Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Книга написана с учетом особенностей применения численных методов при решении задач с использованием ЭВЫ. Поскольку данное учебное пособие не ориентировано па студентов конкретной специальности, то приведенные в нем задачи носят общий характер. Большой выбор интересных задач содержится в книгах прикладного характера, включенных в список литературы. Они, в частности, могут быть использованы при выполнении курсовых и дипломных работ, а также в научно-исследовательской работе студентов. В список литературы включены также некоторые пособия по численным методам, которые автор использовал в работе над книгой. читатель может найти в них более подробные сведения по интересующим его разделам курса, Разумеется, это далеко пе полный перечепь литературы по численным методам и пх приложениям. При изложении материала сказался стиль чтения курсов лекций для студентов нематематических специальностей втузов и слушателей факультета повышения квалификации.
Книга будет полезна студентам и специалистам при первоначальном знакомстве с предметом. Она может служить кратким справочным пособием, которые студенты могут использовать при выполнении расчетных заданий. Книга содеря'пт девять глав. В гл. 1 излагаются основные понятия, связанные с погрешностями вычислений. Рассматриваются источники погрешностей прп расчетах на ЭВЫ. Глава 2 посвящена различным спосооам аппроксимации (приближения) функций.
При рассмотрении интерполирования дано понятие сплайнов, которые получили широкое распространение в вычислительной практике. Выписаны некоторые формулы, которые могут быть полезными при самостоятельной работе. Вопросы численного дифференцирования и численного интегрирования изложены в гл. 3. Здесь же приведены выражения для аппроксимаций производных, которые могут быть использованы при построении разностных пРедисловие схем для решения дифференциальных уравнений, Среди методов численного интегрирования упомянуто использование сплайнов. Приведено также понятие адаптивных алгоритмов, которые сейчас широко используются и при решении других задач.
Глава 4 содержит основные сведения по численному решению задач линейной алгебры. При первоначальном знакомстве можно опустить ~ 4, в котором излагаются некоторые задачи на собственные значения, посколы;у эта тема носит специальный характер. В гл. 5 изложены основные методы решения нелинейных уравнений (алгебраических и трансцендентных) и их систем. Глава 6, посвященная методам решения задач оптимизации, содержит также элементы линейного программирования. Методы решения задач Боши и краевых задач для ооыкновенных дифференциальных уравнений излагаются в гл. 7. В гл.
8 излагаются численные методы решения уравнений с частнымп производными и приводятся некоторые элементы теории разностных схем. Глава 9, посвященная интегральным уравнениям, носит ознакомительный характер, и при первом чтении может быть опущена. Вместе с тем следует отметить, что решение интегральных уравнений, в том числе и сингулярных, необходимо во мпогих областях науки (механик.', физике и др.). Автор искренне признателен академику О.
М. Белоцерковскому за ценные замечания по рукописи. Полезные предложения по улучшению содержания высказали 3. С. Волк, И. К. Лпфанов, В. Б. Миносцев, Г. П. Тиняков и другие товарищи, прочитавшие рукопись плп отдельные ее части. Большую помощь в работе над книгой оказал В. В. Щенников.
Всем пм автор выражает свою глубокую благодарность. 1. Этапы решения задачп па ЭВМ. Наиболее эффективное применение вычислительная техника нашла при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях. Действительно, современные ЭВМ за 1 мс выполняют такой объем вычислений, на который человеку понадобится целый день. При решении задачи на ЭВМ основная роль все-таки прпнадлежнт человеку. Машина лишь выполняет его задания по разработанной программе.
Роль человека и машины легко уяснить, если процесс решения задачи разбить па перечисленные здесь этапы. Постановка задачи. Этот этап заключается в содержательной (физической) постановке задачи и определении конечных целей решения. Построение математической модели (математическая формулировка задачи), Модель должна правильно (адекватно) описывать основные законы физического процесса.
Построение или выбор математической модели из существующих требует глубокого понимания проблемы и знания соответствующих разделов математики. Разработка численного м е тода. Поскольку ЭВМ может выполнять лишь простейшие операции, она вне понимает» постановки задачи, даже в математической формулировке, Для ее решения дол;кен быть найден численный метод, позволяющий свести задачу к некоторому вычислительному алгоритму. Разработкой численных методов занимаются специалисты в области вычислительной математики. Специалисту-прикладнику для решения задачи, как правило, необходимо из имеющегося арсенала методов выбрать тот, который наиболее пригоден в данном конкретном случае. Разработка алгоритма и построение б л о к - с х е м ы.
Процесс решения задачи (вычислительный процесс) записывается в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций, приводящей к конечному результату и называемой алго- ритяол решения задачи. Алгоритм можно изобразить в виде блок-схемы. П р о г р а м и и р о в а н и е. Алгоритм решения задачи записывается на понятном машине языке в виде точно определенной последовательности операций — програл.иы для ЭВМ, Составление программы (программирование) обычно производится с помощью некоторого промежуточного (алгоритмического) языка, а ее трансляция (перевод на язык ЭВМ) осуществляется самой вычислительной системой.
О т л а д к а п р о г р а и м ы. Составленная программа содержит разного рода ошибки, неточности, описки. Отладка программы на машине включает контроль программы, диагностику (поиск и определение содержания) ошпбок, их исправленпе, Программа испытывается на репгении контрольных (тестовых) задач для получения уверенности в достоверности результатов. Проведение расчетов. На этом этапе готовятся исходные данные для расчетов и проводится счет по отлаженной программе. Прп этом для уменьшения ручного труда по обработке результатов можно широко исполь-. зовать удобные формы выдачи результатов, например распечатку таблиц, построение графиков.
А н а л и з р е з у л ь т а т о в. Результаты расчетов тщательно анализируются, оформляется научно-техническая документация. Следует отметить еще один важный момент в процессе решения задачи с помощью ЭВМ. Это — э к о и о и и чн о с т ь выоранного . способа решения задачи, численного метода, модели ЭВЪ|, В частности, если задача допускает простое аналитическое решение или измерение, то вряд ли целесообразно привлекать вычисления на ЭВМ. Иногда решение задачи производят с помощью большого вычислительного комплекса, хотя это можно было осуществить с использованием мини-ЭВМ илп даже микрокалькулятора, Не умаляя значения физического эксперимента, нужно все-таки отметить неуклонно возрастающую долю вычислений на ЭВМ в общем объеме решения научнотехнических задач.
В связи с этим наряду с увеличением парка вычислительных машин и повышением их «интеллектуальных» возможностей возрастает интерес к математическому моделированию и разработке численных методов, ВВЕДЕНИЕ 2. Математические модели. Основное требование, предъявляемое к математической модели,— адекватность рассматриваемому явлению, т. е. она должна достаточно точно (в рамках допустимых погрешностей) отражать характерные черты явления. Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования. Приведем примеры некоторых математических моделеи,' оказавших огромное влияние на развитие различных отраслей науки и техники.
При построении математических моделей получают некоторые математические соотношения (как правило, уравнения). П р и м е р. Пусть в начальный момент времени 8 = О тело, находящееся на высоте Ь„начинает двигаться вертикально вниз с начальной скоростью и,. Требуется най' ти закон движения тела, т. е. построить математическую модель, которая позволила бы математически описать данную задачу и определить параметры движения в любой момент времени. Прежде чем строить указанную модель, нужно принять некоторые допущения, если они не заданы.
В частности, предположим, что данное тело обладает средней плотностью, значительно превышающей плотность воздуха, а его форма близка к шару. В этом случае можно пренебречь сопротивлением воздуха и рассматривать свободное падение тела с учетом ускорения д. Соответствующие соотношения для высоты й и скорости и в любой момент времени 1 хорошо известны из школьного курса физики. Они имеют вид ~~ю ~ю~ ~~ ~=пю гь'' (О. 1) Эти формулы являются искомой математической моделью свободного падения тела. Область примененияданной модели ограничена случаями, в которых можно пренебречь сопротивлением воздуха, Во многих задачах о движении тел в атмосфере планеты модель (0.1) не может быть использована, поскольку при ее применении мы получили бы неверный результат, К таким задачам относятся движение капли, вход в атмосферу тел малой плотности, спуск на парашюте идр. Здесь необходимо построить более точную математическую модель, учитывающую сопротивление воздуха.
Если обозна сить через г" Я силу сопротивления, действующую Введение (0.2) К этой системе уравнений необходимо добавить начальные условия при ~ = 0: п=п„Ь=Ь,. (0.3) Соотношения (0.2) и (0.3) являются математической моделью для задачи движе!ия тела в атмосфере. Существуют и другие, более сложные модели подобных задач (например, о движении планера и т. и.). Заметим также, что модель (ОЛ) легко получается из (0.2) при Г= О. Известно большое число математических моделей различных процессов или явлений. Укажем некоторые из них, широко используемые в механике.
Модель абсолютно твердого тела позволила получить уравнения движения тел в динамике полета. Модель идеального газа привела к системе уравнений Эйлера, описывающей невязкие потоки газов. В гидродинамике широко известна модель на основе уравнений Навье — Стокса, в кинетической теории газов — уравнения Больцмана и т. д. В механике деформируемого твердого тела известны математические модели, описывающие различные среды (упругую, упруго-пластичную и др.) . Имеются математические модели и для описания задач экономики, социологии, медицины, лингвистики и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
