Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ 34 величина Я, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках: и ~= Х (Ч(хс) — у 1'. (2,4) Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты а., а, ..., а так, чтобы величина Я была наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов. 3.
Равномерное приближение. Во многих случаях, особенно при обработке экспериментальных данных, среднеквадратичное приближение вполне приемлемо, поскольку оно сглаживает некоторые неточности функцпи ~(х) и дает достаточно правильное представление о ней. Иногда, однако, при построении приближения ставится более жесткое условие: требуется, чтобы во всех точках некоторого отрезка ~а, Ь~ отклонение многочлена ср(х) от функции ~(х) было по абсолютной величине меньшим заданной величины е > О: 1~(х) — сг (х) ~ ( е, а ( х ~ Ь.
Л = шах ~ г (х) — ср 'х) ~. (2.5) По аналогии можно ввести понятие среднеквадратичного отклонения Л = 1Ь/и при среднеквадратичном приближении функций. На рпс. 3 показано принципиальное различие двух рассматриваемых приближений. Возможность построения многочлена, равномерно приближающего данную функцию, следует лз теоремы Вейерштрасса об аппроксимации: Т е о р е и а.
Если фу нкггия / (х) непрерывна на отрезке ~а, Ь~, то для любого е)О существует мггогочлен ср(х) стеггени гп = пг(е), абсолютное отклонение которого от функчии ((х) на отрезке ~а, Ь1 меныие е. В этом случае говорят, что многочлен с~(х) равномерно аппроксимирует функцию ~(х) с точностью е на отрезке га, Ь~. Введем понятие абсолютного отклонения Л многочлена с~(х) от функции У(х) на отрезке 1а, Ь~.
Оно равно максимальному зна сениго абсолютной величины разности между ними на данном отрезке: Ф ь понятии о пвпвлиь*кнпи а»нкции В частности, если функция ~(т) на отрезке ~а, Ь ~ разлагается в равномерно сходящийся степенной ряд, то в качестве апггроггсггьшрующего многочлена можно взять частичную сумму этого ряда. Такой подход широко используется, например, прп вычислении на ЭВМ значений элементарных функций. = Гг'х,г У ! Рис. 3. Приолигггении: а — среднеквадратичное; б — равномерное Существует также понятие наилучгиего приближения функции ~(х) многочленом ср(х) фиксированной степени т.
В этом случае коэффициенты многочлена ср(х) = = а, + а,х+...+ а„х следует выбрать так, чтобы на заданном отрезке ~а, Ь] величина абсолютного отклонения (2.5) была минимальной. Многочлен со (х) называется лгнагочленолг наплучгиего равномерного приближенггя. Существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения вытекает из следующей теоремы. Т е о р е м а. для любой Яункцгги г" (х)', непрерывной на замкнутом ограниченном множестве г., и любого натурального т существует лсногочлен ср(х) степени не выиге и, абсолютное отклонение которого от функцигг ~(х) лгингглгально, т.
е. Л = Л г„.причелг такой многочлен единстве, нный. Мпогкество С обычно представляет собой либо некоторый отрезок ~а, Ь), либо конечную совокупность точек х~ х19 3 хд ГЛ, 2, АППРОКСП51ЛЦ11Я Ф5'НКЦИЯ 5 2. Использование рядов 1. Элементарные функции. Как правило, при решении задачи приходится вычислять значения элементарных функций (тригонометрических, показательных, логарифмических и др.). Прп ручном счете для этой цели могут быть использованы таблицы. Однако в вычислениях па ЭВМ ввод табл1щ фупкцнй в машину потреоовал бы больших затрат памяти. Кроме того, поиск нужного значения функции в памяти ЭВМ вЂ” не простое для машины занятие, Поэтому для вычисления значений функций на ЭВМ используются разложения этих функций в степенные ряды. Например, функция я1пх вычисляется с помощью ряда 3 б 7 я!и х = х —,— + — — — ' !- Т! 5! Л (2.6) При известном значении аргумента х значение функции можот быть получено с точность1о до погрешпостей округления.
Количество используемых членов ряда (2.6) зависит от значения аргумепта. Напомним, что в соответствии с правиламп приближенных вычислений (см. гл. 1) для предотвращения влияния погрешностей округления необходимо выполнение неравенства ! х ~ ( 1. С помощью степенных рядов вычисляются зпачепия п других элементарных функций. В частпостп, для вычисления значений функции соя х можно использовать ряд (2.6) с учетом соотношения соя х = яЕп(л/2+ х). Гипер- ' болические синус и косинус можно вычислить с помощью разложения в ряд экспоненты е*, поскольку я11х =(е" — е ")/2, сЬх =(е'+ е ")(2. Правда, здесь есть опасность вычитания близких чисел нрп вычислении я11х для х = О, что приведет к потере точности. В таких случаях лучше воспользоваться рядом 3 5 х я11х =- х+ — + — + ...
3! Ы Для вычисления на ЭВМ логарифмических функций достаточно иметь программу вычисления логарифма по одному' основанию, например натурального логарифма. Для вычисления логарифма по другому основанию можно воспользоваться соотношением 1он. х = 1п х 1он, е. В качестве примера построим алгоритм вычисления синуса с помощью ряда (2.6). Будем учитывать члены 4 2. пспользовАн~г. Рядов ряда, которые по абсолютной величпне больше некоторого малого числа е > О, характеризующего точность вычпсления.
На практике, когда используют стандартные программы для вычисления функций, точность не задается. Рис. 4. Блок-е~ема вычислепия сяиуса Б зтом случае учитываются все члены, большые машинного нуля, а точность результата определяется погрешностями округлений. Гл. 2. АппРОкспм.~ц1тл Фупкппй Возможный вариант алгоритма вычисления синуса с помощью ряда (2.6) изображен на рпс. 4 в виде блок-. схемы. Дадим некоторые пояснения к пей,~ В блок-схеме предусматривается выход из программы при малом значении аргумента, поскольку в этом случае яп х = х. Выделяется абсолютная величина аргумента с учетом соотношений х = /'!х1, япх = тяп ~х1, Л =- ядпх.
При анализе точности вычислений отмечалось, что при суммировании ряда погрешность значительно мешше, если !х! (1. Поэтому в блок-схеме аргумент должен удовлетворять неравенству х ( л/4. Это достигается последовательным уменьшением аргумента до значений х ~ = 2я, х < л, х ( л/2. Для этой цели использована функция Е(х), вычисляющая целую часть аргумента, а также формулы приведения. в1п(л ~ х) = ~з!и х, яп(л/2 — х) = = сов х. Например, при х = 7.6 я (/' = 1) получим следующий алгоритм: и = Е (7.6л/(2л) ) = Е (3.8) = 3, х — 2лп = 7.6л — 6я = 1.6я ~ л, /' = — 1, х — я =0.6я ) л/2, я — х =-0.4з > я/4, я/2 — х = 0,1л.
Текущее значение члена ряда в блок-схеме обозначено через и, значение функции — через у. Здесь используется выра",кение ка;кдого члена ряда через предшествугощпй. Например, М 2 5 2 и =х и.,= — — = — и —,, и = — = — и.,— 3! 1 2 3' з 5! ''-'4 5' Гслп и/4'= х < н/2, то проводится умепыпеппе аргумепта до величины л/2 — х и вычисление синуса сводится и вычпслешпо косинуса, т. е.
используется ряд э 4 а / ч Х Х 7; яп ~ — '. — х/! = созх = 1 — —, + — — —. +,. ° ! з /' 2! 4! в! Для этого полагаем у = 1, и = 1, и = 1. В остальном алгоритм пе меняется. . В рассмотренном алгоритме аргумепт предполагается заданным в радианах.
Если он задан в градусах, то в блок-схеме следует предусмотреть оператор перевода в радианы, т. е. умножения на величину л/180. Погрешность функции у = яп х, полученной с по'мощью ряда (2,6) с использованием приведенного алго- 5 2, использовлнпе Рядов ритма (см.рис.4), состоит из двух частей — погрешности округления и погреисноеги ограничения, возникающей из-за учета лишь ограниченного числа членов ряда. Погрешности ограничений зависят от значения аргумента. При !х! (л/4 они весьма малы и сравнимы с погрешностями округлений, а с увеличением х возрастают. В частности, если ограни шться первыми пятью членатш разложения (2.6) и провести вычисления с точностью до восьми разрядов, то максимальная погрешность составит около 4 10 ' (порядка первого отброшенного члена — в соответствии с признаком Лейбница).
2. Многочлены Чебышева. Из приведенного выше примера вычисления синуса с помощью ряда следует, что погрешности могут быть распределены неравномерно по рассматриваемому интервалу изменения аргумента. Одним из способов совершенствования алгоритма вычислений, позволяющих оолее равномерно распределить погрешность ио всему интервалу, является использование многочленов Чебьппева. Многоч ген Чебышева Т.„(х) степени и определяется следующей формулои: Т,.(х) = —.', 1(х+ ~" — 1)" + (х — ~'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
