые быстро расхо­дятся) [32]. Решение плохо обусловленных и сингулярно возмущенных задач рассматривалимногие авторы, в числе которых Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Бояринцев Ю. Е., Шалаши­лин В. И., Кузнецов Е.

Б., Бутузов В. Ф., Campbell S. L., Lubich Ch., Roche M., Lotstedt P.,Nipp K., Stoffer D., O’Malley R. E. и другие.Одним из наиболее эффективных подходов к решению плохо обусловленных задач яв­ляется метод продолжения решения по параметру и наилучшей параметризации [102], так­же известный как метод длины дуги. Идея данного метода восходит к работам Давиден­ко Д.