Диссертация (Движение мобильного устройства без внешних движителей по шероховатой плоскости), страница 7

Пусть 0 = 0, а — моменты времени, в которые скорость корпуса равнанулю ( = 1, 2, ...). Тогда интегрируя уравнение (2.5) на отрезках 6 6 +1 ,46Рисунок 2.5. График () при 0 < < 2Рисунок 2.6. График () при > 147получим скорость:1 1 (sin − sin ) − (−1) ( − ) =, 6 6 +1и координату корпуса в произвольный момент времени: − 1 1 cos − 1 1 sin − (−1) = ( − 2 )2, < 6 +1 ,где константа вычисляется из условия непрерывности координаты , выражаемого формулойlim ( ( − ∆) − ( + ∆)) = 0.Δ→0Отсюда получим рекуррентное соотношение: = −1 + 1 1 (sin − sin −1 ) + (−1)−1 −1 .Причем из начального условия (0) = 0 следует 0 = 1 1 .2.2.3.Кусочно-квадратичный закон управления смещением точечной массыНайдем такую функцию смещения 1 () внутренней массы, чтобы в моменты времени ( = 0, 1, 2, ...) происходило скачкообразное изменение ее относительной скорости ˙1 ().

При таком выборе функции 1 () в системе будетпроисходить удар, в результате которого скорость корпуса будет изменятьсяскачкообразно. Такой закон управления окажется удобным для использованияв главе 4.Будем искать относительную скорость подвижной массы как линейнуюфункцию времени на полуинтервале 0 < 6 . Тогда функция 1 () на этомполуинтервале имеет квадратичный вид:1 () = 2 + + ,48˙1 () = 2 + ,(2.7)где , и — коэффициенты, определяемые из граничных условий:(︂ )︂1 (0) = 1 ( ) = 1 , 1= 1 ,2где 1 и 1 — границы, в которых перемещается внутренняя масса, причем1 > 1 . Подставляя эти граничные условия в первое выражение (2.7), получимсистему = 1 ,2 + + 1 = 1 ,2 + + 1 = 1 ,42из которой находятся коэффициенты , и .

Таким образом, исходная функция 1 () (рисунок 2.7):1 () =4 (1 − 1 ) 2 4 (1 − 1 ) − + 1 .2(2.8)Тогда относительная скорость подвижной массы:8 (1 − 1 )4 (1 − 1 )˙1 () =−,2а ее относительное ускорение выражается через дельта-функцию Дирака:(︃)︃∞∑︁8 (1 − 1 ) 8 (1 − 1 ) ()−+( − ) .¨1 () =22=1Условие начала движения корпуса⃒⃒⃒ ¨⃒⃒1 1 ⃒ > (2.9)выполняется в моменты времени при любых значениях параметров ползунаи закона управления подвижной массой.

Используя уравнение движения (2.3),вычислим приращение скорости ∆ , получаемые корпусом в эти моменты времени:1∆ = lim ( ( + ∆) − ( − ∆)) = −limΔ→0 Δ→0∫︁+Δ¨1 (), −Δ∆ =4 (1 − 1 ) 1, = 0;∆ =498 (1 − 1 ) 1, = 1, 2, . . .Рисунок 2.7. Кусочно-квадратичная функция 1 () и кусочно-линейная функция ˙1 ()Пусть 1 — время, за которое происходит остановка корпуса (в результатедействия сил трения со стороны опорной плоскости) после приобретенного вмомент импульса. Величина 1 найдется путем интегрирования уравнения(2.3) в пределах скорости от ∆ до 0. При этом возьмем значение ∆ соответствующее = 1, 2..., а также предполагаем, что непосредственно до полученияприращения скорости ∆ корпус покоился:(︂)︂ (︂)︂8 (1 − 1 ) 18 (1 − 1 ) 1 0−= −− 1 .2Это уравнение имеет решение:1 =8 (1 − 1 ) 1.8 (1 − 1 ) 1 + 2Отсюда немедленно следует, что 1 < , так как числитель этой формулывсегда меньше знаменателя, что подтверждает верность сделанного предположения. Исключением является случай гладкой плоскости, когда = 0 и 1 = .Заметим, что неравенство 1 < будет тем более выполняться для моментавремени 0, так как приобретаемая в этот момент скорость вдвое меньше, чем впоследующие моменты .Подставим функцию ¨1 () в формулу (2.9).

Если неравенство√︃2 (1 − 1 ) 1 >250выполняется, то условие (2.9) будет выполняться только в моменты времени .Отсюда следует, что при выполнении указанного неравенства, подвижная массавернется в исходную позицию внутри полости, однако обратного передвижениякорпуса не произойдет. Если же это неравенство не выполняется, то на каждомпериоде движения подвижной массы будут существовать отрезки времени, накоторых корпус будет совершать попятное движение.2.3.Случай двух точечных масс, двигающихся в вертикальной плоскости симметрии ползуна2.3.1.Описание системыРазместим внутри корпуса две материальные точки массами 1 и 2 предполагая, что точка массы 1 может перемещаться внутри корпуса по горизонтали, как в разделе 2.2, а точка массы 2 — по вертикали (рисунок 2.8).

Тогдаих радиус-векторы: 1 = 1 () , 2 = 2 ().Аналогично случаю, описанному в разделе 2.2, условие 2 ≡ 0 существенно, таккак в противном случае возможен поворот корпуса, а 2 ≡ 0 принимается изсоображений удобства вычислений.Принципиальное отличие такой системы от рассмотренной в предыдущемразделе состоит в том, что, согласно формуле (1.23), величина 0 изменяется взависимости от движения массы 2 : + 2 ¨20 =, = 0 + 1 + 2 .Выражение для функции останется прежним, а функция примет вид:(︁)︁¨ = + 2 2 .Следовательно, максимально возможная величина силы трения, действующаясо стороны плоскости на корпус, также зависит от относительного движения51Рисунок 2.8.

Ползун с точечными массами 1 и 2 , двигающимися вдоль осей и соответственномассы 2 . Условие неразрывности контакта корпуса и плоскости выражаетсянеравенством:2 ¨2 > −.Из этого неравенства следует, что относительная скорость массы 2 не можетуменьшаться скачкообразно, так как в этом случае будет существовать моментвремени, в который величина относительного ускорения ¨2 равна минус бесконечности.2.3.2.Случай маятникаРассмотрим далее важный подслучай, когда массы точек равны, а сами онидвижутся по гармоническому закону со сдвигом фазы на /2:1 = 2 ,1 = 1 sin ,2 = −1 cos ,где 1 — амплитуда колебаний, = () — некоторая скалярная функция времени.

Две материальные точки одинаковой массы, двигающиеся описанным выше образом, эквивалентны расположенному в центре масс корпуса эксцентрику.В случае плоскопараллельного движения корпуса эксцентрик можно заменитьмаятником, состоящим из невесомого стержня вращающегося в вертикальнойплоскости и точечной массы на незакрепленном конце.52Рисунок 2.9. Ползун с маятником, движущимся в вертикальной плоскости симметрии корпусаДействительно, вычислим длину и массу этого маятника. Центр масс указанных двух точек в системе : 12 =11 1 + 1 2 =(sin − cos ) .212Отсюда следует, что12 =1= const.2Таким образом, движение двух точек внутри корпуса эквивалентно математическому маятнику длины 1 /2 и массы 21 . Механическая система, состоящая из корпуса, двигающегося поступательно по шероховатой плоскости подвоздействием маятника, расположенного внутри, рассматривалась ранее в статьях [34,35,39].

В указанных источниках изучалась динамика корпуса, в предположении, что маятник движется с постоянной угловой скоростью. Попытаемсяздесь отойти от этого ограничения, считая, что маятник управляется некоторым моментом сил 1 .Запишем уравнения движения корпуса и маятника, полагая при этом, чтомаятник имеет длину 1 и массу 1 , а = () — угол, который он составляет свертикалью (рисунок 2.9). Функции, входящие в правые части уравнения (2.3)53выражаются через , ˙ и ¨:(︀)︀ = −1 ¨1 = 1 1 ˙ 2 sin − ¨ cos ,(︁)︁(︀(︀)︀)︀¨ = + 1 2 = + 1 1 ˙ 2 cos + ¨ sin .Подставляя эти выражения в формулу (2.3), запишем уравнения движения корпуса:(︀)︀(︀(︀)︀)︀¨ = 1 1 ˙ 2 sin − ¨ cos − + 1 1 ˙ 2 cos + ¨ sin ,и маятника:1 21 ¨ = 1 − 1 1 sin − 1 1 ¨ cos ,где 1 21 — момент инерции маятника относительно оси, перпендикулярной плоскости его движения и проходящей через точку , −1 1 sin и−1 1 ¨ cos — моменты силы тяжести и переносной силы инерции, действующие на маятник, соответственно.

Переобозначая ˙ = , ˙ = и переносявсе слагаемые содержащие ˙ и ˙ в левую часть, получим систему, состоящуюиз двух алгебраических линейных уравнений относительно ˙ и :˙˙ + 1 1 (cos + sin ) ˙ = 1 1 2 (sin − cos ) − ,1 1 cos ˙ + 1 21 ˙ = 1 − 1 1 sin .Решение этой системы можно представить в виде˙ =∆1,∆˙ =∆2,∆(2.10)где∆ = 1 21 − 21 21 cos (cos + sin ) ,(︀)︀∆1 = 1 21 1 1 2 (sin − cos ) − −−1 1 (cos + sin ) (1 − 1 1 sin ) .(︀)︀∆2 = (1 − 1 1 sin ) − 1 1 cos 1 1 2 (sin − cos ) − .54Для получения функций и выражения (2.10) численно интегрировались. Изначально интегрирование проводилось исходя из того, что момент 1постоянен. Такое предположение при малых величинах 1 приводило к тому,что корпус и маятник оставались неподвижными с течением времени, а прибольших — к уходу скорости корпуса и угловой скорости маятника на бесконечность в результате неограниченного увеличения энергии системы.

Дляопределения зависимости управляющего момента от угловой скорости маятника был сконструирован экспериментальный робот с эксцентриком, вращаемымблагодаря двигателю постоянного тока. Было учтено, что с хорошей точностьюэлектродвигатели постоянного тока имеют линейную зависимость момента отугловой скорости [68]:1 = || − ,, = const > 0.(2.11)Параметры и определялись таким образом, чтобы минимизировать расхождение траектории движения корпуса и маятника полученного путем интегрирования системы (2.10) с экспериментальными данными.2.3.3.Экспериментальный роботС целью экспериментального исследования динамики системы, состоящей изкорпуса и маятника, доцентом кафедры теоретической механики Московскогофизико-технического института С.В.

Семендяевым был сконструирован экспериментальный робот. Устройство представляет из себя прямоугольную платформу, опирающуюся на плоскость в четырех точках, составляющих вершиныпрямоугольника, и два тяжелых диска, способные вращаться вокруг осей, проходящих перепендикулярно их плоскостям, благодаря установленным двигателям постоянного тока (рисунок 2.10). Оси вращения дисков не проходят черезих центр масс, благодаря чему их можно рассматривать как эксцентрики.

Диск,плоскость которого компланарна большему ребру основания в результате своеговращения приводит корпус в поступательное движение. Диск, плоскость кото55Рисунок 2.10. Экспериментальный робот, состоящий из платформы и двух эксцентриковрого перпендикулярна большему ребру основания способен приводить корпусво вращательное движение (в описываемом эксперименте этот диск не использовался). Робот имеет следующие характеристики: общая масса — 1825 г, массадиска — 500 г, эксцентриситет продольного диска — 3.5 см, продольное и поперечное расстояния между точками контакта с поверхностью — 13 см и 11 смсоответственно.Для снятия зависимости продольного смещения корпуса и угла поворотаэксцентрика от времени С.В.

Семенядевым и студентом факультета аэрофизики и космических исследований МФТИ А.А. Цыгановым был проведен эксперимент. Робот был установлен на горизонтальной поверхности из ламинированного ДСтП (коэффициент трения 0.3). За ним располагался лист в черно-белуювертикальную полоску, позволяющий считывать смещение робота, а также секундомер (рисунок 2.11). Движение робота, реализующееся под действием вра56Рисунок 2.11. Проведение экспериментащающегося эксцентрика, снималось на видеокамеру.

После этого в программепокадровой обработке видео Adobe Premiere производилось отслеживание трехметок, одна из которых располагалась на корпусе, а две других — на эксцентрике, что позволяло определять смещение корпуса и угол поворота эксцентрика.На рисунке 2.12 представлен график (черная линия) зависимости координаты корпуса от времени, полученный в результате проведения эксперимента. Наосновании графика можно выделить качественный характер движения корпуса:движение быстро выходит на периодический режим, в котором за один периодпроисходит прямое и попятное перемещения, а также остановка на некотороминтервале времени. На рисунке 2.13 изображен график (черная линия) зависимости количества оборотов эксцентрика от времени, полученный в результатепроведения эксперимента.