Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Это и приводит к результату, пе имеющему смысла. Здесь снова причиной накопления погрешностей является алгоритм рептспня задачи, который оказался неустойчпвым. 11исленный алгоритм (хтетод) называется корректным в случае существования и единственности численного решения при любых значениях походных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно погрешностей исходных данных. 4. Понятие сходимостн. Прп анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода.

Она означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению. Строгие определения разных оценок близости могут быть даны лишь с привлечением аппарата упглжннния функционального анализа. Здесь мы ограничимся некоторыми попятпямп сходимостн, необходимыми для понимания иоследующего материала. Рассмотрим понятие сходимости итерационного ироцесса. Этот процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи и нахождения искомого значения определяемого параметра (например, корня нелинейного уравнения) строится метод последовательных прполи."кений. В результате многократного повторения этого процесса (или итераций) получаем последовательность значений х„ х„ ..., х„, ...

Говорят, что эта последовательность сходатся к точному решению х = а, если нри неограниченном возрастании числа итераций предел этой последовательности существует и равен а: 11шх„= а.В этом сл~"- 'в- оо чае имеем сходящийся численньш метод. Другой подход к понятию сходимости используется в методах дискретизации. Эти методы заключаются в замене задачи с непрерывными параметрами на задачу, в которой значения функций вычисляются в фиксированных точках.. Это относится, в частности, к численному интегрированию, решению дифференциальных уравнений и т. и.

Здесь под сходплостью метода. понимается-стремление значений решенття дискретной модели задачи к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к пулю параметра дискретизации (например, шага интегрирования) . При рассмотрении сходнмостп важными понятиями являются ее вид, порядок и другпе характеристики.

С общей точки зрения эти понятия рассматривать пецелесоооразно; к ним будем обращаться при изучении численных методов. Таким образом, для получения решения задачи с не' обходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходпмостью. Упражнения 1. Представить числа 175.4, — 3.169, -0.00874 в нормализованном виде.

2. Записать в форме с фикспрованной точкой числа 0.312 10', 0.70 10', 0.465 10-'. 3. Указать максимально возможные абсолютные и относительные погрешности приближенных чпсел 27, —.14.0, 0.00173, 0.745 10 ', ю 0.245,104 0 8960,10 30 ГЛ. 1. ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА 4.

Оценить погрешности величин х, у, заданных соотпошенннми а ~/Ь ~/а — Ь а аз ~ Ьа ~ са с при а м 32, Ь т 17, с т 3.7, 5. Найти относптельные погрешности при вычислении определителей 0.10 — 0.27,~ 17.5 10.4 6. Каковы относительные погрешности объема шара и площади поверхности сферы, если их радиус известен с точностью до 10'И ГЛАВА 2 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ $1. Понятие о приближении функций 1.

Постановка задачи. Пусть величина у является функцией аргумента х. Это означает, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение у. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между у и х, т. е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости у = Дх). В некоторых случаях даже при известной зависимости у =~(х) она настолько громоздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т, п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно. Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами х и у неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы (х;, у,).

Это означает, что дискретному множеству значений аргумента (х;) поставлено в соответствие множество значений функции (у) (г = О, 1,,„., п), Эти значения — либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике нам могут понадобиться значения величины у и в других точках, отличных от узлов хг. Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов. Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к пеооходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра у при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра х,поскольку точная связь у = 1(х) неизвестна. Этой цели и служит задача о приближении (аппроксилгаггии) функций: данную функцию г (х) требуется приближенно заменить (аппроксилгировать) некоторой функцией ~р(х) так, чтобы отклонение (в некотором смысле) ~р(х) от ~(х) в заданной области было наименьшим.

Функция г~(х) при этом называется аппроксилгиругощей, ттк 2, АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ Для практики. весьма важен случай аппроксимации функции многочленом гр(х) = а,+ а,х + а.,х' +... + ая,х"'. (2.1) В дальнейшем будем рассматривать лишь такого рода аппроксимаци|о. При этом коэффициенты а, будут подбираться так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функцпп. ~1то касается самого понятия «малое отклонение», то оно будет уточнено в дальнейшем — при рассмотрении конкретных способов аппро= ксимации. Еслп приближение строится на заданном дискретном множестве точек (х;), то аппроксимация называется точечпой.

К ней относятся иптерполирование, среднеквадратичное приолижение и др. При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [а, Ь~) аппроксимация называется непрерывной (илн интегральной). 2. Точечная аппроксимация. Одним из основных ти пов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состопт в следующем: для данной функции у = ~(х) строим мпогочлеп (2.1), принимающий в заданных точках х, те же значения у-;, что н функция Дх), т.

е. гр(х;) = у;, Е = О, 1, ..., тг, (2,2) При згом предполагается, что среди значений х; нет оди- паковых, т. е. х,~~х~ при г =~' ,К Ф !г. Точки х; называготся узлали интсрполяиии, а много- член гр (х) — интерполяа иопны.к 1'1 мюгочлснол. г Таким образом, близость ип,и'о терполяциоппого многочлена и заданной функции состоит в тоя, что иа аяачеяия соаяадают на заданной системе точек 1'ис. 2.

интерполяция и ап- (рпс, 2, сплошная линия). про«симации Максимальная степе ць пн- терполяционного многочлсна тп = и; в этом случае говорят о глооальной интерполят~ии, поскольку одпп мпогочлеп гр (х) = а, + а,х+... + а,х" (2.3) используется для интерполяции функции Ях1 на всем $ ь понятия О пгивлижении Функций рассматриваемом интервале изменения аргумента х.

Коэффициенты а; многочлена (2.3) находятся из системы уравнений (2.2). Можно показать, что при х; Фх„(г Ф чь К) эта система имеет единственное решение. Интерполяцнонные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения х. В этом случае имеем кусочнуго (илп лака.гьную) интерполяцшо. Как правило, интерполяционные многочлены используются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайпимп узлами интерполяции, т.

е. при х, <= х ( х„. Однако иногда они используются и для прибликепного вычисления функции впе рассматриваемого отрезка (х ~ х„х ~. х„). Это приближение называют экстраполяцией. Как видим, при интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяцпогшого мпогочлена через данные значения функции в узлах интерполяции. Однако в ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. Например, при большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень мпогочле~а (2.3) в случае глобальной интерполяции, т.

е. когда нужно иметь один интерполяционный многочлен для всего интервала изменения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерений и содержать ошибки. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохо."кдения его графика через эти экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого проходит близко от данных точек (см.

рис. 2, штриховая линия). Понятие «близко» уточняется при рассмотрении разных видов приолижения. Одним из таких видов является среднеквадратичное приблилеение функций с помощью многочлена (2.1) . При этом т - п; случай пг = тг соответствует интерполяции. На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (как правило, пг=1,2,3). Мерой отклонения мпогочлепа ср(х) от задаппой функции ~(х) на множестве точек (х;, у;) (г=О, 1, ..., п) прп среднеквадратичном приближении является 3 л, и, турчак ГЛ.

Характеристики

Список файлов книги