Диссертация (Движение мобильного устройства без внешних движителей по шероховатой плоскости)

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)На правах рукописиУДК 531.384Сахаров Александр ВадимовичДвижение мобильного устройства без внешнихдвижителей по шероховатой плоскостиСпециальность 01.02.01 — Теоретическая механикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорИванов Александр ПавловичДолгопрудный — 2015СодержаниеВведение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51. Движение мобильного устройства с произвольным набором подвижных масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.1. Описание системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .201.2. Силы, приложенные к корпусу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.2.1. Главные векторы и моменты . . . . . . . . . . . . . . . . .241.2.2. Касательные напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251.2.3. Нормальные напряжения . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .271.3. Коэффициенты модели распределения нормальных напряжений .291.4. Уравнения движения корпуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.5. Достаточные условия равновесия корпуса . . . . . . . . . . . . . .351.6. Заключение к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .362. Поступательное движение мобильного устройства . . . . . . . . . . . .382.1. Уравнение движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382.2. Случай точечной массы, двигающейся вдоль продольной оси симметрии корпуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.2.1. Описание системы . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .402.2.2. Гармонический закон управления движением точечноймассы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422.2.3. Кусочно-квадратичный закон управления смещением точечной массы . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .482.3. Случай двух точечных масс, двигающихся в вертикальной плоскости симметрии ползуна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512.3.1. Описание системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512.3.2. Случай маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .522.3.3. Экспериментальный робот . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5522.4. Заключение к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593. Поворот мобильного устройства вокруг центра масс . . . . . . . . . . .613.1. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .613.2. Случай диска с вертикальной осью вращения . . . . . . . . . . . .643.2.1. Описание системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643.2.2. Гармонический закон управления поворотом диска . . . . .663.2.3. Кусочно-линейный закон управления угловой скоростьюдиска . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663.3. Случай двух точечных масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683.3.1. Описание системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683.3.2. Кусочно-линейный закон управления смещением масс . .

.703.3.3. Характер поворота корпуса . . . . . . . . . . . . . . . . . .723.3.4. Влияние параметров закона управления на среднюю скорость поворота корпуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753.4. Заключение к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .784.

Трехмерное движение мобильного устройства по плоскости. . . . . .804.1. Описание системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .804.2. Случай горизонтально-осевого расположения диска . . . . . . . .834.2.1. Уравнения движения и коэффициенты модели распределения нормальных напряжений . . . . . . . . . . .

. . . . .834.2.2. Анализ движения корпуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .874.3. Случай вертикально-осевого расположения диска . . . . . . . . .944.3.1. Уравнения движения и коэффициенты модели распределения нормальных напряжений . . . . . . . . . . . . . . . .944.3.2. Анализ движения корпуса . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .974.4. Сравнение величин углов поворота корпуса при различных ориентациях диска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.5. Заключение к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053Заключение . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A. Осевой момент инерции корпуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184ВведениеОбзор законов сухого тренияРодоначальником изучения законов трения принято считать Леонардо даВинчи. В 1508 году он впервые ввел в рассмотрение понятие коэффициентатрения, указал на пропорциональность силы трения, возникающей при контакте тел друг с другом, нормальной нагрузке и независимости ее от номинальнойплощади контакта тел, а также скорости их относительного движения [1].

Спустя почти двести лет французский ученый, предвестник трибологии, Г. Амонтон подтвердил результаты Леонардо. Он сформулировал эмпирический закон, утверждающий пропорциональность между нормальной нагрузкой и силой сухого трения, действующей между движущимися телами [2]. В 1781 годуШ.О. Кулон, используя большое количество эмпирических данных, установилзаконы сопротивления скольжению и качению двух тел [3].

Закон сухого тренияполучил название закона Амонтона–Кулона.В XIX веке было установлено, что сила статического трения, то есть трения,действующего на тело находящееся в покое, превосходит силу трения в движении. Уже в начале XX века немецким механиком Р. Штрибеком был открытэффект, состоящий в том, что при малых относительных скоростях трущихсяповерхностей наблюдается постепенное уменьшение сопротивления с величинытрения покоя до значения динамического трения. Позже этот эффект получилимя своего первооткрывателя.Эти и многие другие эффекты не учитываются в законе Амонтона–Кулона.Не смотря на это, он нашел широкое применение в огромном количестве исследований благодаря своей простоте и качественно верному поведению.

Приведемздесь слова Д.Х. Джеллетта [4]: «Хотя закон пропорциональности силы трениядавлению не является математически верным, он позволяет представить фактыс достаточной точностью, поэтому его можно взять за основу теории, результаты которой весьма близки к истине».5Позднее, уже в рамках теоретической механики и трибологии было разработано большое количество моделей сухого и вязкого трений, а также их комбинаций. Стало понятно, что сила трения во многом определяется распределениемнормальных напряжений в области контакта тел.В статье [5] авторы разработали модель, опирающуюся на представление отрении как об упруговязком сопротивлении инденторов контактирующих тел.Достоинством модели является то, что она включает в себя многие экспериментально наблюдаемые особенности сухого трения, такие как эффект Штрибека инеравенство величин статического и динамического трений. В работе [6] предложен обобщенный закон Амонтона–Кулона для лагранжевых систем с наложенными связями.

Преимуществом предложенной формулировки закона являетсяковариантность преобразования сил сухого трения при замене координат.Исследованию взаимосвязи трений скольжения и верчения посвящена работа [7], выполнявшаяся в предположении, что пятно контакта двух тел круговое,а нормальные напряжения распределены по закону Герца. Получена зависимость величины силы трения от отношения относительных скоростей скольжения и вращения тел. То же предположение о распределении нормальныхнапряжений используется в работах [8, 9], где получены аналитические выражения для силы и момента трения в случае круглых площадок контакта.

Крометого, в указанных работах построены аппроксимации Паде (до этого аналитические выражения для сил и моментов трения выражались через эллиптическиеинтегралы [10,11]) полученных функций, что упрощает их использование в дифференциальных уравнениях. Суть метода аппроксимаций Паде состоит в идее,что исходную силу трения можно заменить рациональной дробью, удовлетворяющей граничным условиям, наложенным на исходную функцию. Благодаряэтому методу удалось создать качественно новые модели сухого трения, коэффициенты которых можно определить экспериментально.

Эти законы, в своюочередь, позволили обнаружить новые эффекты [12–14].6Обзор исследований о движении твердого тела по шероховатойплоскостиПервые работы по динамике твердого выпуклого тела, двигающегося в вертикальной плоскости по горизонтальной прямой, принадлежат Л. Эйлеру [15].Позднее работу Эйлера продолжили Г.

Кориолис [16], П. Пенлеве [17], П. Аппель [18] и другие. Большой вклад в постановку и решение задачи о движениитвердого тела, опирающегося на шероховатую плоскость одной точкой внесС. Пуассон. В начале XX века задача о движении твердого тела по поверхности активно разрабатывалась в трудах Д.К. Бобылева, Н.Е. Жуковского иС.А. Чаплыгина.Систематическое изложение динамики твердого тела на плоскости, как гладкой, так и шероховатой, приведено в монографии [19]. В частности, помимопроизвольных выпуклых тел, а также тел вращений, автор рассматривает движение специфических объектов: шар Чаплыгина, кельтский камень и другие.Безотрывному движению выпуклых тел в вертикальной плоскости также посвящены работы [20, 21].

Анализируются случаи качения и скольжения тела, атакже переход между этими режимами движения.Исследованию динамики тяжелого тела, обладающего круговой симметрий,на шероховатой плоскости посвящено большое количество работ [10, 11, 22–25].В первых исследованиях [10,11,22] рассматривается плоский диск, причем распределение нормальных напряжений между диском и плоскостью принимаетсяравномерным. В работах [10, 11] главный вектор и момент сил трения выражаются аналитически через полные эллиптические интегралы первого и второгорода.

Движение диска находится аналитически и экспериментально, показывается, что вращение и скольжение диска прекращаются одновременно. Исследование динамики диска на шероховатой плоскости при более реалистичныхмоделях распределения нормальных напряжений было затруднено в связи сгромоздкостью получаемых выражений. Работы [8,9] позволили преодолеть этутрудность. В результате, исходя из предположений, что давление распределено7по закону Галина, построены функции главного вектора и момента сил трения,действующих на диск, что позволило получить некоторую новую информациюо его движении [26].Определению качественной картины остановки осесимметричного тела посвящена работа [23], при этом предлагаются различные законы распределениянормальных напряжений: однородное, по кольцу (распределение по окружности диска), Галина, Герца.

Находятся время и пройденный до остановки телапуть. В работах [24, 25] рассматривается тело с осесимметричным основанием,при этом предполагается, что нормальные реакции распределены по линейномузакону. Известно [27, 28], что такая модель является динамически согласованной. Используя метод дескриптивной функции проводится качественный анализ движения тела.Интересная задачей представляется объяснение поведения камня на льдупри игре в керлинг. Дело в том, что если скользящий по шероховатой поверхности цилиндр закрутить против часовой стрелки, то его траектория будетуходить вправо [10, 11].

В случае керлинга эффект прямо противоположный:смещение происходит влево относительно траектории движения снаряда. Обзор полученных по объяснению этого эффекта результатов приводится в [28]. Вработе [29] показано, что качественное объяснение эффекта керлинга возможнолишь при учете зависимости коэффициента трения от распределения давленияв области контакта, а также учета скорости камня.