Диссертация (Структура сжимаемых вихревых течений Куэтта-Тэйлора), страница 2

Это расхождение между теорией иэкспериментом до сих пор не нашло исчерпывающего объяснения. Внастоящее время ситуация остается неоднозначной [43, 44]. В частности,неустойчивость течения, устойчивого с точки зрения линейной теории,может быть вызвана как нелинейными эффектами, так и неидеальностямисамого эксперимента: несоосностью цилиндров, неидеальностью ихповерхности, нестабильностью вращения и т.д. Устранение указанныхнеидеальностей устраняет и неустойчивость течения [44, 45]. При этом, чембольше числа Рейнольдса (скорость вращения цилиндров), тем вышетребования к точности эксперимента для устранения этих неидеальных8неустойчивостей. В качестве неидеальности могут выступать и пограничныеэффекты, вызванные, например, конечностью высоты цилиндров [46]. Имиможно пренебречь при малых числах Рейнольдса, но они представляютсерьѐзную проблему при числах Рейнольдса порядка 105 и более.Хорошо известно (см., например, [47]), что вследствие неустойчивостичисто вращательное ламинарное одномерное течение Куэтта преобразуется вболее сложное (но также устойчивое) трѐхмерное течение, структуракоторого зависит от относительной скорости вращения цилиндров.

На пути кразвитой турбулентности течение Тейлора-Куэтта проходит через несколькотаких устойчивых состояний со всѐ более сложной структурой, которыевозникают с возрастанием числа Рейнольдса. Неустойчивость чистовращательного течения Куэтта ввиду такого еѐ поведения принято называтьпервичной неустойчивостью течения Тейлора-Куэтта.Однако проблема течения Тейлора-Куэтта все еще далека от полногоразрешения, несмотря на интенсивное изучение.

Например, предельныйслучай, когда отношение длины промежутка между цилиндрами к радиусустремится к нулю, должен согласовываться с плоским течением Куэтта.Здесь возможны два случая: или бесконечный радиус, или очень маленькийпромежуток. Поэтому критерий устойчивости должен учитывать этот факт.Можно обнаружить, что критерий Тейлора не работает в предельном случае,поскольку плоское течение Куэтта всегда устойчиво в связи с тем, что числоТейлора равно нулю по критерию Тейлора. Это может быть связано с тем,что критерий Тейлора учитывает только эффект центробежной силы и невключает кинематическую инерционную силу. Поэтому он считаетсяподходящим для течений с малым числом Рейнольдса и большой кривизной.Для больших чисел Рейнольдса и малой кривизны течение может переходитьк турбулентности быстрее и, тем не менее, не нарушать критерий Тейлора.В недавней своей работе Доу [21,22] предложил новую теориюградиента энергии для анализа неустойчивости течения и перехода ктурбулентности.

В этой теории критическое условие для неустойчивоститечения зависит от основного течения и возмущений, что согласуется сэкспериментальными наблюдениями. Для данного возмущения критическоеусловие неустойчивости течения и перехода к турбулентности определяетсяотношением K – градиента полной механической энергии в поперечномнаправлении к потере полной механической энергии в продольномнаправлении. Для данной геометрии течения и данной жидкости, когда9максимум K в поле течения превышает критическое значение,предполагается возникновение неустойчивости для некоторых начальныхвозмущений при условии, что энергия возмущения достаточно высока. Дляплоского течения Пуазейля (течение в канале), течения Хагена-Пуазейля(течение в трубе) и плоского течения Куэтта (простое сдвиговое течение)результаты этой теории согласуются с экспериментальными данными. Дляэкспериментально определенного критического условия Кс равно 370-389 длявсех выше упомянутых типов течений, ниже которого турбулентность невозникает.

Эта теория также предлагает механизм неустойчивости,связанный с профилем скорости с точкой перегиба для вязких течений.Теория также была использована для изучения вязкоупругих течений, гдепреобладает эффект упругой силы [25]. Следует отметить, что теорияградиента энергии является полуэмпирической поскольку критическоезначение числа К определяется экспериментально и пока не может бытьрассчитано теоретически.

В этой теории представляет интерес толькокритическое условие неустойчивости, а детали процесса неустойчивости неприводятся.В работе Доу Х. С и др. [25] применяется теория градиента энергии дляанализа течения Тейлора-Куэтта между концентрическими вращающимисяцилиндрами с целью показать, что механизм неустойчивости теорииТейлора-Куэтта может получить объяснение на основе концепции градиентаэнергии. Путем сравнения с результатами экспериментов в работе показано,что функция градиента энергии K в качестве критерия устойчивостидостаточна для описания неустойчивости течения Тейлора-Куэтта. Такжепоказано, что плоское течение Куэтта может быть рассмотрено какпредельный случай течения Тейлора-Куэтта, когда кривизна стенокстремится к нулю. Для течений между вращающимися концентрическимицилиндрами неустойчивость течения может быть вызвана вращением каквнутреннего, так и внешнего цилиндра.

В случае если она вызванавращением внутреннего цилиндра, картина вихревых ячеек Тейлорапоявляется при нарушении критического условия, что согласуется срезультатами экспериментов. Если неустойчивость вызвана движениемвнешнего цилиндра, картина вихревых ячеек Тейлора не возникает, и течениеможет напрямую перейти к турбулентности при достижении критическогоусловия вследствие инерционной силы, как в случае плоского теченияКуэтта.

В этой работе рассмотрен только первый случай.10Доу в работе [21] предложил принцип, нацеленный на прояснениеявления перехода от ламинарного к турбулентному состоянию длясдвиговых течений, ограниченных стенкой. Все течение рассматривается внем как энергетическое поле. Предполагается, что градиент полноймеханической энергии в поперечном направлении основного течения ипотери полной механической энергии из-за сил вязкости в продольном (попотоку) направлении оказывают решающее влияние на явлениянеустойчивости, а, следовательно, и ламинарно-турбулентный переход дляданного возмущения.

Предполагается, что градиент энергии в поперечномнаправлении усиливает возмущения скорости, в то время как потери за счетвязкости в продольном направлении могут поглощать возмущения.Неустойчивость течения или его переход к турбулентности зависит ототносительной величины двух этих составляющих. В работе [22] был данболее детальный вывод, наиболее точно описывающий этот механизм, атеория была названа теорией градиента энергии.Уравнение полной механической энергии для течения несжимаемойжидкости в пренебрежении гравитационными членами, записывается так:u1 ( p  u 2 )  2u   (u    u)t2Для течений, вызванных градиентом давления, производные полнойэнергии в поперечном и продольном направлении, выражаются как:E  ( p  (1 / 2) u 2dndn  (u  ω). (  2u). u  (  2u) nnn| dn || dn |E ( p  (1 / 2) u 2 )dsds  (u  ω). (  2u) (  2u) sss| ds || ds |где – завихренность.

Поскольку в таких течениях отсутствует внешняясила,величина потерь полной энергии единичного объема жидкости впродольном направлении равна производной полной энергии, т.е.HEssДля сдвиговых течений справедливо уравнение:HE W,ss sгде W – работа внешних сил на единицу объема.Для данного основного параллельного течения жидкие частицы могут11совершать колебательное движение в продольном направлении, если ониподвергаются возмущениям.Частица может получить энергиюотвозмущения, и одновременно эта частица теряет энергиюв связи сдействием вязкости в продольном направлении. Анализ в работах [22, 24]показал, что величиныиопределяет устойчивость течения жидкихчастиц.Для параллельных течений относительная величина получаемой итеряемой энергий определяет степень нарастания или затуханиявозмущения.Таким образом, для данного течения критерий устойчивостиможет быть записан так для полупериода:E  E 2 A   H 2  2 Ad2  m'Fu K 2K Const:H  n    s d   2uuKEn .HsЗдесь, F– функция от координат, выражающая отношение получаемой итеряемой энергий за полупериод.

K– безразмерная функция, выражающаяотношение поперечного градиента энергии к скорости потери энергии вдольпотока.Распределение функции K в поле течения может быть хорошимсредством для описания нарастания или затухания возмущений в потоке. Всоответствии с данной теорией, можно указать, что первое возникновениенеустойчивости происходит в точке Kmax, для данного возмущения, котораярассматривается, как наиболее «опасная». Таким образом, для данноговозмущения возникновение неустойчивости зависит от величиныбезразмерного параметра K и критического условия, которое определяетсямаксимумом этого параметра.