Диссертация (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения), страница 10

Помимо окрестности момента разрушения, погрешность скапливается и в окрестно­сти начальной точки, что можно видеть на рис. 1.9 и 1.12. Величина погрешностиможет достигать десятков процентов. Максимум погрешности приходится на началь­ную точку, но абсолютная погрешность в ней не привышает значения точности 1 .3. Вне окрестностей ПОТ относительная погрешность может быть на порядки мень­ше своего среднего значения, приближаясь по величине к медиане.

При этом длярассматриваемых задач средняя относительная погрешность и медиана на порядкипревосходит аналогичные показатели для задач без начального упрочнения.4. Из таблиц 10, 13 видно, что метод ЭНЯ для обеих задач дает относительную погреш­ность в разы меньшую, чем метод Г4НЯ. При этом значение медианы для методаГ4НЯ в разы ниже, чем для метода ЭНЯ. Исходя из полученных данных можнозаключить: вне окрестностей ПОТ при малой точности погрешность решения дляобоих методов мало отличается, а при повышении точности погрешность для методаГ4НЯ убывает быстрее. Но в окрестностях ПОТ метод Г4НЯ дает большую погреш­ность, чем метод ЭНЯ. Это и влияет на увеличение средней погрешности решениядля метода Г4НЯ по сравнению с методом ЭНЯ.49Глава 2.

Метод продолжения решения по параметру и наилучшаяпараметризацияРассмотреные в разделе 1.3 главы 1 задачи Коши (1.34), (1.4) и (1.42), (1.44), описываю­щие процессы деформирования в условиях ползучести вплоть до разрушения конструкций изупрочняющихся стали 45 и титанового сплава 3В показывают, что явные методы малоэффек­тивны при их расчете. Неявные методы также нельзя назвать эффективными применительнок рассматриваемым задачам, несмотря на то, что они позволяют получать приближенныерешения с высокой точностью. Это связано с тем, что реализация неявных схем сводится к ре­шению систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, сопряженномус известными трудностями, описанными в параграфе 1.3.3.

Для более эффективных мето­дов расчета упрочняющихся конструкций на длительную прочность в условиях ползучести,потребуем выполнения следующих условий:1. Отсутствие ограничений на шаг интегрирования.2. Возможность применения явных методов решения задачи Коши.3. Уменьшение времени счета.4. Точности приближенного решения не должна быть ниже, полученной при использо­вании неявных методов.Всем этим условиям удовлетворяет метод продолжения решения по параметру и наилучшаяпараметризация [102], применению которого посвящена данная глава.2.1Метод продолжения решения по параметру для систем ОДУВо введении было указано, что начиная с 50-х годов прошлого века ведется исследо­вания жестких начальных задач и разработка методов их решения.

Несмотря на большойарсенал имеющихся методов решения жестких задач [99], в последние годы появились десят­ки работ в данной области. Одним из направлений исследования является применение явныхсхем (например (,)-метод, многостадийные схемы семейства Розенброка, метод конечныхсуперэлементов и др.) для решения жестких задач [16, 30, 75, 84–86]. Но явные методы, какправило, применимы только для узкого класса жестких задач и не могут быть использованыдля жестких и плохо обусловленных задач в общем случае.

Более эффективными являютсяметоды на основе неявных или полуявных (диагонально неявных) схем [32,82,83,87,99], но ихреализация по трудоемкости намного превосходит явные схемы. Также стоит упомянуть, чтонеявные методы малоэффективны для плохо обусловленных задач в случае, когда предель­ная особая точка лежит внутри интервала изменения аргумента.

Для рассматриваемых вдиссертации задач целесообразно использовать метод на основе замены исходного аргументазадачи на новый, при котором исходная задача не имела бы особенностей и могла быть про­50интегрирована при помощи явных методов. Укажем некоторые подходы для осуществленияданной идеи.2.1.1Традиционный подходРассмотрим задачу Коши для нормальной системы ОДУ, задаваемой в общем виде= (,1 , . . . , ), ∈ [0 , ], = 1, .

. . , , 0 < < ∞(2.1)с начальными условиями⎧⎪1 (0 ) = 10 ,⎪⎪⎨...⎪⎪⎪⎩ ( ) = . 00(2.2)Отметим, что все переменные в задаче (2.1)-(2.2) являются равноправными, т. е. вместоаргумента можно выбрать в качестве независимой любую из переменных 1 , 2 , . . . , . Этонаблюдение (по аналогии с системами алгебраических и трансцендентных уравнений [25,26])позволяет обходить ПОТ, лежащие внутри отрезка изменения переменной .Если в процессе решения при = ˜ хотя бы одна функция , 1 ≤ ≤ , неограниченновозрастает, то дальнейшее решение затруднено.

В этом случае выберем в качестве нового ар­гумента одну из переменных , 1 ≤ ≤ , для которой в окрестности точки (˜,˜1 , . . . , ˜ )все функции ограничены, а ̸= 0, где (˜) = ˜ , и перейдем к ней в системе (2.1)⎧ (,1 , . . . , )⎪⎪⎨ = (, , . . . , ) , = 1, .

. . , , ̸= ,11⎪⎪⎩=, ∈ [˜ ,* ], ˜ < * < ∞, (,1 , . . . , )приняв за начальные условия для нее⎧⎪1 (˜ ) = ˜1 ,⎪⎪⎪⎪..⎪⎪.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ (˜ ) = ˜(−1) ,⎪⎪⎨ −1 +1 (˜ ) = ˜(+1) ,⎪⎪⎪..⎪⎪.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ (˜ ) = ˜ ,⎪⎪⎪⎩(˜ ) = ˜.(2.3)(2.4)Если можно найти такую переменную , то удается пройти через ПОТ при = ˜.Далее, приближаясь к другим ПОТ, мы можем снова заменить аргумент, проделывая выше­описанную процедуру нужное число раз.51Таким образом, исходная задача (2.1)-(2.2) может быть сведена к последовательностизадач Коши вида (2.3)-(2.4) с ограниченными правыми частями. Но процесс смены аргумен­та плохо формализуем и делается фактически вручную, поэтому хотелось бы выработатьдругой путь для реализации описанной идеи.Отметим также, что указанный метод замены аргумента не работает, если интеграль­ная кривая задачи (2.1)-(2.2) содержит точки бифуркации [102, с.

196-216], в этом случаетребуются другие подходы [38], не рассматриваемые в диссертационной работе.2.1.2Параметризация решения. Общий подходМодифицируем подход, рассмотренный в параграфе 2.1.1, учитывая то, что при сменеаргумента продолжения решения не обязательно двигаться исключительно по одной из пере­менных 1 , . . .

, или . Обозначив переменную за +1 , будем определять новый аргументпродолжения решения в окрестности каждой точки интегральной кривой в виде [102, с. 51](︀)︀¯ , = 1 1 + 2 2 + · · · + + +1 +1 = ¯ , (2.5)¯ = (1 , . . . , +1 ) .где ¯ = (1 , . . . , +1 ) , Полагая, что все переменные задачи (2.1)-(2.2) зависят от аргумента 1 = 1 (), 2 = 2 (), . . .

, +1 = +1 (),перепишем систему (2.1) в виде+1= (1 , . . . , +1 ), ∈ [0 ,* ], = 1, . . . , .(2.6)Дополняя систему (2.6) уравнением112+1+ 2+ · · · + + +1= 1,(2.7)получим замкнутую систему ОДУ.В качестве начальных условий для системы (2.6)-(2.7) примем⎧⎪⎪ 1 (0 ) = 10 ,⎪⎨...⎪⎪⎪⎩+1 (0 ) = 0 .Так как аргумент не входит явно в систему (2.6)-(2.7), то положим 0 равным нулю.Выбирая вектор ¯ тем или иным образом, можно получить различные аргументыпродолжения. В частности, если положить ¯ = ¯ , где компоненты вектора ¯ равны = , = 1, + 1, то в качестве нового аргумента продолжения получим переменную .

Здесь – символы Кронекера.52При решении удобно использовать такие аргументы продолжения, которые не требуютсмены во всей рассматриваемой области. На существование таких аргументов указывает тотфакт, что в окрестности каждой рассматриваемой точки можно выбрать значение вектора¯ так, чтобы все правые части были ограничены. В результате будет получен вектор ¯ какфункция точек рассматриваемой области, которому соответствует аргумент продолжения,обладающий требуемыми свойствами.2.1.3Наилучшая параметризацияМожно видеть, что в каждой точке интегральной кривой аргумент продолжения опре­деляется неоднозначно. Вместе с тем, для некоторых аргументов продолжения новая системаобусловлена лучше по сравнению с другими.

Исходя из этого соображения, можно ставитьзадачу о поиске наилучшего аргумента продолжения.В монографии [102, с. 17-30, 52] доказано, что задача Коши для нормальной системыОДУ преобразуется к наилучшему аргументу, тогда и только тогда, когда в качестве таковоговыбрана длина дуги, отсчитываемая вдоль интегральной кривой этой задачи.Иными словами, вектор ¯ в (2.5) для наилучшего аргумента следует принять в виде(︂¯=1 2+1,, ··· ,)︂.(2.8)Определение 2.1. Аргумент продолжения, для которого вектор ¯ имеет вид (2.8),будем называть наилучшим и обозначать буквой .В скалярной форме наилучший аргумент можно записать в виде()2 = (1 )2 + (2 )2 + .

. . + (+1 )2 .(2.9)Исходя из соотношений (2.8) и (2.9), для вектора ¯ справедливо равенство‖¯‖2 = 1,где ‖ · ‖2 – евклидова (квадратичная) норма вектора [31, с. 24].Система уравнений (2.1)-(2.2), преобразованная к аргументу , запишется в виде (1 , . . . , +1 )= ± √︀,(1 , . . . , +1 )где (1 , . .

. , +1 ) =+1∑︁ ∈ [0,* ], = 1, . . . , + 1,(2.10)2 (1 , . . . , +1 ), +1 (1 , . . . , +1 ) ≡ 1.=1Знак правой части отражает направление движения вдоль нового аргумента. В даль­нейшем будем считать, что знак правой части (2.10) положительный.Начальные условия для системы (2.10) запишем следующим образом53⎧⎪1 (0) = 10 ,⎪⎪⎨...⎪⎪⎪⎩+1 (0) = 0 .(2.11)Определение 2.2. Переход от задачи (2.1)-(2.2) к задаче (2.10)-(2.11) будем называть-преобразованием.Анализируя задачу (2.10)-(2.11), можно отметить следующие преимущества:1. Квадратичная норма правой части системы (2.10) равна единице. Это говорит отом, что для задачи не существует точек, в которых правые части системы (2.10)теряют смысл, и это дает возможность использовать при ее численном решениилюбые методы интегрирования задачи Коши, в том числе и явные.2.

Нет необходимости производить смену аргумента, что облегчает процесс решения.Вместе с этим, существует и ряд недостатков данного подхода:1. Увеличение размерности задачи на единицу.2. Усложнение вида уравнений преобразованной системы. В случае задачи большойразмерности ( ≫ 1) параметризованная система становится значительно сложнееисходной [33, 60]. По этой причине, выгода от применения наилучшей параметриза­ции может исчезнуть.3.