Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987), страница 14

Показатель степени Й называется иорядкол погрешности аппроксимации производной (или просто порядком аппроксимации). Прп этом предполагается, что значение шага по модулю меньше единицы. Оценку погрешности легко проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора ~(х -~- Лх) = У(х) + /'(х) Лх -~- ~ Лх~ ~ У (~) д з ~ Пусть функция ~(х) задана в виде таблицы ~(х,) = Р, (~=0, 1, ..., и). Запишем ряд Тейлора прп х=х„~х= = — Ь с точностью до членов порядка Ь: Р0 = Ут — У1Ь + О (Ь'). Отсюда найдем значение пропзводпой в точке х =х,: Это выражение совпадает с формулой (3.3), которая, как видно, является аппроксимацией первого порядка (Ь = 1). Аналогично, записывая ряд Тейлора при Ьх = Ь, можно получить аппроксимацию (3.4).

Она также имеет первый порядок. Используем теперь ряд Тейлора для оценки погрешностей аппроксимаций (3.5) и (3.6). Полагая Ьх Ь и Лх = -Ь, соответственно получаем /IР У0 — У1+У1~+2," + —.~ Ь +ОЮ и (3.8) 2 У2 — — У1 — У1 Ь + —, Ь2 — —, Ьз + О (Ь4), Вычитая эти равенства одно из другого, после очевидных преобразований получаем уо у у 0 ~ 0(Ь2) И ь численное дпФФеРепцпРОВАпие 81 Это аппроксимация производной (3.5) с помощью центральных разностей. Она имеет второй порядок. Складывая равенства (3.8), находим оценку погрешности аппроксимации производной второго порядка вида (3.6): у — 2у +у Уо "1 У~+ О~Ь ) ~Р Таким образом, эта аппроксимация имеет второй порядок.

Аналогично можно получить аппроксимации производных более высоких порядков и оценку их погрешностей. Мы рассмотрели лишь один из источников погрешности численного дифференцирования — погрешность аппроксимации (ее также называют погрешностью усечениа). Она определяется величиной остаточного члена. Анализ остаточного члена нетривиален, и сведения по этому вопросу можно найти в более полных курсах по численным методам и теории разностных схем. Отметим лишь, что погрешность аппроксимации при уменьшении шага Ь, как правило, уменьшается. Погрешности, возникающие прп численном дифференцировании, определяются также неточными значениямп функции у; в узлах и погрешностями округлений при проведении расчетов на ЭВМ.

В отличие от погрешности аппроксимации погрешность округления возрастает с уменьшением шага Ь. Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов. Оптимальная точность может быть достигнута за счет регуляризаиии процедуры чпсленпого дифференцирования.

Простейшим способом регуляризации является такой выбор шага Ь, при котором справедливо неравенство ~~(х+ Ь) — ~(~) ~ ) е, где ь ) Π— некоторое малое число. При вычислении производной это исключает вычитание близких по величине чисел, которое обычно приводит к увеличению погрешности.

Это тем более опасно при последующем делении приращения функции на малое число Ь. Другой способ регуляризацпи — сглаживание табличных значений функции подбором некоторой гладкой аппроксимирующей функции, например многочлена. 3. Использование интерполяционных формул. Предположим, что функция ~(х), заданная в виде таблицы с по- 8 л. и. турчаи 82 Г."1. 3.

диФФеРеещиРОВлиие 11 иитегРиРОВАнпе стояппым шагом Ь = х; — х; ~ (1 = — 1, 2, ..., и), может быть аппрокспмировапа иитерполяциопным многочленом Ньютона (2.3): у% У(х + Ь) у + 1Ду + 2 Д~у + ° 1(1 — 1) ... (1 — и+1) ° + и! Д у„ Ь Дифферепцируя этот многочлеп по переменной х с уче- том правила дифференцирования сложной функции; с1Л' ~1Х сй 1 аХ с1х сй с7х Ь гй 4 можно получить формулы для вычисления производных.

любого порядка: 1 1 21 — 1 0 Зà — 61-г-2 0 УО 21 УО + 3) УО+ 410 1812 д 221 6 4 4010+ 10э~г — 1001+ 1 / 61 — 6 1210 — 361+ 22 уи,~, Д2у + ДЗу + - Д4у ),г 1 2010 — 12010 + 2101 — 100 + 6~ Уо+ ° ~0 Пример. Вычислить в точке х= 0.1 первую и вторую производные функции, заданной таблицей (табл. 2).

Здесь Ь = 0 1, Е = (0.1 — 0)/0.1 = 1. Используя полу* ченные выше формулы, находим у' м 10 0.5274 + — 0.0325 + . †', 0.0047 + 21 — 1 - 31 61 — ',2 2 б 24 ' / 4'1 18'1+ 2 '1 6 .0002~ — 436 у' т 100 0,0325 + —. 0.0047 + "+"-.0.000 ~ =3,25 24 .. ' / $1, числЕнное днФФеРенпиРОВ Ание 83 Интерполяционные многочлены Ньютона (а также Стирлинга и Бесселя) дают выражения для производных через разности Л'у (А = 1, 2, ...). Однако на практике часто выгоднее выражать значенпя производных не через разности, а непосредственно через значения функции в узлах. Для получения таких формул удобно воспользоваться формулой-Лагранжа с равномерным расположением узлов (х; — х; ~ = Ь = сопз1, 1= 1, 2, ..., я). Таблица 2 дь~ д1у 1.2833 1.8107 0.1 0.0047 0.0049 0.0051 2.3606 2.9577 0.0002 0.2 0.0000 0.0002 3.5969 0.4 4.

2833 Запишем интерпол яцпо нный многочл оп Лагранн'а Ь(х) и его остаточный член Л,(х) (см. (2.43), (2.52)) для случая трех узлов, интерполяции (и = 2) и найдем их производные: Е(х) = —,((х — х,)(х — х,) у, — 2(х — х,) (х — х,) у, + + (х — х,) (х — х,) у,1,. Лг, (х) =- —,(х — х,) (х — х,) (х — х,), Х,' (х) = —, ~(2Х вЂ” х, — х.,) у, — 2 (2х — х — х,) у, + 26~ + (2х — х,— х,) у,),. У1 Р Яг(Х)= — [(Х.— Х1) (Х вЂ” Х2) + (Х вЂ” Ха) (Х Х~) + 31 + (х хо) (х Х1)1' !1/ Здесь у, — значение производной третьего порядка в некоторой внутренней точке х~ ~ ~хо, Х„1.

6$ 0.5274 0.5599 0.5971 0.6392 0.6864 0.0325 0.0372 0.0121 0.0472 84 ГЛ. 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Запишем выражение для производной у, при х = х,: У = Х (Х~) + ЛЬ(Х ) = 1 — — з ((2хо — х1 — хз) Уо — 2 (2хо — хо — х,) У1+ /« У« + (Зхо — хо — Х1) Уз] + — [(хо — х1) ~хо — хз) + + (хо хо) (хо хз) + (хо хо) (хо х1)) = 1 г» 2й ( — Зуо + 4У1 — уз~ + 3 У«' Записывая интерполяцпонный многочлен Лагранжа и его остаточный член для случая четырех узлов (и = 3), получаем следующие аппроксимации производных: Уо = р ( — 11уо + 18У1 — 9у, + 2уз) — 4 У«з У1 = р( — 2уо — ЗУ1+ 6уз — Уз) + — 12У'. з (З.9) г 1 Уз = 6„(уо — 6У1+ Зуз+ 2уз) — 12У «з Уз = 6Ь( 2уо+ 9У1 — 18уз+ 11уз) + 4 У«» В случае пяти узлов (и = 4) получим й' ч у, = 12ь ( — 25У, + 48у, — 36У, + 16у, — Зу,) + — у,, Ъ ч ут — — —,( — Зу, — 10У, + 18У, — 6уз+ у,) — —, у, 1 Ь~ Уз — (у 8У1+ 8у У ) + — У (3.10) » 1 з 12 ( Уо +' 6ут 18уз+ 10уз + ЗУ4) + — у«, 14 у, = †., (Зу, — 16у, + 36У, — 48уз + 25У„) + †' у„, Аналогичные соотношения можно получить и для зна»» чений У1, Уз при х = х1 хз'.

У1 = 2 — (Уз Уо) — — У«» Уз = — (Уо — 4У1+ Зуз) + З у« ° 5 1. численное диФФеРенциРОВАниЕ 85 Таким образом, используя значения функции в и+ 1 узлах, получаем аппроксимацию производных гг-го порядка точности. Эти формулы можно использовать не только для узлов х = хр х1~ ° ° ° но и для л10оых узлов х = х; х, ь ..., соответствующим образом изменяя значения индексов. Обратим внимание на то, что при четных и наиболее простые выражения и наименьшие коэффициенты в остаточных членах получаются для производных в средних 1 / (центральных) узлах (уг прн гг = 2, уг при и = 4 и т. д.). Выпишем аппроксимации производных для узла с произвольным номером г, считая его центральным; г 1 Ь~ е Б '+ ' 1) 6 и =- 2, (3.11) т — уг~г)+ —,У,, п=4, Р У; = ~~~ (у,, — 8У;, + 8уг-11 уо = —, (Уо — 2у, + У,) + 0 (Ь)1 у1 — — 2(уо 2У1+ уг) + 0(Ь )х у," —, (У, — 2У1 + Уо) + 0 (Ь).

(3.12) В случае четырех узлов (и = 3) имеем у = о(2уо 5У1+ 4уо — Уз) + 0(Ь')- о цо — '(у — 2У +у)+0(Ь) у", = 4 (У, — 2У, + У,) + 0 (Ьо), уз = о ( — Уо + 4У, — 5У2 + 2уо) + 0 (Ь') , й (3.13) Они называются аппроксимациями производных с помогцыо центральных разностей и широко используютсяна практике. С помощью пнтерполяционных мпогочленов Лагранжа можно получить аппроксимации для старших производных.

Приведем аппроксимации для вторых производных, В случае трех узлов интерполяцпи (и = 2) имеем Щ ГЛ. 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Б случае пяти узлов (гг=4) имеем у, = —, (35уо — 104У, + 114У., — 56у, + 11У,) + 0 (йз),. уг — — —, (11уа — 20У, + 6у, + 4уз ут) + О (~г'), у — — ( — у, + 16у, — 30у, + 16У, — у ) + г.т (й'), Уз = — ( — Уз + 4У, + 6У. — 20У, + 11у,) + О (!гз), 12ьз У~ = —, (11уо — 56уг + 114У вЂ” 104У + Зоу4) + О (Ьз) (3.16) Используем следующие многочлены: у=1, у=х — х., у=(х — х,)', у=(х — х,)', (3.17) Вычислим их производные: у'-О, у'=-1, у' 2(х —,т,), у'=3(х — х,)'. (3.18) Аппроксимации вторых пронзводных с помощью центральных разностей при четных и также наиболее ВЫГОДНЫ.

4. Метод неопределенных коэффициентов. Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольного расположения узлов. Использование многочлена Лагранжа в этом случае приводит к вычислению громоздких выражений, поэтому удобнее применять лгетод неоггределенных коэффициентов.

Он заключается в следующем. Искомое выражение для производной й-го порядка в некоторой точке х = х, представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах х,, .г„..., х '. У; = сзуз+ егу1+ ° ° + с у„.. (3.15) ОО Предполагается, что эта формула имеет место для многочленов у = 1, у = х — хь ..., у = (х — х;) ", Подставляя последовательно эти выражения в (315), получаем систему и+ 1 линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов с„с„..., е„. Р П р и м е р.