Автореферат (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 5

Сравнение этих результатов с аналитическим решением показало их практическое совпадение.23Рис. 11Рис. 12В главах 4 и 5 рассматриваются геометрически частные случаи исследованной в главе 3 задачи – нестационарное осесимметричное движение электромагнитоупругих пространства со сферической полостью и шара радиусов r0 иr1 соответственно. Принципиально решение для этих двух вариантов можетбыть получено предельными переходами от результатов главы 3 при r0   иr1  0 .

Однако, как оказалось, этот подход очень громоздок и в силу этого негарантирует достоверные результаты. Поэтому задачи для пространства с полостью и для шара рассматриваются независимо. Соответствующие предельныепереходы выполняются по ходу решений для проверки правильности результатов. Подходы к решению этих двух задач подобны использованным методамдля толстостенной сферы.

Поэтому далее акцентируем внимание, в основном,на специфических моментах.В главе 4 поверхностные возмущения принимаются следующими:u r r  U 0  ,  , v r r  V0  ,   , E r  r  e00  ,   (или Er r  r  er 00  ,   ). (4.1)0000Так же, как и ранее, предполагается, что в начальный момент времени  0 среда находится в невозмущённом состоянии, а начальное электромагнитное поле имеет вид: E0r  E0  r  , E0  0, H 0  0 . Граничное условие навнешней поверхности сферы заменяется требованием ограниченности решения.Для решения соответствующей начально-краевой задачи используются теже разложения искомых функций в ряды по полиномам Лежандра и по полиномам Гегенбауэра, а также преобразование Лапласа по времени.

Остаются всиле соотношения (3.2) – (3.6). Добавляется требование ограниченности изображений, и изменяются граничные условия (3.7), (3.8):unLr  r0 U 0Ln  s   n  0  , vnLr  r0 V0Ln  s  , lr1  rH nL r  r0 e2 h00L  n  1 ,(4.2)24lr1  rH nL r  r0 e2 h00L  n  1 (или n  n  1 r 1 H nLr  r0 e2 hrL0  n  1 ),(4.3)Далее решения краевых задач при каждом n также представляются в видерядов по малому параметру вида (2.6). В результате приходим к рекуррентнымпо m последовательностям уравнений (3.9) - (3.16) для ограниченных функцийс граничными условиями(4.4)unL0 0 mU 0Ln  s   n  0  , vnL0 0 mV0Ln  s   n  1 ;r  r0lr1  rH nL0 r  r0r  r0  0 m e2 h00L (или n  n  1 H nL0r  rk 0 m e2 r0 hrL00  n  1 ).(4.5)По аналогичным соображениям полагаем U 0  ,    0, V0  ,    0 , чтоприводит к тривиальному решению при m  0 .

Для коэффициентов перемещений используются интегральные представления (3.19) и (3.20), в которых подверхним пределом интегрирования понимается  . При этом их ядра - функцииГрина, т.е. ограниченные решения краевых задач:(4.6)s 2GuuL 00  l110  GuuL 0 k     r    , GuuL 0 0;r  r0LLs 2Guun l11n  Guun  l12n GvunL     r    , s 2GvunL  l21n GuunL   l22n GvunL  ,LGuunr  r0L Gvunr  r0 0;LLs 2Guvn l11n  Guvn  l12n GvvnL  , s 2GvvnL  l21n GuvnL   l22n GvvnL     r    ,LGuvnr  r0L Gvvnr  r0 0.(4.7)(4.8)Также модифицируются равенства (3.24): (здесь используется первое граничное условие в (4.5)):LH nm r , s   e2 s r0 GHnL  r , , s  lH unmL  , s  , vnmL  , s   0 m   s    G2eLHn 0 r, s  e  s .(4.9)L00 nЗдесь функции Грина - ограниченные решения следующих краевых задач:LLL n GHn se2 e2GHn   r    , lr1  rGHnL2 2 LL n GHn0  se e GHn 0  0, lr1  rGHn 0 r  r0r  r0 0;(4.10) 1.(4.11)По таким же соображениям, как и в главе 3, далее используются квазистатические аналоги этих функций (3.27) и (3.28), в которых необходимо провести следующие замены:n  r0 , r r0n  2cc(4.12)GHn  r ,    , GHn 0  r    n 1 .n  2n  1 n 1r n 1nrПоказано, что эти же результаты также следуют из (3.27) и (3.28) приr1   .25Построены решения тех же, как и в главе 3, трех вариантов задач обопределении электромагнитного поля в пространстве со сферической полостьюпо заданному полю перемещений.

Дополнительно рассмотрен вариант равноускоренного поступательного движения среды.Объемные функции Грина для перемещений имеют те же структуры(3.29), (3.30). Метод определения коэффициентов этих равенств, в основном,сохраняется. Но дополнительно используются доказанные в приложенииасимптотические свойства ФСР при r   . Проверка правильности решенияпроведена с помощью рассмотрения частного случая при n  0 , а также предельным переходом от функций Грина для толстостенной сферы при r1   .Определение оригиналов функций Грина проводится подобно главе 3.Существенное упрощение заключается в том, что в равенствах типа (3.32) знаменатель является не экспоненциальным, а обычным многочленом.В качестве примера рассмотрена полость радиуса r0  1 .

Результаты расчетов при   2,04 приведены на рис. 13 и 14. На первом из них изображеныграфики распределения функций влияния Guu1 , Gvu1 , Guv1 и Gvv1 по радиусу rпри   1,5 ,   2 : сплошная кривая соответствует функции Guu1 , штриховая Guv1 , штрихпунктирная - Gvu1 , штрихпунктирная с двумя точками - Gvv1 . Второйиз них иллюстрирует зависимость функции Guun от времени при r  2 ,   1,5 иразличных значениях n : сплошная кривая соответствует n  0 , штриховая n  1 , штрихпунктирная - n  2 , штрихпунктирная с двумя точками - n  3 .Рис. 13Рис. 14Далее получено решение вспомогательной задачи об осесимметричномдвижении упругого полупространства со сферической полостью под действиемобъемных сил.

Рассмотрен пример для сил видаFr  r , ,    H      r  r  cos , F  r , ,     H      r  r  sin  ,26что, как показано, соответствует поступательному движению u  u1  r ,   cos ,v  v1  r ,   sin  .Результаты расчетов при r  3 для тех же механических и геометрических характеристик, как и выше, приведены на рис. 15 и 16.

На первом из нихпредставлены графики распределения функций u1 и v1 по радиусу: сплошная ипунктирная кривые соответствуют перемещениямu1  r ,3иv1  r ,3 , аштрихпунктирная и штрихпунктирная с двумя точками - u1  r ,5 и v1  r ,5 соответственно. Второй из них иллюстрирует зависимость u1 и v1 от времени:сплошная и пунктирная кривые соответствуют перемещениям u1  2,   и v1  2,   ,а штрихпунктирная и штрихпунктирная с двумя точками - u1  5,   и v1  5,   соответственно.Рис.

15Рис. 16Последние два параграфа этой главы посвящены решению связанной задачи для электромагнитоупругого пространства со сферической полостью. Вцелом, алгоритм решения аналогичен тому, что разработан в главе 3.В качестве примера осесимметричной задачи рассмотрено полупространство с полостью радиуса r0  1 , материал которого характеризуется параметрами   2,04; e  0,111  104 ;   5,06;   0,0806 , под действием следующегоначального электрического поля: E0  1, 0e  2 r .

На границе полости напряженность электрического поля имеет вид: e00   sin  .Распределение по радиусу нетривиальных коэффициентов рядов по полиномам при n  1 для нормального перемещения и напряженности магнитногополя представлены на рис. 17, 18: сплошные кривые соответствуют   1, пунктирные -   3 , а штрихпунктирные   5 .

Расчеты проводились с учетом первых трех членов рядов (2.6). Вычисление последующего члена практически неприводило к изменению результатов.27Рис. 17Рис. 18На рис. 19, 20 приведены результаты расчетов для варианта радиальныхколебаний пространства с полостью с параметрами из (3.37) в виде зависимостей радиального перемещения от времени соответственно при r  1,5 и r  2 :сплошные кривые отвечают нулевому приближению, штриховые – двум членамряда по малому параметру, штрихпунктирные – трем членам.

Вычисление последующих членов ряда приводит к практическому совпадению последующихкривых со штрихпунктирной кривой.В главе 5 исследуются связанные осесимметричные электромагнитоупругие процессы в шаре радиуса r1 . Материал главы методически за исключением рассмотрения радиальных колебаний практически соответствует главе 4.При этом граничные условия (4.1) заменяются равенствами(5.1)u r r  U1  ,  , v r r  V1  ,   , E r  r  e01  ,   .111uuРис.

19Рис. 2028Остается в силе требование ограниченности решения. В соответствующих интегральных представлениях интегрирование ведется от 0 до r1 . На протяжении всей главы проводится сравнение с предельным переходом при r0  0для результатов, полученных в главе 3.Аналогично главам 3 и 4 получено аналитическое решение задачи обопределении электромагнитного поля в шаре по заданному полю перемещений.Приведены примеры для различных законов движения.Объемные функции Грина для перемещений имеют структуры (3.29),(3.30).

Вызванное геометрией области отличие состоит в необходимости использования доказанных в приложении асимптотических свойств ФСР приr  0 . При оригиналов функций Грина аналогично главе 3 используется разложения в ряды по экспонентам. Однако структура результата здесь значительно проще, чем в главе 3. Однако здесь возникает вопрос о значениях функцийГрина как ядер интегральных представлений в центре шара и при   0 .