Диссертация (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения), страница 2

Ф. [25, 26], в которых рассматривалось численное решение систем нелинейных урав­нений с использованием введения параметра специального вида. Позднее, в работах Григо­люка Э. И. и Шалашилина В. И. для решения систем трансцендентных и алгебраическихуравнений, возникающих в задачах механики деформируемого твердого тела, вводится па­раметр , названный наилучшим, и отсчитываемый вдоль кривой множества решений рас­сматриваемой задачи [18].

В этой же работе показана применимость продолжения решенияпо параметру при прохождении предельных особых точек и построении замкнутых кривыхмножества решений [18]. В работе [102] как для систем алгебраических и трансцендентныхуравнений, так и для систем ОДУ доказано, что параметр доставляет рассматриваемойзадаче наилучшую обусловленность.

Впоследствии Шалашилиным В. И., Кузнецовым Е. Б.и их учениками было рассмотрено множество задач, показывающих эффективность наилуч­шей параметризации при решении начальных и граничных задач для систем дифференци­альных, дифференциально-алгебраических, интегродифференциально-алгебраических урав­нений с предельными особыми точками, уравнений с запаздывающим аргументом и задач,множества решений которых содержат точки бифуркации [36–38]. В работах указанных ав­торов показано, что для плохо обусловленных задач переход к наилучшему параметру даетзначительное преимущество при численном решении по сравнению с другими методами.

Од­нако, в общем случае, для жестких задач параметризация может не давать каких-либо улуч­шений. Помимо Кузнецова Е. Б. и его учеников, метод продолжения решения по параметрув своих работах использовали Калиткин Н. Н., Лопаницын Е. А., Карпов В. В., Пошивай­ло И. П., Семенов А. А., Riks E., Crisfield A. E., Ramm E., Carrera E., Luo Y. F., Teng J. G. идругие ученые.В последнее время метод продолжения решения по параметру (метод длины дуги) на­ходит широкое применение в различных теоретических и прикладных вопросах как у ро­сийских, так и зарубежных исследователей.

Кроме применения продолжения решения попараметру к решению жестких задач в статьях Калиткина Н. Н. [5, 33], этот подход успешноиспользовался для исследовании устойчивости панелей конических оболочек из ортотропныхматериалов при деформировании [114], при решении гиперболических систем с предельны­ми особыми точками и физически нелинейных задач [113, 115] и т. д. Специальные виды5параметров продолжения используют в своих работах Лопаницын Е. А. при расчете тонкихпологих оболочек с учетом конечных прогибов [17] и Гаврюшин С.

С. при расчете напряже­ний и деформаций сложных стержневых и оболочечных элементов конструкций [15].В диссертационной работе разрабатываются новые методы численного решения плохообусловленных задач Коши для систем ОДУ с несколькими ПОТ, использующие продолже­ние решения по параметру. В качестве приложения предложенных методов рассматриваютсятестовые задачи расчета длительной прочности металлических конструкций в условиях пол­зучести.Термином «ползучесть», согласно известной монографии Ю. Н Работнова [79, с.

9], «бу­дем называть всю совокупность явлений, которые можно объяснить, допустив, что зависи­мость между напряжениями и деформациями содержит время, явно или через посредствонекоторых операторов». Более узкое определение в работе [71, с. 241] дает Н. Н. Малинин,оно заключается в следующем: «напряжения и деформации, возникшие при нагружениидеталей, изменяются во времени, даже если нагрузки остаются постоянными.

Это явлениеназывают ползучестью материала. Одну сторону этого явления – изменение во времени де­формаций – называют собственно ползучестью или последействием, а другую – изменениево времени напряжений – релаксацией».Свойства ползучести обнаруживают материалы различной природы: металлы, пласт­массы, горные породы, бетон, естественные и искусственные камни, лед и другие [79, с.

9].Ползучесть у металлических материалов в холодном состоянии практически отсутствует.Но во многих практических задачах различные конструкции эксплуатируются в условияхвысокотемпературной ползучести при сложном напряженном состоянии [24]. Примерами та­ких конструкций могут служить трубопроводы, диски и лопатки газовых турбин, элементыэнергосиловых установок, детали авиационных конструкций и т. д.На рис. 1 приведены кривые, изображающие зависимости деформации от времени приразличных напряжениях.

На кривой (), соответствующей напряжению 2 , можно выделитьтри четко выраженных участка (стадии ползучести) [79, с. 168; 63, с. 20]:I – неустановившаяся ползучесть, т. е. участок, на котором скорость ползучести моно­тонно уменьшается до своего наименьшего значения;II – установившаяся ползучесть, т. е. участок, на котором скорость ползучести сохра­няет постоянное наименьшее значение;III – участок ускоряющейся ползучести, предшествующий разрушению.В предположении, что время нагружения до заданного значения напряжения мало посравнению с длительностью испытания, кривые () начинаются со значения деформации0 , соответствующего мгновенному нагружению.

Мгновенная деформация складывается изупругой и пластической составляющих. Разность между полной и мгновенной дефор­мацией есть деформация ползучести (в дальнейшем верхний индекс при обозначениидеформации ползучести будет опускаться) [63, с. 19-20].6В зависимости от величины напряжения, на кривой () могут отсутствовать некоторыестадии ползучести как это показано на рис. 1.Рис. 1. Зависимости деформации от времени Впервые ползучесть наблюдалась еще в начале XIX века в экспериментах Клода ЛуиМари Анри Навье (Navier, 1826), Густава Гаспара Кориолиса (Coriolis, 1830) и Луи Жо­зефа Вика (Vicat, 1834) [3, с.

64-65; 4, с. 7-14]. Систематические же экспериментальныеи теоретические исследования всех стадий ползучести начались только в середине XXвека и вплоть до сегодняшнего дня проводились такими учеными, как Ильюшин А. А.,Работнов Ю. Н., Качанов Л. М., Победря Б. Е., Малинин Н.

Н., Шестериков С. А., Сос­нин О. В., Арутюнян Н. Х., Локощенко А. М., Милейко С. Т., Трунин И. И., АршакуниА. Л., Никитенко А. Ф., Горев Б. В., Цвелодуб И. Ю., Симонян А. М., Поздеев А. А., Ле­бедев А. А., Писаренко Г. С., Хажинский Г. М., Павлов П. А., Радченко В. П., Prager W.,Nadai A., Odqvist F. G., Bailey R. W., Johnson A. E., Marin J., Soderberg C. R., Hayhurst D.

R.,Altenbach H., Krajcinovic D., Leckie F. A., Trampczynski W., Betten J., Davies P. V., Garofalo F.,Greenwood G. W., Dyson B. F., Henderson J. T. и другими.В работах указанных ученых теория ползучести оформилась в эффективный инстру­мент исследования элементов конструкций на длительную прочность при деформированиипод действием различных температурно-силовых нагрузок. Под длительной прочностью эле­мента конструкции понимается время, в течение которого рассматриваемый элемент кон­струкции под действием заданных внешних нагрузок не разрушится.

Подробнее развитиетеории ползучести вплоть до сегодняшнего дня рассмотрено в обзоре A. E. Johnson’а [110] ицикле работ С. А. Шестерикова и А. М. Локощенко [62, 65–68, 70, 104].В последние десятилетия в России и зарубежом появляется большое количество ра­бот, посвященных экспериментальным исследованиям процесса ползучести, направленнымна обоснование используемых в теориях ползучести гипотез, исследованию деформирования7при сложном напряженном состоянии [62, 66, 68], эффекта виброползучести [61], влияниюагрессивной среды на процесс деформирования [64, 65] и т. д.Таким образом, актуальность исследования ползучести металлических конструкций,моделирования этого процесса и разработки эффективных методов расчета полученных мо­делей обуславливается требованиями надежности при эксплуатации элементов конструкций,работающих при высоких и умеренных температурах под действием различных силовых на­грузок.

Помимо этого, в последние годы наиболее перспективными технологиями обработкиматериалов и формообразования деталей является деформирование как в условиях высоко­температурной ползучести [20], так и за счет медленного режима ползучести [6].В то же время, все еще остро ощущается потребность в разработке эффективных мето­дов расчета моделей, базирующихся на уравнениях известных теорий ползучести.

Так, ужемоделирование установившейся и ускоренной ползучести вплоть до разрушения приводит кплохо обусловленной задаче Коши для системы ОДУ с одной ПОТ. Это происходит за счетнеограниченного возрастания скорости деформации ползучести в момент разрушения. Длячисленного расчета подобных задач возможно применение традиционных методов решениязадачи Коши (например явных методов семейства Рунге-Кутты), но погрешность вблизипредельной особой точки может принимать большие значения, достигающие десятков про­центов.В работе [95] подчеркивается, что большинство конструкционных материалов при уме­ренных температурно-силовых режимах имеют явно выраженную начальную стадию (неуста­новившуюся ползучесть), неучет которой при моделировании ползучести и длительной проч­ности может привести к существенным погрешностям. Описание же всех трех стадий ползу­чести уравнениями кинетической теории [79] приводит к плохо обусловленным начальнымзадачам для систем ОДУ с двумя ПОТ в начальный момент времени и при разрушении.Расчет таких задач явными методами малоэффективен.

Методы же решения жестких задачна основе неявных схем имеют ряд недостатков, связанных с решением систем нелинейныхуравнений, возникающих при реализации неявных схем. Поэтому разработка новых числен­ных методов решения плохо обусловленных задач является актуальной. А использованиеметода продолжения решения по параметру [36–38], уже показавший свою эффективностьпри решении широкого класса задач, к расчету металлических конструкций на длительнуюпрочность в условиях ползучести показывает хорошие результаты.Еще одной характерной чертой моделирования процесса ползучести и длительнойпрочности является то, что определяющие уравнения любого вида, как правило, содержатнесколько материальных констант (характеристик ползучести), которые необходимо опреде­лять на основании информации о протекании процесса деформирования, основным источ­ником которой является эксперимент.

Учитывая то, что характеристики ползучести могутзависеть от вида используемого материала и его состояния, режима нагружения, температу­ры, коэффициента анизотропии и других факторов, задача их идентификации весьма трудо­емка. По этой причине, определяющим уравнениям каждой теории ползучести сопутствует8методика определения характеристик ползучести для заданной конструкции, как правило,существенно зависящая от вида уравнений.Значительным шагом в сторону упрощения процесса моделирования ползучести и дли­тельной прочности металлических конструкций стало бы создание унифицированного под­хода, позволяющего на основе экспериментальных данных как идентифицировать модельползучести, так и проводить ее расчет. По мнению автора, роль такого обобщаещего подходаможет сыграть метод, основанный на применении искусственных нейронных сетей.Начиная с 40-х годов прошлого века искуственные нейронные сети находят все большееприменение в различных областях, например, при решении задач распознавания образов, об­работки больших массивов информации, радиолокации, искусственного интеллекта, матема­тической физики и т.