Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 8
Текст из файла (страница 8)
— 1)" ~, — 1(х(1, гг=О, 1,, (2.с) Легко показать, что (2.7) действительно является многочленом: при возведении в степень и последу ющих преобразованиях члены, содержащие корпи, уничтожаются. Приведем мпогочлены Чебышева, полученные по формуле (2.7) при гг = = О, 1, 2, 3 (рис. 5): Т,(х) = 1, Т,(х) = х, Т,(х) = = 2х- "— 1, Т., (х) = 4х' — Зх.
Для вычисления много- членов Чебышева можно воспользоваться рекуррентным рис. 5. Многочлены Чооышева соотношением Т„+с(х) = 2хТ„(х) — Та 1(х), и, = 1, 2, .... (2.8) Б ряде случаев ва;кно знать козффпцпент а. при стар- ГЛ. 2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 40 шем члене многочлена Чебышева степени и . Т„(х) = а, + а,х +...+ а„х", Разделив этот многочлеп на х", найдем Т„(х) а„ аи аз= х" и х Перейдем к пределу при х — и воспользуемся формулой (2.7). Получим т„() аз= Пш — '= —, Нш х-т ОО и Х-Ф ОЮ + 1 / 1 ~ — 2' 1 Многочлены Чебышева можно также представить в тригонометрической форме: Т„(х) = сов(пагссоз х), п = О, 1„... (2.9)' С помощью этих выражений могут быть получены формулы (2.7), (2.8).
Нули (корни) иногочленов Чебы~иева на отрезке 1 — 1, 1] определяются формулой 2А' — 1 хд=соз л, А=1,2, ...,п. и Они расположены неравномерно на отрезке и сгущаются и его концам. Вычисляя экстремумы многочлена Чебышева по обычным правилам (с помощью производных), можно найти его максимумы и минимумы." х, = сов (/ги/и), Ус = 1, 2, ..., и — 1. В этих точках мпогочлен принимает поочередно значения Т (х„) =~1, т.
е. все максимумы равны 1, а минимумы равны — 1. На границах отрезка значения много- членов Чебышева равны ~1. Многочлены Чебышева широко используются при аппроксимации функций. Рассмотрим их применение для улучшения приближения функций с помощью степенных рядов, а именно для более равномерного распределения погрешностей аппроксимации (2,6) по заданному отрезку 1 — я/2, л/21. 3 ", пспользоВАе111Р Рядов лх лх 1 (л~~ 1 (лх') '5 (2.10) / 5~ При использовании этого ряда погрешность вычисле- ния функции в окрестности концов отрезка х = — ~1 су- щественно возрастает п становится значительно больше, чем в окрестности точки х = О.
Если вместо (2.10) ис- пользовать ряд з>п(лх/2) = с„ + с,Т,(х) + с,Т.,(х) +..., членами которого являются многочлены Чебышева, то погрешность будет распределена равномерно по всему отрезку (рнс. 6). В частности, при использовании много членов 1еоьпнева до девятой степени включительно У погрешность находится в интервале ( — 5 —: 5) ° 10 '.
Для сравнения напомним, что погрешность ряда Тейлора для этой задачи на концах отрезка составляет 4 ° 10 '. Нахождение коэффициентов ряда Чебышева довольно сложно и здесь рассматриваться не будет. р ~й На практике часто исРис. б пользуют многочлены Чебышева для повышения точности аппроксимации функций с помощью ряда Тейлора.
Пусть частичная сумма ряда Тейлора, представленная в виде многочлена, используется для приближения функции Дх) на стандартном отрезке [ — 1, 1~, т. е. (2.11) /(х) - а, + а,х+...+ а.„х", Ксли рассматриваемый отрезок ~а, о1 отличается от стандартного, то его всегда можно привести к стандартному Отрезок ~ — л/2, л/2] является пе совсем удобным прп использовании многочленов Чебышева, поскольку опи обычно рассматриваются на стандартном отрезке ~ — 1, Ц.
Первый отрезок легко привести ко второму заменой переменной х на лх/2. В этом случае ряд (2,6) для аппроксимации синуса на отрезке [ — 1, 11 примет впд гл, 2. АппРОнсплхАхц1Й Функции заменой переменной а+о Ь вЂ” а = — + —,х в 2 — 1(х(1. Многочлен Чебышева Т„(х) можно записать в виде Т„(х) = б„+ Ь,х + 6,.т' +... + 2' 'х, Отсюда получаем х" = — 2' "(Ь, + б,х+... + 6„,х" ')+ 2' "Т„(х). (2.12) Если отбросить последний член, то допущенную прп этом погрешность Л легко оценить: ~Л ~ ~ 2' ", поскольку ~Т„,(х) ~ ~ 1. Таким образом, из (2.12) получаем, что х" есть линейная комоинация более низких степеней х.
Подставляя эту линейную комбинацию в (2.11), приходим и многочлепу степени и — 1 вместо многочлена степени п, Этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока погрешность не превышает допустимого значения. Используем эту процедуру для повышения точности аппроксимации функции с помощью ряда (2.10), Будем учитывать члены ряда до 1'1-й степени включительно, Вычислял коэффициенты при степенях х„получаем з1п (ях/2) = 1.5707963х — 0.64596410х' + 0.079692626х'— — 0.0046817541х' + 0.00016044118х' — . — 0.0000035988432х", (2.13) Многочлен Чебышева 11-й степени имеет вид Т„ = 1024х" — 2816х' + 2816х' — 1232х' + 220х' — 11х, Выразим отсюда х" через более низкие степени; х" = 2 "(11х — 220х' + 1232х' — 2816х' + 2816х' + Т„), Подставляя в (2.13) вместо х" правую часть этого равенства и вычисляя новые значения коэффициентов, иолучаем з1и (лх/2) = 1,5707962х — 0,64596332х'+ + 0.079688296х' — 0.0046718573х' + + 0.00015054436х' — 0.00000000351Т„.
(2.141 О тбрасывая последний член этого разложения, мы допускаем погрешность !Л! 4 3,51 - 10 '. Из-за приближенного вычисления коэффициентов при степенях х реаль- В 2. использовлнпе Рядов ная погрешность оольше. Здесь она оценпваетея велипгной 1Л ~ ~ 8 ° 10 '. Эта погрешность немного больше, чем для многочлена Чеоышева (5 10 ') „и значительно меньше, чем для ряда Тейлора (4 10 "), Процесс модификации приближения можно продолжить.
Если допустимое значение погрешности больше, чем при использовании выражения (2.14) (без последнего члена с Т„), то х' можно заменить многочленом седьмой степени, а ччен с Та отбросить; так продолжать до тех пор, пока погрешность остается меньше допустимой. В заключение приведем некоторые формулы, необходимые при использовании многочленов Чебышева. 1, Многочлены Чебышева: Т„(х) = ~ [( + г' ' — 1)" + (. — 'г'х' — 1)"1 = сов (и агссоз х),.
Т„+, (х) = 2хТ„(х) — Т„, (х), и = 1, 2...,, Та(х) = 1ф Т,(х) = х, Т,(х) = 2х' — 1, Т, (х) = 4х' — Зх, Т,(х) = 8х' — 8х' + 1, Т (х) 16ха 20ха+ 5х Т,(х) = 32х' — 48х4+ 18х' — 1, Т, (х) = 64х' — 112х'+ 56х' — 7х Т,(х) = 128х' — 256х' + 160х' — 32х' + 1, Т,(х) = 256х' — 576х' + 432х' — 120х' + 9х, Т„(х) = 512х" — 1280х' + 1120х' — 400х4 + 50х' — 1, Т„(х) = 1024х" — 2816х' + 2816х' — '1232х' + 220х' — 11х, 2. Представление степеней х через многочлепы Т„(х); х'= 1= Т„, х=Т, х- = —,',(70+ 7,), х — — (ЗТ, * Т,), 44 Гл е АппРОксизтАпия Фъ нкций х4 = — (ЗТ» + 47з + Т4), х = 1Ч(10Т,. + оТз+ Т,), =3~( . .+ +,), х — (ЗэГ, + 1Т, + ~Т, + Т-,), хз = —., (35Т + 56Т„+ 28Т4 + 8Тз + Т,), = ~5ь (126Т, + 84Тз + 367з + 9Т, + Т,), х"= —.
(126Т, + 2107з + 120Т, + 457, + 10Т, + Т„),. з4 (4627, + 3307з + 165 7, + 557, + 117з + Т„)е 3. Выражение х" через более низкие степениз 71т: х'=-,(1+ Т,), 4 йз — (Зх+ Т,), а~ (8х~ 1 + 74) хь 1(20 з 5 +7)- 16 " х' = — (48х' — 18х'+ 1+ Т,), 7 1(112 з 56 з+7 ~ 7) хз = —, (256х' — 160х'+ 32хз — 1+ Т,),.
хз = 2,6 (5 (6х' — 432хз + 120х' — 9х + Т,), а'"= — (1280х' — 1120хз + 400х' — 50хз + 1 + Т„)„ ,12 .-А1= —.„(2816х' — 2816д.7+ 1232хъ — 2%хз ~. 11х ~ Ты) 1024 В 2. Использовлние Рядов 3. Вычисление многочленов. При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения многочлепов вида Р(х) = а, + а,х+ а,х'+...+ а„х", (2,15)' Если проводить вычисления «в лоб», т. е. находить значения каждого члена и суммировать их, то при больших и потребуется выполнить большое число операций (и'+ + и/2 умножений и и сложений).
Кроме того, зто может привести к потере точности.за счет погрешностей округления. В некоторых частных случаях, как это сделапо при вычислении синуса (см. рис. 4),. удается выразить каждый последующий член через предыдущий и таким ооразом значительно сократить объем вычислений. Анализ многочлена (2.15) в общем случае приводит и тому, что для исключения возведения х в степень в каждом члене многочлен целесообразно переписать в На'чалю ЪпДО Р(х)'= а, + х(а; + х (а, +... + х(а„, + ха„)+...)). ввод(а;),лх (2Л6) Прием, О помощью которого мпогочлен представляется в таком виде, называется схемой Горнера. Соот- я=а;+хР ветствующпй ему алгоритм вычисления значения много- члена изображен на рис. 7. Этот метод требует и умно- О Нет с "Š— 1 женпй и и сложений. Использование схемы Горнера Ла.
для вычисления значений многочленов не только экономит машинное время, но и повышает точность Вычис- рпс. 7. Блок-схема метода рорлений за счет уменьшения . нера погрешностей округления. 4. Рациональные приближения. Рассмотрим другой впд аппроксимации функций — с помощью дробно-рационального' выражения.
Функцию представим в виде отношения двух мпогочлепов некоторой степени. Пусть, напрпмер, зто будут многочлены третьей степени, т. е. представим функцию ~(х),в виде дробно-рационального ГЛ. 2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ выражения; Ь +Ьх+Ьх +Ьх ~(х) — ' 1+ с х+ с х + с,ха (2.17) Значение свободного члена в знаменателе с, — 1 не нарушает общности этого выражения, поскольку при с, Ф 1 числитель и знаменатель можно разделить на с,. . Перепишем выражение (2.17) в виде Ь, + Ь,х + Ь,х' + Ь,х' = (1 + с,х + сах'+ с,х') Дх)', Используя разложение функции ~(х) в ряд Тейлора: ~(х) = а, + а,х+ а,х'+...
(2.18) и учитывая члены до шестой степени включительно, получаем Ь, + Ь,х+ Ь,х'+ Ь,х'=(1+ с,х+ с,х'+ с,х')Х Х (а, + а,х + а,х' + а,х'+ а,х'+ а,х'+ а,х'), Преобразуем правую часть. этого равенства, записав ее разложение по степеням х; Ь, + Ь х + Ь х'+ Ь х' = а, + х (а, + а,с,)+ + х'(а, + а,с, + а,с,)+ х'(а, + а,с, + а,с, + а,с,)+ + х'(а, + а,с, + а,с, + а,с,)+ х'(а, + а,с, + а,с, + аас,)+ +х'(а,+ а,с,+ а,с, + а,с,), Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, прлучаем следующую систему уравнений.' (2 19) Решив эту систему, найдем коэффициенты Ьа, Ь„Ь„Ь„ с„с„с„необходимые для аппроксимации (2.17). Н р.и м е р. Рассмотрим рациональное приолиженпе для функции ~(х)'= з1п(лх/2~. Воспользуемся прсдстав- Ьо = Ь,= Ьа = ЬЗ= -О= О= О= а„ а,+а,с„ а,+а,с,+а,с„ а, + а,с, +а,с,+а,с„ аа + а,с, + аас, + а,с„ а; + ааса + паса + ааса, а, + а,с, +а,с,+ а,с,.
5 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ лением (2.17), которое в данном случае упрощается, поскольку функция нп х нечетная. В частности, в числителе можем оставить только члены с нечетными степенями х, а в знаменателе — с четными; коэффициенты при других степенях х равны нулю: Ь. = Ь, = с, = с, = О. Еоэффициенты Ь„Ь„с, найдем из системы уравнений (2.19), причем значения коэффициентов а„ а„ ..., а, разложения функции в ряд Тейлора (2.18) можем взять пз выражения (2.10), т. е. я я з а=О, а = —,, а =О, а 1 2т 2 х 3 8.31т' й тт а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
