Автореферат (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 3

ограниченные решения следующих краевых задач:s 2GuLF0 k  l11q  GuLF0 k   l12 q  GwLF0 k  ,s 2GwLF0 k  l21q  GuLF0 k   l22 q  GwLF0 k  , GuLF0 k2LFuksG l11q  GLFukLs 2Gwk l21q  GukLFz 0 1k , GwLF0 k  l G      z   ,  l G      z   , G12 qLFwk22 qLwkz 0 2 k  k  1, 2  ;1k3kгде   z  - дельта-функция Дирака.LFuk z  0LF Gwkz 0 0  k  1,3 ,(2.12)(2.13)Аналогичным образом записывается решение задачи (2.9) (для примераиспользуется первое из граничных условий):LFH mLF  q, z , s    GHLF  q, z , , s  f Hm q, , s  d  0LF 0 m e2GHLF0  q, z, s  h0LF  q, s  , f Hm e2 slF  umLF , wmLF  .(2.14)12Здесь GHLF0 и GHLF - функции Грина, т.е.

ограниченные решения следующих краевых задач: 2GHLF0GHLF02 LF ke GH 0  0,z 2z 1.(2.15)z 0 2GHLFGHLF2 LF ke GH    z    ,z 2z 0.(2.16)z 0С использованием полученных в приложении таблиц оригиналы последних двух функций Грина найдены в явном виде:GH 0  x, z,    2 f  x, z,   , GH  x, z, ,     f  x, z  ,    f  x, z   ,   ,(2.17)1 2e 2 2 2f  x, z ,     e2 r 2  ch   e2 r 2  .22С помощью оригиналов интегрального представления (2.14) получено решениезадачи об определении параметров электромагнитного поля в движущейся позаданному закону u  x, z,   и w  x, z,   полуплоскости z  0 .

На рис. 1 и 2 представлены полученные с помощью численного интегрирования зависимости отвремени напряженности H магнитного и координаты E3 вектора напряженности электрического полей для полуплоскости, материал которой характеризуется параметрами e  0,111 104 ;   5,06 , со следующими начальным состоянием и граничным условием: e0  z    z  1 и e0  x,    0 .1Рис. 1Рис. 2Поле перемещений принималось в виде: w  0, u  xze z  . Сплошныекривые соответствуют x  z  0 ; штриховые - x  z  0,5 ; штрихпунктирные x  z  1.13Задача об определении функций Грина (2.12) и (2.13) гораздо болеесложная. Построение решения этих краевых задач достаточно громоздко, нореализуется с помощью стандартных методов.

Все сложности связаны с построением оригиналов. В качестве примера приведем некоторые из изображений:k2  k1 z LF k2  k2 zLFLFLFLFLFLFGuLFe , G132 e ,02  Gu 0  iqG130 , G130  G131  G132 , G131  RRk1  k1  q 2 , s 2  s 2  q 2 , k2  k2  q 2 , s 2  s2  q 2 , Re   0,(2.18)R  R  q 2 , s 2   q 2  k1k2 .LFLFGuLF1  q, z , , s   G110  q, z , , s   G111  q, z , , s  H    z  LF G111 q, , z, s  H  z    ,LF110G(2.19)q 2 P1  z  k1R122R1 4 LFLF  G110 j , G1101   2 e, P1  2 , P3  2 1 ,2 j 1s k1s Ps PLFG1102  s 2 k2 Pe1  z   k2LFLFLF, G1103 s 2 q 2 k 2 P3e  zk1 k2 , G1104 q, z, , s   G1103 q, , z, s  ,P  P(q 2 , s 2 )  1  2  q 2  2 s 2 , R1  R1 (q 2 , s 2 )  q 2  k1k2 ,LF111Gk   z k1 2 LFq 2   z  k1 LFLF  G111 j , G1111   2 e, G1112  22 e   2 .2 j 1s k1sОригиналы некоторых из составляющих этих функций Грина находятсяпоследовательным обращением преобразований.

Для остальных же используется алгоритм совместного обращения преобразований Лапласа и Фурье, основанный на использовании аналитического представления оригинала. В результате все оригиналы представлены в явном виде, который в силу громоздкостиздесь не приводится.На рис. 3 и 4 представлены графики распределения функций Грина покоординате x .

Первый из них изображает функцию G130 при z  1 и   1.87 вразные моменты времени: сплошная линия соответствует   1.1, точечная   1.5 , а пунктирная -   2 . На втором - при   3, z  2,   1 и   1.73сплошная кривая соответствуют Gu1 , штриховая - Gw3 , штрихпунктирная Gu 3 ,штрихпунктирная с двойным пунктиром - Gw1 .14Рис. 3Рис. 4С использованием оригиналов интегральных представлений (2.11) данорешение ещё одной составляющей общей связанной задачи - задачи о движении упругой полуплоскости под действием заданных объемных сил с координатами F1  x, z,   и F3  x, z,   .

В общем случае реализация этой задачи сводитсяк вычислению соответствующих интегралов. В качестве примера рассмотренпростейший вариант сил, равномерно распределенных вдоль прямой z  z0 :F1  p1  z  z0      , F3  p3  z  z0      , где p1, p3  const . Он приводит к ана-литическому решению (здесь приведены только нормальные перемещения): p H     z  z   H     z  z  H  z  z  .2w  x, z,    p3 H     z0  z   H     z  z0  H  z0  z  3000Суммированием всех предыдущих результатов этой главы является общий алгоритм решения связанной задачи для полуплоскости.

В качестве примера рассматривается частный случай граничных условий (2.1) при U 0  W0  0и e0  x,    0 . Показано, что нулевое приближение ( m  0 ) в этом случае имеетвид:u0  w0  0, H 0  e2GH 0   e0  e0  , E10  Ge10   e0  e0  ,E30  Ge30   e0  e0  , 0  0.При m  1 должны быть использованы оригиналы интегральных представлений (2.11) и (2.14) и их аналоги для компонент вектора напряженностиэлектрического поля (соответствующие ядра найдены в диссертации).

Соответствующий плотности зарядов коэффициент ряда в (2.6) определяется вытекающим из (2.4) равенством (звездочка обозначает свертку по времени):m  l  wms  x, z,   , ums  x, z,   , ums  um  e  um , wms  wm  e  wm . (2.20)15При этом плотность тока находится по формуле (1.10).Для устранения необходимости дифференцирования по координате x в(2.20) и в интегральном представлении для компонент вектора напряженностиэлектрического используется следующее преобразование:l  um , wm   e 0um  e 0 m , l  wm , um   e 0 wm  e 0 m ,.(2.21)m    um , wm  , m    um , wm  ,где  и  - операторы, соответствующие объемному расширению и ненулевойкомпоненте вектора вращения.Для замыкания алгоритма получены дополнительные интегральные представления функций  m и m , и найден явный вид их ядер.Аналогичным образом построен алгоритм решения связанной задачи дляполуплоскости для следующего варианта граничных условий: U 0  e30  0 иW0  x,    0 .

В качестве примера рассмотрен случай W0  W0    . В качествепримера рассмотрена алюминиевая полуплоскость с физическими параметрами  0,0806;   5,06 при W0  H    и начальным полем следующего вида:e0  1 2 z , E0  z . На рисунке 5 приведены графики изменения перемещения по времени  для различных значений z : сплошная линия соответствуетz  9 , пунктирная z  6 , штрихпунктирная z  3 , штрихпунктирная с двумяточками z  0.1.

На рисунке 6 приведены графики изменения напряжённостиэлектрического поля по времени  для различных значений z : сплошная линиясоответствует z  3 , пунктирная z  6 , штрихпунктирная z  9 , штрихпунктирная с двумя точками z  0.1.wEРис.5Рис.

616Третья глава посвящена исследованию процесса распространения нестационарных осесимметричных волн в электромагнитоупругой толстостеннойсфере с внутренним r0 и внешним r1 радиусами под действием нестационарныхповерхностных возмущений вида ( k  0,1):u r r  U k  ,  , v r  r  Vk  ,   , Ekkr  rk e0 k  ,   (или Err  rk er 0k  ,   ). (3.1)Предполагается, что в начальный момент времени   0 сфера находитсяв невозмущённом состоянии, а начальное электромагнитное поле имеет вид:E0r  E0  r  , E0  0, H 0  0 . Эти условия совместно с соотношениями (1.11) (1.14) и уравнениями Максвелла относительно ненулевых компонент векторанапряженности электрического поля аналогично главе 2 образуют начальнокраевую задачу.Для ее решения функции u, Er , e , Fr , jr ,U k , er 0k раскладываются в ряды пополиномам Лежандра Pn  cos   , а функции v, E , H , F , j ,Vk , e0k - в ряды по полиномам Гегенбауэра Cn321  cos  .

В пространстве преобразований Лапласа повремени уравнения относительно изображений коэффициентов рядов (дополнительный нижний индекс « n » - их номер) следуют из (1.11) - (1.13):s 2unL  l11n  unL   l12 n  vnL   gu , gu  e 0 ErnL  E0nL  n  0  ,s 2 vnL  l21n  unL   l22 n  vnL   g v , g v  e 0 ELn  E0 H nL  n  1 ;se2 e2 H nL  n H nL  e2 slH  unL , vnL  , lH  u, v   lr1  r e 0v   r 1e 0u  n  1 ; s    nL  sln unL , vnL  , ln u, v   r 1 lr1  r 2e0u   n  n  1 e0v  ,(3.2)(3.3)(3.4)гдеl11n  u   lr 2  u   r 2  n  n  1 2  2 u , l12 n  v   n  n  1 l21n  v    3  2  r 2v  ,l21n  u    1  2  r 1 lr1  r u   1  2  r 2u, l22 n  v   2lr 2  v   n  n  1 r 2 v,1   2  1 .r , lr1 2r r rrrФормулы для изображений координат вектора напряженности электрического поля вытекают из скалярного аналога уравнений Максвелла: n  lr 2  n  n  1 r 2 , lr 2 e2  s    ErnL  n  n  1 r 1 H nL  e2 se 0unL  n  0  ,e2  s    ELn  lr1  rH nL   e2 se 0 vnL  n  1 .(3.5)Коэффициенты рядов для координат вектора плотности тока следуют из(1.14):(3.6)jrn  Ern  e0un  , jn  En  e 0vn  .Из граничных условий (3.1) при этом получаем следующие равенства:17unLr  rk U knL  s   n  0  , vnLlr1  rH nL r  rkr  rk VknL  s  , lr1  rH nL  e2 h0Lk  n  1 (или n  n  1 r 1 H nL e2 h0Lk  n  1 ,(3.7) e2 hrL0  n  1 ),(3.8)r  rkr  rkh0Lk  se0VknL  s    s    e0Lkn  s  , hrL0 k  se0U knL  s    s    erL0 kn  s  .Соотношения (3.2) – (3.5) и (3.8) образуют краевые задачи при каждом n .Их решения представляются в виде рядов вида (2.6).

Тогда приходим к рекуррентным по m последовательностям уравненийs 2u00L  l110  u00L  ;(3.9)s 2u0Lm  l110  u0Lm   gu  ErL0,m1 , 0,L m1   m  1 ;se2 ErL0 m  s 2e 0u0Lm ,  s    0Lm   slr 2 e 0u0Lm   m  0  ;(3.10)(3.11)- при n  1s 2unL0  l11n  unL0   l12n  vnL0  , s 2vnL0  l21n unL0   l22n  vnL0  ;LLs 2unm l11n  unm  l12n  vnmL   gu  ErnL ,m1 , nL,m1  ,2 Lnmsv l21n  uLnm  l v   g  E22 nLnmvLn , m 1,HLn , m 1  m  1 ;LLLLse2 e2 H nm n H nm e2 slH  unm, vnm;Le2  s    ELnm  r 1lr1  rH nm  e2 se0vnmL ,LLLe2  s    Ernm n  n  1 r 1 H nm e2e 0unm;LLL sln  unm, vnm s    nm.(3.12)(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)Соответствующие им граничные условия ( k  0,1)unL0lr1  rH nL0 r  rkr  rk 0 mU knL  s   n  0  , vnL0r  rk 0 mVknL  s   0 m e2 h0Lk (или n  n  1 H nL0r  rk n  1 ; 0 m e2 rk hrL0 k  n  1 ).(3.17)(3.18)Задачи (3.9),(3.12) и (3.17) при m  0 – чисто упругие.

Их решение достаточно подробно исследовано. Поэтому далее везде, кроме последнего параграфа этой главы, положим что U k  ,    0, Vk  ,    0 , что в силу однородностизадач приводит к тривиальному результату: un0  r ,    0, vn0  r ,    0 (n  0) .Решение задачи (3.10), (3.13) и (3.17) при m  1 аналогично главе 2 представляется в интегральном виде:u0Lm  r , s    GuuL 0  r , , s  fuL0,m 1  , s  d  ;r1r0(3.19)18LLLunm r , s    Guun r , , s  funL,m1  , s  d    Guvn r , , s  f vnL,m1  , s  d ,r1r1r0r0LLLvnm r , s    Gvun r , , s  funL,m1  , s  d    Gvvn r , , s  f vnL,m1  , s  d ,r1r1r0r0(3.20)LLLLfunm , s   gu  Ernm , s  , nm , s  , fvnm , s   g v  ELnm  , s  , H nmL  , s  .Ядра этих представлений - функции Грина, т.е.