Диссертация (Движение мобильного устройства без внешних движителей по шероховатой плоскости), страница 11

В этом случае нормальные напряжения в формуле (1.19) принимают отрицательные значения в подобласти 0 ∈ , что должно быть учтено всилу односторонности контакта корпуса и плоскости. Поэтому здесь и далее вподобласти 0 принимается = 0.С целью анализа движения ползуна система уравнений (4.6) была численнопроинтегрирована при следующих значениях (если не оговорено иное) параметров системы и законов управления (2.8) и (3.6):0 = 0.5, 1 = 0.2, = 0.3;1 = −0.3, 1 = −0.4, = /3, = /2, Ω = 10; = 0.3.При этом параметр законов управления 1 () и () варьировался.Рассмотрим сначала случай > 0 , где√︃2 (1 − 1 ) 1.0 = 2Величина 0 определяется в подразделе 2.2.3.

Как было установлено, при такомограничении на корпус не совершает попятное движение вдоль оси . Приуказанных выше значениях параметров ≈ 0.23.На рисунке 4.4 представлены графики зависимости координат корпуса отвремени при = 0.3. Отметим, что движение корпуса периодическое с периодом , так как, ввиду наложенного на ограничения, корпус успевает остановиться до получения следующего импульса. При этом смещение центра корпуса,как и его поворот, за первый период движения меньше чем за последующие. Этообъясняется тем, что приращение скорости ∆ в момент времени 0 вдвое меньше, чем в моменты времени ( = 1, 2, . .

.). Заметим также, что попятныйповорот корпуса отсутствует, так как к моменту начала ускоренного вращениядиска в обратную сторону корпус успевает остановиться.Рассмотрим теперь случай < 0 . На рисунке 4.5 изображены графикизависимости координат корпуса от времени при = 0.2. Важное качественное отличие движения корпуса при < 0 состоит в отсутствии промежутков89Рисунок 4.4.

Графики координат (), () и () при = 0.3 за три периодадвижения внутренних массРисунок 4.5. Графики координат (), () и () при = 0.2 за пять периодов движения внутренних масс90Рисунок 4.6. Зависимость угла поворота корпуса от периода движения внутренних массвремени на которых корпус покоится. Такое поведение объясняется двумя факторами. С одной стороны уменьшается период до следующего приращенияскорости ∆ точки корпуса, с другой стороны в указанном случае величи⃒⃒⃒ ¨⃒на ⃒1 1 ⃒ превосходит величину силы трения покоя в любой момент времени, ане только в моменты , что приводит к возникновению попятного движениякорпуса. Отметим также, что, как и в предыдущем случае, движение корпусавыходит на периодический режим.График изменения угла поворота корпуса за один период в установившемся режиме движения для значений 0.1 6 6 0.7 представлен на рисунке 4.6.Функция ( ) монотонно увеличивается при уменьшении .

При этом можнозаметить излом в окрестности значения = 0 . Наличие этого излома объясняется тем, что при < 0 отсутствуют промежутки времени, на которых91Рисунок 4.7. График зависимости угла поворота корпуса за один период движения от коэффициента трения при = 0.5корпус покоится, в следствие чего он успевает повернуться на больший угол закаждый период .

Более того, на интервалах времени + < < ( + 1)диск равноускоренно замедляет свое вращение, что опять же приводит к неравномерности распределения нормальных напряжений в области контакта, а значит и распределения сил трения, с той лишь разницей, что теперь максимумраспределения приходится на противоположную, относительно оси , сторону контакта.

Учитывая, что в это же время центр корпуса начинает двигатьсяв противоположную сторону (рисунок 4.5), это еще больше увеличивает уголповорота.Установлено, что угол поворота корпуса за период положителен, еслиΩ > 0 и монотонно увеличивается с увеличением Ω.92Рисунок 4.8. Программное управление параметром Ω, позволяющее провестикорпус по S-образной траекторииС ростом коэффициента трения величина угла поворота монотонно падает,однако при = 0 (случай гладкой плоскости) корпус не поворачивается вовсе.Следовательно, угол поворота максимален при малых значениях коэффициентатрения.

На рисунке 4.7 представлен график зависимости угла поворота корпуса от коэффициента трения при малых значениях последнего за один периоддвижения при = 0.5. При стремлении коэффициента трения к нулю величина угла поворота асимптотически стремится к некоторому максимальномузначению.Проведенный качественный анализ позволяет предложить программу прохода корпуса по произвольной траектории движения на плоскости, управляяпри этом только параметром Ω и считая, что > 0 .

Если Ω = 0, корпус дви93жется поступательно вдоль продольной оси симметрии . Если Ω > 0, корпуссовершает поворот против часовой стрелки, при этом чем больше Ω, тем большевеличина угла поворота корпуса за каждый период движения. Если же Ω < 0,корпус совершает поворот по часовой стрелке. На рисунке 4.8 представлен пример программы управления параметром Ω и соответствующие ей графики зависимости угла поворота корпуса от времени и траектории движения точки на плоскости, при этом везде = 0.3.

Программа, представленная на графикахи соответствующая движению точки по S-образной траектории, имеет вид:Ω = 0 (20 периодов), Ω = 30 (40 периодов), Ω = −30 (40 периодов), Ω = 0 (20периодов движения).4.3.4.3.1.Случай вертикально-осевого расположения дискаУравнения движения и коэффициенты модели распределения нормальных напряженийРассмотрим теперь случай вертикально-осевой ориентации диска, то естьрасположим диск внутри корпуса таким образом, чтобы ось его вращения быланаправлена вертикально (рисунок 4.9). Тогда точки диска принадлежат плоскости и их радиус-векторы: = + , = 2, . .

. , ,а формула (1.33) принимает вид = + 1 12 + .Функции, необходимые для определения уравнений движения корпуса, находятся аналогично случаю горизонтально-осевого расположения диска. Учитывая, что в данном случае относительные угловые скорость и ускорение дискаопределяются выражениями: = ,94 = ,Рисунок 4.9. Ползун с точечной массой и диском, ось которого направлена пооси сначала упростим выражения для переносного, относительного и кориолисоваускорений -й точки диска: = + ¨ × + ˙ 2 × ( × ) = + ¨ × − ˙ 2 , = × + 2 × ( × ) = × − 2 , = 2˙ × ( × ) = −˙ .Подставляя два последних уравнения в формулу (1.31), найдем функцию :∫︁∫︁2 = − , = − ( × ) · = − где учтено, что интеграл от × по всему диску равен нулю в силу нечетности этой функции и симметричности диска, а также то, что × = 0 всилу коллинеарности векторов.Функции , как и в случае горизонтально-осевого расположения диска,равны нулю:∫︁∫︁ (︁)︁2 = − ( − ) · = −− (¨ + ) − (˙ + ) = 0,∫︁∫︁ (︁)︁2 = − ( − ) · = − (¨ + ) − (˙ + ) = 0.95Складывая функцию с 1 , а также учитывая выражения для 1 ,получим:(︁)︁˙ = − − 1 1 ¨ cos − ¨ sin + 2˙ 1 ,(︁)︁(︁)︁2¨˙ = −1 −˙ 1 + 1 , = −1 ¨ 1 + 2˙ 1 .(4.7)Как и в предыдущем случае, полученные функции зависят от ¨ , ¨ и .¨ Дословно повторяя те же самые действия, что и в разделе 4.2, получим уравненияотносительно :¨′ ¨ = − − 21(︁(︁)︁1 )︁ ˙11−˙ 1 1 − −1 ,где1 )︁ 2 + .

= + 1 1 − 1Для определения коэффициентов модели распределения нормальных напря′(︁жений (1.19), вычислим суммы:∫︁∑︁ = ( · ) = 0,=2∑︁∫︁ = − ( · ) = 0.=2Отсюда, с учетом формул (4.2), найдем коэффициенты : 0 0 − (0 0 − 1 1 ), − (0 0 − 1 1 ) − 0 0 =. − =(4.8)Окончательно запишем систему уравнений движения корпуса с расположенными внутри точечной массой, двигающейся вдоль продольной оси симметриикорпуса и диском, ось которого направлена по оси :¨ = ( − ) cos − ( − ) sin ,¨ = ( − ) sin + ( − ) cos ,(︁(︁)︁1 )︁ ˙1′ ¨ = − − 21 1 −1 ,˙ 1 1 − −(4.9)где функции и определяются второй и третьей формулами (4.7), а коэффициенты модели распределения нормальных напряжений (1.19) формулами96(4.1) и (4.8).

В качестве законов управления перемещением точечной массы иотносительной угловой скоростью диска, как и в предыдущем случае, возьмемфункции (2.8) и (3.6), вновь полагая = /2.4.3.2.Анализ движения корпусаВращение корпуса в случае вертикально-осевого расположения диска достигается не за счет изменения распределения нормальных напряжений, как этобыло в случае горизонтально-осевого расположения диска, а за счет его ускоренного вращения вокруг вертикальной оси, что приводит к повороту корпуса.При этом угловое ускорение корпуса направлено в противоположную, относительно углового ускорения диска, сторону.На рисунке 4.10 изображен график распределения нормальных напряженийв области контакта корпуса и плоскости при следующих условиях: корпус движется вдоль оси со скоростью ˙ = 0.1, точечная масса 1 расположенатак, что 1 = 1 , диск начинает вращение с угловым ускорением = 100.

Отметим симметричность распределения напряжений относительно оси симметриикорпуса . В отличие от случая горизонтально-осевого расположения диска,здесь распределение нормальных напряжений не зависит от его относительноговращения.На рисунке 4.11 представлен график распределения нормальных напряжений при ˙ = 0.3, при этом остальные параметры остаются прежними. Можнозаметить, что среднее давление корпуса на плоскость слева от оси выше,чем справа. Однако такой эффект происходит не из-за ускоренного вращениядиска, а из-за поворота самого корпуса вокруг вертикали против часовой стрелки.