Автореферат (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 4

решения краевых задач:(3.21)s 2GuuL 0  l110  GuuL 0     r    , GuuL 0 0;r  rkLLs 2Guun l11n  Guun  l12n GvunL     r    , s 2GvunL  l21n GuunL   l22n GvunL  ,GLuun r  rkLvun r  rkG 0;LLs 2Guvn l11n  Guvn  l12n GvvnL  , s 2GvvnL  l21n GuvnL   l22n GvvnL     r    ,LGuvnr  rkL Gvvnr  rk 0.(3.22)(3.23)Аналогичным образом записывается решение задачи (3.14), (3.18) (дляпримера используется первое граничное условие):LH nm r , s   e2 s r0 GHnL  r , , s  lH unmL  , s  , vnmL  , s  r11 0 m   s     G2ek 0LHnk(3.24) r , s  e  s .L0 knLLЗдесь GHnи GHnk- функции Грина, а именно, решения следующих крае-вых задач ( k  0,1):LLL n GHn se2 e2GHn   r    , lr1  rGHnLLL n GHnk se2 e2GHnk 0, lr1  rGHnkr  rlr  rk 0;(3.25) kl  l  0,1 .(3.26)Последние функции с использованием построенной в приложении фундаментальной системы решений уравнений, ее связи с элементарными функциями и доказанного там же утверждения об обобщенной симметрии функцийГрина найдены в явном виде, а также построены их оригиналы.

Показано, чтопри e  1 (что соответствует реальным материалам) нахождение их значенийприводит к значительным вычислительным трудностям.Поэтому функции Грина заменяются их квазистатическими аналогамипри e  0 , построение которых приводит к следующим результатам:LGHn r , , s   GHnc  r ,    2 GHnc  r ,   H    r   GHnc  , r  H  r    ,cGHn r,   n  r1 ,   n  r0 , r , n  n  n  1 r n 1 n  r1 , r0  ; 2n  1 n 1nLcn2Lcn2GHnn  r1 , r  n , GHnn  r0 , r 0  r , , s   GHn 0  r    r01  GHn1  r   r1(3.27)n , (3.28)19где n  x, y   x 2n 1  y 2n 1 , n  x, y    n  1 x 2n 1  ny 2 n 1 .Тогда равенства (3.24) существенно упрощаются в том смысле, что припереходе к оригиналам отпадает необходимость в интегрировании по времени.Этот факт, в том числе, использован при исследовании составляющейобщую проблему задачи об определении электромагнитного поля по заданномуполю перемещений u  r , ,   и v  r , ,   толстостенной сферы.

Построены решения трех вариантов задач: 1) сфера неподвижна при разных вариантах задания напряженности электрического поля на границах; 2) задан радиальный закон перемещений сферы при отсутствии напряженности поля; 3) сфера движется поступательно сфера u   cos , v   sin  , напряженность на ее границахотсутствует, а плотность зарядов в начальном состоянии имеет видe0  r    r . Найдены все компоненты электромагнитного поля.

Например, впоследней задаче плотность зарядов определяется так:e  1e  r , ,     H    cos  .r 2Гораздо более сложной и громоздкой задачей является построение объемных функций Грина (3.21) - (3.23). С использованием доказанного в приложении утверждения об обобщенной симметрии этих функций они представляются следующим образом:LLLGuun r , , s   2 Guun r , , s  H    r   Guun , r , s  H  r    ,(3.29)L2LLGvun  r , , s    Gvun  r , , s  H    r   Guvn  , r , s  H  r     ;LLLGuvn r , , s   2 n  n  1 Guvn r , , s  H    r   Gvun , r , s  H  r    ,(3.30)L2LLGvvn  r , , s    Gvvn  r , , s  H    r   Gvvn  , r , s  H  r     ,Для определения коэффициентов этих равенств уравнения (3.22) и (3.23)сводятся к системам первого порядка, находятся их частные решения, записываются общие решения, а затем удовлетворяются граничные условия.

При этомиспользуется построенная в приложении фундаментальная матрица, найденныетам же ее миноры и определитель, а также доказанные свойства функций, входящих в фундаментальную систему решений (ФСР). Структура коэффициентовLравенств (3.29) и (3.30) идентична. Например, функция Guunимеет вид:LZ n  s  Guun r , , s   1  Run1  rs, r0 s, r1s  Ruun  r1s, s   n  n  1 Run 2  rs, r0 s, r1s  Rvun  r1s, s   ,(3.31)20где Zn  s  - определитель матрицы граничных условий, который так же, как иостальные функции, входящие в эту формулу, выражаются через функции изФСР.Кроме того, независимо построена функция GuuL 0 .

Показано, что при n  0Lона совпадает с Guun.Для определения оригиналов функций Грина (3.22) и (3.23) используетсяполученные в приложении выражения функций из ФСР и их комбинаций черезLэлементарные функции. Например, Guunзаписывается так:LuunG r , , s    1nFuun  s 22 n 1r n  2 n  2 s 2 n 3 Lzn  r0 s, r1s ,(3.32)где Fuun  s  и Lzn  r0 s, r1s  - экспоненциальные многочлены параметра s .Подобная структура позволяет разложить функцию Lzn1  r0 s, r1s  в сходящийся в некоторой правой полуплоскости Re s   ряд по экспонентам и затем методами компьютерной алгебры привести правую часть равенства (3.32) кряду с членами в виде произведения правильных рациональных дробей параметра s на экспоненты вида exp s  r ,   , что позволяет находить их оригиналы стандартными методами операционного исчисления. Кроме того, отметим, что вопросов о сходимости рядов в пространстве оригиналов не возникает,поскольку для конечного момента времени ряду из изображений в силу теоремы запаздывания соответствует конечная сумма.На рис.

7 и 8 приведены графики распределения по радиусу функцийвлияния Guun , и Gvvn : сплошные кривые соответствуют n  1 , а штриховые n  2 . В расчетах приняты следующие значения параметров:   2,04 ,r0  1, r1  2 ,   0.5 ,   1.5 .Рис. 7Рис. 821С использованием оригиналов интегральных представлений (3.19) и(3.20) получено решение ещё одной составляющей общей связанной задачи задачи о движении толстостенной сферы под действием заданных объемныхсил.

В качестве примера рассмотрены силы Fr  r , ,    H    cos  ,F  r , ,     H   sin  ,чтосоответствуетпоступательномудвижению:u  r , ,    u1  r ,   cos , v  r , ,    v1  r ,   sin  . Графики распределения функцийu1  r ,   и v1  r ,   по радиусу при   2,04 , r0  1, r1  2 представлены на рис. 9 и10.

Номера кривых отвечают следующим моментам времени: 1 -   0.5 ; 2   1 ; 3 -   1.5 ; 4 -   2 .Рис. 9Рис. 10Далее, в общем, аналогично главе 2 строится алгоритм решения связанной задачи для электромагнитоупругой толстостенной сферы. При этом в граничных условиях в (3.1) полагается U k  Vk  0 и e0 k  0 . Тогда рекуррентныесоотношения (3.19) и (3.20) совместно с (3.15) и (3.16) приводят к тривиальнымравенствам при любом m  0 :(3.33)u0m  r ,    0m  r ,    Er 0 m  r ,    0 .При n  1 в рекуррентную систему входят оригиналы представлений(3.19), (3.19) и (3.24).

В подынтегральную функцию последнего из них входитпроизводная от перемещения по радиусу. Для устранения этого формула модифицируется с помощью интегрирования по частям. А уже из нее с помощью(3.15) находятся интегральные представления для коэффициентов, соответствующих компонентам напряженности электрического поля. При этом, какследует из (3.16), коэффициенты для плотности зарядов определяются так:nm  ln unms  r ,   , vnms  r ,   , unms  unm  e  unm , vnms  vnm  e  vnm (3.34)При этом плотность тока находится по формуле (3.6).22Для устранения необходимости дифференцирования по координате x вформуле (3.34) она преобразовывается следующим образом:nm  r ,    e0  r  unms  r ,    e0nms  r ,   , nms  nm  e  nm , (3.35)l  um , wm   e 0um  e 0 m , l  wm , um   e 0 wm  e 0 m ,m    um , wm  , m    um , wm  ,.(3.36)где mn  n  unm , vnm  , а  n - коэффициент разложения в ряд по полиномам Лежандра коэффициента объемного расширения     u, v  .Поэтому в алгоритм дополнительно вводится подобное (3.20) интегральное представление для mn , сопровождаемое построением соответствующихядер.

Кроме того, строятся интегральные представления для скоростей unm , vnm .Структура изображений ядер этих представлений, а также представления для mn , подобна (3.32) с той разницей, что здесь степени числителей и знаменателей рациональных функций могут совпадать. Соответствующие особенноститипа дельта-функций выделяются методами компьютерной алгебры и учитываются при интегрировании.С помощью общего алгоритма подробно проанализирована связанная задача о радиальных колебаниях электромагнитоупругой толстостенной сферы.На рис.

11 и 12 представлены распределения перемещений и напряженностиE  Er электрического поля по координате r в различные моменты временипри следующих значениях параметров:r0  1, r1  2,   0,5,   0,566, U 0  H    , U1  0, E0  r , e0  r   2r . (3.37)Сплошные кривые соответствуют учету шести первых членов ряда разложений (2.6) (они практически не отличаются от построенных при учете пятичленов рядов), а штриховые – нулевым членам u0 и e0  Er 0 .

Отметим, что результаты, полученные с учетом только нулевых членов рядов, соответствуютнесвязанной задаче электромагнитоупругости. При этом на рис. 12 в моментвремени   0.7 наблюдается следующий эффект: в случае несвязанной задачиперемещения перед фронтом волны, находящимся в этот момент в точке r  1.7 ,отсутствуют, в то время как в случае связанной задачи они не равны нулю. Этообъясняется индуцированием их электромагнитным полем. Кроме того, следуетотметить существенное количественное различие результатов для связанной инесвязанной задач.Для сравнения построен алгоритм решения задачи о радиальных колебаниях электромагнитоупругой толстостенной сферы с помощью численного обращения преобразования Лапласа.