Автореферат (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 6

Показано, что имеют место следующие равенства:Guun  0, ,    Gvun  0, ,    Guvn  0, ,    Gvvn  0, ,   (5.2) Guun  r ,0,    Gvun  r ,0,    Guvn  r ,0,    Gvvn  r ,0,    0  n  1 ;Guu1  0, ,    Gvu1  0, ,    2Gu1  ,   ,Guv1  0, ,    Gvv1  0, ,    22Gv1  ,   .(5.3)Последние равенства объясняются тем, что шар может двигаться как абсолютно твердое тело.Найден явный вид функций Gu1 и Gv1 . С его помощью доказаны равенстваGuu1  0,0,    Gvu1  0,0,    Guv1  0,0,    Gvv1  0,0,    0,(5.4)GuL1  , s  , GvL1  , s   O  1  ,   0,которые используются при вычислении интегралов в представлении перемещений.GuvnGuunРис.

21Рис. 2229На рис. 21 и 22 приведены зависимости функций Guun и Guvn от временипри   2,04 , r  2 ,   1,5 и r  1, 2 : на рис. 21 сплошная кривая соответствуетn  0 , штриховая - n  1 , штрихпунктирная n  2 ; на рис. 22 сплошная криваясоответствует n  1 , штриховая - n  2 .Построено также решение задачи об осесимметричном движении упругого шара под действием объемных сил при наличии абсолютно жесткой обоймына поверхности. Рассмотрены примеры для трех вариантов сил: а) сосредоточенная на внутренней сфере радиальная сила; б) равномерно распределенная порадиусу радиальная сила; в) сила направлена по оси   0 : Fr  H    cos  ,F   H    sin  .u1rrРис.

23v1Рис. 24Последний вариант соответствует поступательному движениюu  u1  r ,   cos , v  v1  r ,   sin  . Для него на рис. 23 и 24 при   2,04 и r  2представлены распределения по координате r функции u1 и v1 : сплошные кривая соответствует моменту времени   0.5 , штриховые -   1 , а штрихпунктирные -   1.5 .В последнем параграфе этой главы исследована связанная задача дляэлектромагнитоупругого шара.

В целом, алгоритм решения аналогичен разработанным в главах 3 и 4. В качестве примера рассмотрен шар радиуса r1  2 ,материал которого характеризуется параметрами   2,04; e  0,111  104 ;  5,06;   0,0806 , под действием следующего начального электрическогополя: E0  1, 0e  2 r . На границе полости напряженность электрического поляимеет вид: e00   sin  .Результаты расчетов представлены на рис. 25 и 26. На них изображеныграфики коэффициентов радиальных перемещений и радиальной компонентынапряжённости электрического поля в зависимости от радиуса.

При этом30сплошная линия отвечает моменту   0,2 , штриховая -   0,3 , штрихпунктирная -   0,4 .u1Er1rrРис. 25Рис. 26В приложении приведены таблицы некоторых не вошедших в широкоизвестные справочники оригиналов изображений преобразований Лапласа, одномерного экспоненциального преобразования Фурье и совместного преобразования Лапласа и Фурье. Все формулы сопровождается необходимыми выкладками. В том числе, обнаружены неточности в строке № 29.144 книги Диткин В.А., Прудников А.П.

- Справочник по операционному исчислению.- М.:Высшая школа, 1965. – 466 с.Приведены ФСР нестационарных уравнений электродинамики и теорииупругости в пространстве преобразований Лапласа по времени в сферическойсистеме координат для осесимметричного движения и в прямоугольной декартовой системе координат. Найдена связь общих решений уравнений теорииупругости в перемещениях с решениями уравнений для объемного расширенияи ненулевой компоненты вектора вращения.Для осесимметричного движения установлена связь функций из ФСР сэлементарными функциями.

Изучены свойства вронскианов нестационарныхуравнений электродинамики и теории упругости, в том числе их выражения через элементарные функции. С использованием этих результатов получены явные формулы для миноров используемой в диссертации матрицы граничныхусловий для упругой части связанной задачи.

Изучены асимптотические свойства функций из ФСР в окрестности нуля и бесконечности.Доказаны утверждения об обобщенной симметрии функций Грина дляэлектродинамики и теории упругости, из которых вытекают их структуры(3.27), (3.29) и (3.30).31Следствие П.6.1. Функция Грина G  r ,   как решение краевой задачи(  , )r 2  r 2G    G   G    r    , ak u  bk u  r  r  0, ak , bk  , ak2  bk2  0  k  0,1 ,kобладает следующей симметрией:G  r,   2G  r,  , G  r,   G  , r  .Утверждение П.6.2.

Пусть матрицаLL Guunr , , s  Guvn r , , s  G n  r , , s    LL Gvun  r , , s  Gvvn  r , , s  есть решение краевой задачи ( s  )Ln s 2 E  G n  E  r     0, G nr  r0 , r1 0, Ln   lijn 22,где lijn - определенные в (3.4) операторы, E - единичная матрица.Тогда ее элементы она обладают следующей симметрией:2Guun  , , s    2Guun  , , s  , 2Gvvn  , , s    2Gvvn  , , s  ,2Guvn  , , s   m 2Gvun  , , s  .Заключение1. Дана общая математическая постановка задач нестационарной связанной термоэлектромагнитоупругости анизотропных тел. Из нее как частныйслучай получены начально-краевые задачи для изотропных проводников.2.

Предложен и реализован основанный на использовании малого параметра метод решения класса нестационарных связанных двумерных задач впрямоугольной декартовой и сферической системе координат.3. Получены решения новых нестационарных связанных плоских задачэлектромагнитоупругости для полупространства.4. Получены решения новых нестационарных связанных осесимметричных задач электромагнитоупругости для толстостенной сферы, пространства сосферической полостью и шара.5. Построены нестационарные поверхностные и объемные функции Грина для электромагнитной и упругой полуплоскостей.6. Доказаны утверждения о структуре нестационарных осесимметричныхобъемных функций функции Грина в сферической системе координат.327.

Построены нестационарные объемные функции Грина для электромагнитных и упругих толстостенной сферы, пространства со сферической полостью и шара.8. Получено решение нестационарных двумерных задач для тел указанной геометрии о деформировании под действием объемных сил и об определении электромагнитного поля по заданным перемещениям.Основные публикации по теме диссертацииПубликации в изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК1.Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в электромагнитоупругом полупространстве и слое.

// ДокладыРАН, 2009. - Т. 426, №6 - С. 747 - 749. = Vestyak V.A., Lemeshev V.A., Tarlakovsky D.V. One-dimensional time-dependent waves in an electromagnetoelastic halfspace or in a layer / // DOKLADY PHYSICS. — 2009. — V. 54. — Issue 6. — P.262—264.2.Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных радиальных возмущений от сферической полости в электромагнитоупругом пространстве // Доклады РАН, 2010. - Т. 434, № 2 - С. 186 - 188. = Vestyak V.A., Lemeshev V.A., Tarlakovskii, D. V. The propagation of time-dependentradial perturbations from a spherical cavity in an electromagnetoelastic space / //DOKLADY PHYSICS.

— 2010. — V. 55. — Issue 9. — P. 468 — 470.3.Вестяк В.А., Садков А.С., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных объемных возмущений в упругой полуплоскости // Изв. РАН. МТТ,2011.- № 2.- С. 130-140. Перевод: V.A. Vestyak, A.S. Sadkov, D.V. TarlakovskiiPropagation of Unsteady Bulk Perturbations in an Elastic Half-Plane // Mechanics ofSolids, 2011, Vol. 46, No. 2, pp. 266–274.4.Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны втолстостенной электромагнитоупругой сфере // Экологический вестник научных центров ЧЭС.

2011. № 4. С. 16 – 21.5.Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Двумерные нестационарные волны вэлектромагнитоупругой полуограниченной среде // Вестник Нижегородскогоунивеситета им. Н.И. Лобачевского. № 4. Ч. 4. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ им.Н.И. Лобачевского, 2011. – С. 1423-1424.6.Вестяк В.А., Гачкевич А.Р., Терлецкий Р.Ф., Тарлаковский Д.В. Упругаяполуплоскость под действием нестационарных поверхностных кинематическихвозмущений // Математические методы и физико-механические поля - 2013.Т.56, № 2. – С. 164 -172. = Vestyak V.A., Hachkevych A.R., Tarlakovskii D.V.,Terletskii.

R.F. Elastic Half Plane Under the Action of Nonstationary Surface Kin-33ematic Perturbations // Journal of Mathematical Sciences. – 2014. – V. 203, Issue 2.- P. 202-214.7.Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Исследование нестационарных радиальных колебаний электромагнитоупругой толстостенной сферы с помощью численного обращения преобразования Лапласа // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика.

Вып. 9. – 2014, № 1. С. 51 - 64.8.Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Интегральное представление характеристик нестационарного электромагнитного поля в движущейся полуплоскости //Доклады академии наук. - 2015. - Т. 460, № 3 - С. 279 - 282. = Vestyak V.A., Tarlakovsky D.V. Integrated Representation of the Characteristics of an Unsteady Electromagnetic Field in a Moving Half-Plane // Doklady Physics. - 2015, Vol. 60, No. 1.- P. 1–4.9.Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарное осесимметричное электромагнитное поле в движущемся шаре // Доклады академии наук.

- 2015. - Т.464, № 5. - С. 544–547. = Vestyak V.A., Tarlakovsky D.V. A Nonstationary AxiallySymmetric Electromagnetic Field in a Moving Sphere // Doklady Physics. – 2015,Vol. 60, No. 10. - P. 433–436.10. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарное осесимметричное электромагнитное поле в деформирующейся сферической оболочке // Ученые записки Казанского университета. Сер. Физ.-матем. науки.