Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987)

Л. И. ТУРЧЛК ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Под редакцией В. В. ЩЕННННОВА Допущено Иинистерстеои высшего и среднего специального образования СССР в «ачестее учебного пособия для студентов высгиив учебных заведений 310СКВЛ «ИАУКАв ГЛЛБПЛЯ РИДЛНЦИЯ ФИЗИКО-ИЛТИИЛТИЯИИКОИ ЛИТБРЛТУРЫ 1ЭВТ ББК 22Л9 Т89 УДК 519.6(075.8) Турчак Л. И. Основы чнсленных методов: Учеб. пособие.— М,: Наука. Гл.

ред. физ.-мат. лпт., 1987.— 320 с. Рецензенты: кафедра вычислительной математики Московского физико-технического института, кафедра общей и прикладной математики Завода-втуза прп Московском автомобильном заводе им, И. Л. Лихачева, доктор физико-математических наук В, П, Шидлоеский С Издательство «Паунаэ. О Главная редакция физико-математичесаоя литературы, 1987 1702070000 †0 85 80 053~02)-87 Содержит основные сведения о численных методах, необходимые для первоначального знакомства с предметом. Излагаготся основы численных методов для систем линейных и нелинейных уравнений, а также дифференциальных и интегральных уравнений. Имеется много задач, примеров и блок-схем для облегчения понимания логической структуры рассматриваемых методов и их использования в расчетах па ЭВМ. Для студентов вузов.

Табл. 20. Ил. 72. Библиогр. 56 назв, ОГЛАВЛЕНИЕ ° в ° ° 6 Предисловие ° ° ° ° Э ° 1 ° Введение 1. Этапы решения зада ш на ЭВМ (9). 2. Макматпческие модели (11). 3. Численные методы (13). Г л а в а 1. Точность вычислительного эксперимента 14 3 1. Приолвженные числа,........, 14 1. Числа с плавающей точкой (14). 2. Понятие погрешности (15). 3.

Действия над приближенными числами (16) . $2, Погрешности вычислений....... ° . 19 1. Источники погрешностей (!9). 2. Уменьшение погрешностей (21). 3. О решении квадратного уравнения (23) . з 3. Устойчивость. Корректность. Сходимость..., 25 1. Устойчивость (25). 2. Корректность (27). 3. Неустойчивость методов (27).

4. Понятие сходимости (28). Упражнения °...,...,...,, 29 31 31 Г л а в а 3. Дифференцирование и интегрирование $ 1. Численное дифференцирование 1. Аппроксимация производных (78). 2. Погрешность численного дифференцирования (79). 3. Использование интерполяционных формул (81). 4. Метод неопределенных коэффициентов (86). 5. Улучшение аппроксимации (87), 6, Частные производные (89), 1~ 78 78 Г л а в а 2. Аппроксимация фуш;ций $1. Понятие о приближении функций, 1 Постановка задачи (31). 2. Точечная аппроксимация Р2) 3. Равномерное приближение (34).

з 2. Использование рядов........ ',, 36 1. Элементарные функции (36), 2. Многочлены Чебышева (39). 3. Вычисление многочлспов (45). 4, Рациональные приолижения (45). з 3. Интерполирование...,....... 49 1. Линейная и квадратичная интерполяции (49). 2. Сплайны (51), 3. Многочлен Лагранжа (53).

4. Многочлен Ньютона (55), 5. Точность интерполяции (60). 6. О других формулах интерполяции (62). 7. Функции двух переменных (62). з 4. Подбор эмпирических формул.... ~ ° ° ° 64 1. Характер опытных данных (64). 2. Эмпирические формулы (65). 3, Определение параметров эмпирической зависимости (68). 4. Метод наименьших квадратов (71). 5. Локальное сглаживание данных (74). Упражнения...,....,..... 76 Ог. !авдянпг 1!4 1!4 Г л а в-а 4.

Системы линейных уравнений, 1. Основные попятпя..... ° ° ° ° 1. Линейные системы (!14). 2. О методах решения линейных систем (117), 3. Другие задачи линейной алгебры (119), з 2. Прямые методы...,...,... 121 1. Вводные замечания (121). 2. Метод Гаусса (!22). 3. Определитель п обратная матрица (120).

4. Метод прогонки (130). 5, О других прямых методах (133). $3. Итерационные методы......,... 133 1. Уточнение решения (!33). 2. Метод Гаусса — Зейделя (136) . 3 4. Задачи на собственные значення . . . , . ° , 140 1. Основные понятия (140). 2. Метод вращений (145). 3. Трехднагональные матрицы (149). 4. Частичная проблема собственных значений (152).

Упражнения...,,..., . ° ..-, 154 155 155 Г л а в а.й. Нелинейные уравнения з 1. Уравнения с одним неизвестным 1. Вводные замечаппя (155). 2. Метод деления отрезка пополам (156). 3. Метод хорд (!58). 4. Метод 11ыотопа (159). 5. Метод простои птсрацзп (16!). $2, О решении алгебраических уравнений..... 16! 1. Действительные корни (16!). 2. Комплскшгые корни (163). з 3. Системы уравнений, ° .. ° ° .. °, 164 1. Вводные замечания (164).

2. Метод простой птерации (164). 3. Метод Ньютона (165). Упражнения...,...., ..., 168 Гл а за 6. Методы оптимизации 1 1. Основные понятия 1. Определения (169). 2. Задачи оптимизации (170). 3. Пример постановки задачи (17!). з 2. Одномерная оптимизация 1. Задачи на акстремум (172). 2. Методы поиска (!?4). 3. Метод золотого сечения (176). $ 3. Многомерные задачи оптимизации 1. Минимум функции нескольких переменных (181) ° 2. Метод покоординатного спуска (182).

3. Метод градиентного спуска (184). з 4, Задачи с ограничениями..... ° 1. Метод штрафных функций (186). 2. Линейное программирование (180). 3. Геометрический метод (193). 4. Симплекс-метод (195). 5. Задача о ресурсах (200). Упражнения . °... ° ° е ° ° ° ° ° ° 160 160 172 181 186 203 з 2. численное интегрирование... ° ю ь е е е 92 1, Вводные замечания (02), 2. Методы прнмоугольников и трапеций (05). 3. Метод Симпсона (99). 4. Исполь зование сплайнов (102).

5. Адаптивные алгоритмы (104). 6. О других методах. Особые случаи (106). 7. Кратные интегралы (109). 8. Метод Монте-Карло (111). Упражнения...,..., ° °,... 113 Оглавление Г л а в а 9. Интегральные уравнения $ 1. Постановка задач 1. Вводные замечания (292). 2. Виды пнтсгральпых уравнений (293). ~ 2, Методы решения 1. Методы последовательных прпблн'кений (295). 2. Численные методы (297). ~ 3, Сингулярные уравнения, 1. Сингулярные интегралы (300).

2. Численное решение спнгулярпых интегральных уравнений (305). ° ° ° - е ° ° ° 292 292 295 300 Сппсок литературы Предметный указатель . 309 ° , 312 Г ч а в а 7, Обыкновенные днфференциальпые, уравнения 205 $1. Основные понятия, .... ~..., 205 1. Постановка задач (205). 2. О методах решения (208), 3. Разностные методы (209). ~ 2. Задача Коши,...,....., ~ 213 1. Общие сведения (213).

2. Одношаговые методы (215). 3, Многошаговые методы (222), 4. Повышение точности результатов (225). ~ 3, Краевые задачи....., . ~ ., ° 227 1. Предварительные замечания (227). 2. Метод стрельбы (229). 3. Методы конечных разностей (232). Упражненпя.....,,...., ., 237 Г л а в а 8. Уравнения с частными производными... 238 ~ 1. Элементы теории разностных схем...,,, 238 1, Вводные замечания (238)'. 2.

О построении разностных схем (241). 3. Сходимость. Аппроксимация. Устойчивость (245). $ 2. Уравнения первого порядка....., .; 251 1. Линейное уравнение переноса (251). 2. Квазилинейное уравнение. Разрывные решения (260) . 3. Консервативные схемы (267). 4. Системы уравнений. Характерпстпки (269). ~ 3.

Уравнения второго порядка....... „272 1, Волновое уравнение (272). 2. Уравнение теплопроводности (277). 3. Понятие о схемах расщепления (283). 4. Уравнеппе Лапласа (286). Упражнения...,,..., ., ~, 291 ПРЕДИСЛОВИЕ Внедрение ЗВМ во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования вычислительной техники. Повышается уровень подготовки студентов вузов, которые уже с первых курсов приобщаются к использованию ЭВМ и простейших численных методов, не говоря уже о том, что при выполнении курсовых и дипломных работ применение вычислительных машин становится нормой в подавляющем большинстве вузов. Вычислительная техника используется сейчас не только в инженерных и экономических науках, но и в таких традиционно нематематических специальностях, как медицина, лингвистика, психология и др. В связи с этим можно констатировать, что применение ЗВМ приобрело массовьш характер.

Возникла многочисленная категория специалистов — пользователей 3ВМ, для которых необходима литература ло дисциплинам, непосредственно связанным с применением вычислительной техники. Основной такой дисциплиной является вычислительная математика. Она изучает методы построения и исследования численных методов решения математических задач, которые моделируют различные процессы. Численные методы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалпсты-математики, 1то касается подавляющей части студентов пематематических спецпальностей и инженерно-технических работников, то для них главной задачей является понимание основных идей методов, особенностей и областей пх применения.

Следует также иметь в виду, что указанная категория читателей не обладает достаточными математическими знаниями для подробного исследования численных методов. К тому же в этом нет особой необходимости специалисту-нематематику, использующему численные методы как готовый инструмент в своей практической работе. В предлагаемом учебном пособии в сжатом виде приводятся основные необходимые сведения о численных пгкдисловип .методах решения различных прикладных задач. Изложение проводится на доступном для студентов втуза уров не. При неооходимости напомннаются основные сведения нз курса высшей математики. Для многих рассматриваемых методов приводятся блок-схемы, а также примеры решения задач, способствующие лучшему пониманию материала.