Автореферат (Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругих телах с плоскими или сферическими границами), страница 2

Механическаячасть модели включает в себя линейные уравнения движения сплошной средыв напряжениях и соотношения Коши для деформаций (начальное состояние недеформированное). В термодинамическую составляющую включены линеаризованные уравнение баланса энтропии и закона теплопроводности Фурье, атакже записанное с точностью до членов второго порядка малости уравнениеизменения свободной энергии. Электромагнитная часть модели состоит изуравнений Максвелла, линеаризованных относительно ненулевого начальногосостояния обобщенного закона Ома (к классическому варианту добавляется зависимость плотности тока от скорости движения и теплового потока), выражений для силы Лоренца и притока тепловой и электромагнитной энергии.

Физические соотношения строятся для среды с произвольной анизотропией с использованием квадратичного приближения свободной энергии как функциидеформаций, изменения температуры и компонент векторов электрической имагнитной индукций.От общей модели осуществлен переход к рассматриваемому в работечастному случаю изотермических процессов в изотропных проводниках, подкоторыми понимается изотропная среда при отсутствии зависимости напряжений от напряженностей электрического и магнитного полей. Эта модель описывается упомянутыми выше соотношениями Коши, уравнениями движения справой частью в виде силы Лоренца, законом Гука (по повторяющимся латинским индексам проводится суммирование от 1 до 3)(1.1)F  F i ei  e 0 E  e E0  e ([ j0 , H]  [ j, H 0 ]) ,cij  I1 gij  2ij , I1  ii  divu ,(1.2)и уравнениями электродинамики H4 E4(1.3)rot E   e, rot H j, divE e ,c tcc tj  (E  e [ v, H 0 ])  e 0 v ,(1.4)cгде u  u iei и v  viei , - векторы перемещения и скорости; σ  ijeie j и ε  ij ei e j тензоры напряжений и деформаций; e1 , e2 , e3 - базис некоторой криволинейнойсистемы координат 1, 2 , 3 ;  - плотность среды;  и  - упругие постоянныеЛаме; g ij - компоненты метрического тензора; E  E iei и H  H iei - векторынапряженностей электрического и магнитного полей; t - время; j  j iei - векторплотности тока; c - скорость света; e - плотность зарядов;  - коэффициентэлектропроводимости;  и  e - коэффициенты диэлектрической и магнитной8проницаемости; дополнительный нижний индекс «0» указывает на параметрыэлектромагнитного поля в начальном состоянии.Система уравнений (1.3), (1.4) сводится к двум уравнениям (  - операторЛапласа):H c4 2c2 H2,(1.5) ce rotf  w  ,  e , ce   e t  tttee4   24   e divfw,fw[w, H 0 ]  e 0 w  .

(1.6) 2 ee  tt   cПоказано, что (1.5) может быть заменено уравнением относительно вектора напряженности электрического поля.Приводятся также уравнение движения в перемещениях, уравнения относительно потенциалов полей перемещений и напряженности электрическогополя, используемые в приложении, а также уравнения для объемного расширения и вектора вращения.Сформулированы начальные условия и основные типы граничных условий.Для исследования рассматриваемых в работе двумерных процессов извекторных соотношений выводятся скалярные уравнения в декартовой и сферической системах координат.В прямоугольной декартовой системе координат 1  x, 2  y, 3  zпредполагается, что процессы являются плоскими:u1  u  x, z, t  , u2  0, u3  w  x, z, t  , E1  E1  x, z, t  , E2  0, E3  E3  x, z, t  ,H1  H 3  0, H 2  H  x, z, t  , j1  j1  x, z, t  , j2  0, j3  j3  x, z , t  , e  e  x, z, t .Далее везде используются следующие безразмерные величины (при одинаковом начертании величин они обозначены штрихом, который в последующем изложении опускается):x H e c14e Lctxzuw, z   ,   1 , u   , w  , H  , e , ,LLLLLcEE  2c1cE2  2 2 4L, e  1 , c12 , c2  ,  ,c2cec14    2 kl klEjFL, Ek  k , jk  k , Fk  k k , l  1,3 ,  2EE  2где L и E - некоторые характерные линейный размер и напряженность электрического поля.Соответствующие безразмерные уравнения движения, а также соотношения (1.5) и (1.6) имеют вид (точками обозначаются производные по времени  ):9u  1  2 I1Iu w, (1.7) 2 u  F1 , w  1  2  1  2 w  F3 , I1 xzx zF1   e0 E1  e E01    j03 H  j3 H 0  , F3   e0 E3  e E03    j01 H  j1 H 0  ;   e 0u    e 0 w   H 0 w 2    H 0u e2  H  H   H  e2   e  , (1.8)zxxze  e     H 0u    H 0 w    e 0u    e 0 w.xzx  z(1.9)Формулы для компонент вектора плотности тока следуют из (1.4):(1.10)j1  E1  H 0 w  e0u  , j3  E3  H 0u  e0 w  .Выражения для координат вектора напряженности электрического поляполучены в главе 2.Всферическойсистемекоординат1  r , 2  , 3   r  0, 0    ,       рассматриваются осесимметричные процессы:ur  u  r , , t  , u  v  r , , t  , u  0, Er  Er  r , , t  , E  E  r , , t  , E  0,H r  H   0, H   H  r , , t  , jr  Er  r , , t  , j  j  r , , t  , j  0, e  e  r , , t  .В этом случае аналоги соотношений (1.7) - (1.10) записываются так (введены дополнительные безразмерные величины r   r L , v  v L ):u  1  2 I121  2 u  2 l  v sin    u    Fr , l rrsin  I11  uv  v  1  2  1  2  v  2  2  2     F ,rr   sin    (1.11)Fer   e 0 Er  e E0 r    j0 H  j H 0  , Fe   e 0 E  e E0    j0 r H  jr H 0  ,  2   u 1  vrlsin,I   2u  vctg  ; 1 r  r     r r   He2  H  H   H  2 2 r sin e2    re 0 v    e 0u   e2    ruH 0    vH 0   ;r  r r  r e  e  r 2 r 2  e 0u  H 0 v   r 1l  e0 v  H 0u  sin  ;rjr  Er  H 0 v  e0u  , j  E  H 0u  e0 v  .1r2(1.12)(1.13)(1.14)Выражения для координат вектора напряженности электрического поляполучены в главе 3.10Во второй главе рассматривается плоское движение электромагнитоупругой полуплоскости z  0 под действием нестационарных поверхностныхвозмущений вида:(2.1)u z 0  U 0  x,   , w z 0  W0  x,   , E1 z 0  e0  x,   (или E3 z 0  e30  x,   ).Предполагается, что в начальный момент времени   0 полуплоскостьнаходится в невозмущённом состоянии, а начальное электромагнитное полеимеет вид: E01  0, E03  E0  z  , H 0  0 .

Эти условия совместно с соотношениями (1.7) - (1.10), уравнениями Максвелла относительно ненулевых компонентвектора напряженности электрического поля и условиями ограниченности всехфункций образуют начально-краевую задачу.Для ее решения используются преобразования Лапласа по времени и преобразования Фурье по координате x (индексы L и F обозначают изображенияпо Лапласу и по Фурье соответственно; s и q - параметры этих преобразований). Уравнения относительно изображений следуют из (1.7) - (1.9) ( Re   0 ):s 2u LF  l11q  u LF   l12 q  wLF   g1q  E1LF , H LF  , g1q  E1 , H   e 0 E1  E0 H ,2s wLF l21q  ul11q  u   2LF  l  w   g  ELF22 qLF33q,LFe, g E ,   3q3ee0E3  E0e ,(2.2) 2u 2uu2qu,lu 2 q 2u, l12 q  u   l21q  u   iq 1  2  ;22 q  22zzz 2 H LF ke2 H LF  e2 slF  u LF , wLF  , ke  q, s   se2 e2  q 2 , se  s  s    ; (2.3)2z   w(2.4) s    eLF  slF wLF , u LF , lF  w, u   e0  iqe0u .zФормулы для изображений координат вектора напряженности электрического поля вытекают из скалярного аналога уравнений Максвелла:H LF2LF(2.5)e  s    E1   se2u LF , e2  s    E3LF   se2 wLF  iqH LF .zСоотношения (2.2) – (2.5) вместе с изображением граничных условий(2.1) и требованием ограниченности искомых функций образуют краевую задачу.Показано, что даже для одномерного варианта оригиналы решения этойзадачи аналитически найти невозможно.

Поэтому используется разложения вряды по малому параметру  , характеризующему связь механических и электромагнитных полей ( k  1,3 ):m 0m 0m 0m 0m 0u   um  m , w   wm  m , Ek   Ekm  m , H   H m  m , e   m  m ... .

(2.6)11Подстановка их в исходную задачу приводит к рекуррентной последовательности краевых задач относительно ограниченных изображений коэффициентов рядов ( lm - символ Кронекера):s 2u0LF  l11q  u0LF   l12 q  w0LF  , s 2 w0LF  l21q  u0LF   l22 q  w0LF  ,u0LFsuLFm l11q  u2LFm l21q2s wz 0 U 0LF  q, s  , w0LF  l w   g Eu   l  w   g  ELFmLFm12 qLFmLFm22 q1q3qLF1, m 1,HLF3, m 1z 0LFm 1,(2.7) W0LF  q, s  ;,, wLFm 1uLFm z 0LFm z 0 0  m  1 ; 2 H mLF ke2 H mLF  e2 slF  umLF , wmLF   m  0  ,2zH mLFz 0 m e2 h0LF  q, s  (или H 0LFz 0z 0(2.8)(2.9) 0 mie2 q 1h30LF  q, s  ),LFh0LF  q, s    s    e0LF  q, s   sU 0LF  q, s  , h30LF  q, s    s    e30 q, s   sW0LF  q, s  ,LFгде функции E1LFm и  m определяются с помощью соотношений (2.4) и (2.5).Решение задач (2.7) и (2.8) представляется так:u0LF  q, z, s   GuLF01  q, z , s U 0LF  q, s   GuLF02  q, z , s W0LF  q, s  ,(2.10)w0LF  q, z, s   GwLF01  q, z , s U 0LF  q, s   GwLF02  q, z , s W0LF  q, s  ;umLF  q, z, s  LFmwk 1,30LFLFLFGukLF  q, z, , s  f kLF, m 1  q, , s  d , f1m  g1q  E1m , H1m  , q, z, s    0 G  q, z, , s  fk 1,3LFwkLFk , m 1 q, , s  d  ,fLF3m g 3q  E , LF3mLFm.(2.11)Коэффициенты в (2.10) и ядра в (2.11) – функции Грина, т.е.