Диссертация (Движение мобильного устройства без внешних движителей по шероховатой плоскости), страница 13

Обнаружено, что в случае горизонтально-осевого расположения диска возможны ситуации, когда в некоторой подобласти контактакорпуса и плоскости происходит отрыв, что необходимо учитывать при использовании модели распределения нормальных напряжений. Проведен численныйанализ полученных уравнений, рассмотрены типичные траектории движения105корпуса в зависимости от периода колебаний точечной массы и диска, определены их характерные особенности.Для горизонтально-осевого расположения диска получена зависимость величины угла поворота корпуса от периода колебаний внутренних масс. Можносделать вывод, что величина угла поворота растет при уменьшении периода.Также численно получена зависимость угла поворота за каждый период движения масс от коэффициента трения. Отличительной особенностью являетсяасимптотическое стремление величины угла поворота корпуса к некоторомумаксимальному значению при стремлении коэффициента трения к нулю, притом, что в случае, если коэффициент трения равен нулю (случай гладкой плоскости), поворот отсутствует вовсе.Для обоих способов расположения диска, проведенный анализ позволилпредложить программу управления движением внутренних масс, в результате которой корпус проходит по S-образной траектории.В конце главы приводится сравнение эффективности поворотов корпуса длягоризонатльно- и вертикально-осевого расположений диска.

Основным параметром определяющим эффективность использования того или иного расположения является коэффициент трения. При средних значениях коэффициентатрения (0.3 6 6 1.5) вертикально-осевое расположение диска выглядит предпочтительным, а при малых ( < 0.3) и больших ( > 1.5) — горизонтальноосевое.

Эффективность горизонтально-осевого расположения диска при малыхзначениях коэффициента трения объясняется наличием попятного поворотакорпуса при использовании вертикально-осевого расположения, а при больших — большой величиной сил трения, затрудняющих поворот корпуса по инерции.106ЗаключениеВ рамках диссертационной работы изучалось движение мобильного устройства без внешних движителей с плоским прямоугольным основанием, опирающегося на шероховатую плоскость. Движение устройства достигается благодаря перемещению материальных точек, расположенных внутри, и взаимодействию корпуса с опорной плоскостью посредством сил трения.

В отличие отработ [32–45] рассмотрена трехмерная (движение тела по плоскости) задачаопределения движения мобильного устройства для произвольной конфигурации внутренних материальных точек.Получена система уравнений движения корпуса устройства, а также определены коэффициенты модели нормальных напряжений. Сформулированы достаточные условия равновесия корпуса на плоскости.Далее разобран частный случай — поступательное движение мобильногоробота вдоль продольной оси его симметрии.

Рассмотрен случай материальнойточки, двигающейся вдоль продольной оси симметрии корпуса [32, 33, 36, 40, 42,44,45] по гармоническому закону. Движение системы определено в зависимостиот частоты колебаний точки.Рассмотрена еще одна распространенная конфигурация материальных точек [34, 35, 37–40]: две точечные массы, одна из которых движется вдоль продольной оси симметрии корпуса, а вторая — вдоль вертикали.

Показано, чтов случае использования гармонического закона движений для обоих масс такая система эквивалентна математическому маятнику, расположенному внутрикорпуса, при условии, что массы движутся в противофазе. Найдены уравнения движения корпуса и маятника. При этом предполагалось, что в качествеуправляющего воздействия выступает момент силы, приложенный к маятнику.Коэффициенты закона управления были найдены из экспериментальных данных. Проведенное путем численного интегрирования уравнений моделированиедвижения системы показало качественное согласие с экспериментом.107Разобран еще один частный случай движения мобильного устройства — поворот вокруг центра масс.

Рассмотрен случай однородного диска, расположенного в горизонтальной плоскости [64]. Для кусочно-линейного закона управления относительной угловой скоростью диска найдена область параметров закона управления, при выборе значений из которой главный момент сил тренияпокоя, действующая на корпус со стороны плоскости, гарантированно преодолевается.Также исследован случай двух точечных масс [46, 47, 63–65], двигающихся в горизонтальной плоскости параллельно продольной оси симметрии корпуса в противофазе.

Проведен анализ движения устройства при использованиикусочно-линейного закона управления смещением масс. Численно найдены параметры закона управления, доставляющие угловой скорости корпуса максимум в установившемся режиме поворота.В последней главе вновь рассмотрен случай трехмерного движения корпуса.В качестве конфигурации внутренних тел выбрана точечная масса, двигающаяся вдоль продольной оси симметрии корпуса и однородный диск, центр которого совпадает с центром корпуса [60–62]. При этом диск ориентировался двумяспособами, для каждого из которых получены уравнения движения системы икоэффициенты модели распределения нормальных напряжений.Для случая горизонтально-осевого расположения диска показано, что поворот корпуса происходит именно благодаря неравномерному распределениюнормальной нагрузки, вызванному ускоренным вращением диска.

Движениесистемы проанализировано, выявлены зависимости величины поворота корпуса за один такт движения внутренних масс от параметров закона управленияи коэффициента трения. Далее рассмотрен случай вертикально-осевого расположения диска, для которого также проведен численный анализ. Для обоихрасположений диска приведена программа управления внутренними массами,позволяющая провести корпус по S-образной траектории.

Произведено сравнение целесообразности выбора горизонтально- и вертикально-осевого располо108жений диска, с точки зрения максимизации угла поворота корпуса мобильногоустройства. Показано, что использование горизонтально-осевого расположениядиска эффективнее при малых и больших значениях коэффициента трения, авертикально-осевого — при средних.Таким образом, в настоящей работе приведено комплексное исследование динамики мобильного устройства, двигающегося благодаря перемещениям внутренних тел. Приведены различные типовые примеры их конфигураций,позволяющие осуществить то или иное движение мобильного устройства.БлагодарностиАвтор выражает благодарность научному руководителю проф. А.П. Иванову за помощь в создании настоящей работы и проф.

Н.Н. Болотнику за критические замечания. Автор также выражает благодарность коллективу кафедрытеоретической механики МФТИ за поддержку и помощь в изучении одноименного предмета.109Литература1. Анцелович Е. С. Леонардо да Винчи: Элементы физики. — М.: Учпедгиз,1955.2. Amontons G. De résistance caus ee dans les machines // Mémories del’Academie Royale. — 1699. — Pp. 203–222.3. Coulomb C. A.

Théorie des machines simples // Mémoires de mathematique etde physique de l’Academie des sciences. — 1785. — Vol. 10. — Pp. 161–331.4. Джеллетт Д. Х. Трактат по теории трения. — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009.5. Canudas de Wit C., Olson H., Astrom K. J., Lishinsky P. A new model forcontrol of systems with friction // IEEE Trans.

AC. — 1995. — Vol. 40, no. 3. —Pp. 419–425.6. Козлов В. В. Лагранжева механика и сухое трение // Нелинейная динамика. — 2010. — Т. 6, № 4. — С. 855–868.7. Contensou P. Couplage entre frottement de glissement et frottement de pivotement dans la théorie de la toupie // Kreiselprobleme Gyrodynamics: IUTAMSymp. Celerina, 1962. — Berlin etc., Springer, 1963. — Pp.

201–216.8. Журавлев В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел //ПММ. — 1998. — Т. 62, № 5. — С. 762–767.9. Zhuravlev V. G. The model of dry friction in the problem of the rolling of rigidbodies // J. Appl. Math. Mech. — 1998. — Vol. 62, no. 5. — Pp. 705–710.10. Farkas Z., Bartels G., Unger T., Wolf D. E. Frictional coupling between slidingand spinning motion // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 90, no. 24. — P. 248302.11011.

Фаркаш З., Бартельс Г., Унгер Т., Вольф Д. Э. О силе трения при поступательном и вращательном движении плоского тела // Нелинейная динамика. — 2011. — Т. 7, № 1. — С. 139–146.12. Иванов А. П. О движении плоских тел при наличии трения покоя // Изв.РАН. МТТ. — 2003. — № 4. — С.

89–94.13. Киреенков А. А., Семендяев С. В. Связанные модели трения скольжения иверчения: от теории к эксперименту // Труды МФТИ. — 2010. — Т. 2, № 3. —С. 174–181.14. Kireenkov A.A. Further development of the theory of multicomponent dry friction // Proceedings of the VI International Conference on Coupled Problems inScience and Engineering.

— CIMNE, 2015. — Pp. 203–209.15. Euler L. De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum qvam flexibilium.methodus nova et facilis // Commentarii Academiae Scientiarum ImperialisPetropolitanae. — 1735. — Vol. 7. — Pp. 99–122.16. Кориолис Г. Математическая теория явлений бильярдной игры. — М.: Гостехиздат, 1956.17. Painlevé P. Leçons sur le frottement. — Paris: Hermann, 1895.18. Appell P.

Sur le mouvement d’une bille de billard avec frottement de roulement // J. des mathématiques pures et appliquées 6e série. — 1911. — Vol. 7. —Pp. 85–96.19. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.20.