Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Предпочтение обычно отдастся наиболее простым формулам, ооладающим достаточной точностью. Они первоначально выбираются из геометрических соображений: эксперимен- тальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графпкамп известных функций (много- р=ах+Ь.
(2.56) Близость экспериментального распределения точек к линейной зависимости легко просматривается после построения графика данной экспериментальной зависимости. Броме того, эту зависпмость можно проверить путем члена, показательной или логарифмической функций и т. п.). Успех здесь в значительной мере определяется опытом и интуицией исследователя. Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость 8 4. ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ 07 вычисления значений 1~;. ~;=Ау/Лх;, Лу;=у,,— у,; Лх,=х+,— х, 4=0,1,..., и — 1, Если при этом Уг;=сопз1, то точки (х;, у,) расположены приблизительно на одной прямой, и может быть поставлен вопрос о применимости эмпирической формулы (2.56).
Точность такой аппроксимации определяется отклонением величин й, от постоянного значения. В частном случае равноотстоящих точек х; (т. е. 6х~ = сопз1) достаточно проверить постоянство разностей Лу;, П р и м е р. Проверим возможность использования линейной зависимости для описания следующих данных: 0 0.5 1,0 1.5 2.0 2.5 у 1.17 1.81 2.50 3.15 3.70 4.44 Поскольку здесь х, — равноотстоящие точки (Лх, = =х;+, — х;= 0.5), то достаточно вычислить разности Лу;: 0,64, 0.69, 0.65., 0.64, 0.65. Так как эти значения близки друг к другу, то в качестве эмпирической формулы можно принять линейную зависимость. В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены и другие экспериментальные данные, когда их график в декартовой системе координат не является прямой линией.
Это мо;кет быть достигнуто путем введения новых переменных $, т1 вместо х, у: ~ = ~р(х, у), т1 ф(х, у), (2.57) Функции гр(х, у) и ~(х, у)' выбираются такими, чтобы точки (-;, т1,) лежали на некоторой прямой линии в плоскости (~, т~), Такое преобразование называется выравниванием данных. Для получения линейной зависимости т1 =а$+Ь с помощью преобразования (2.57) исходная формула должна быть записана в виде тр(х, у) = аср(х, у)+ Ь.
К такому виду легко сводится, например, степенная зависимость у ах' (х~О, у) О). Логарифмнруя эту формулу, получаем 1д у = Ь 1я х + 1д а. Полагая $ = 1д х, т~ = -1яу, находим линейную связь; т1 = Р+ с (с=1да), Гл. 2. Аппгоксимлция Функции Другой простейшей эмпирической формулой является квадратный трехчлен у = ах'+ ох+ с. Возможность использования этой формулы для случая равноотстоящих точек х; можно проверить путем вычисления вторых разностей Л'у; = у;+, — 2у;+ у,, При Ь'у, = = сопз1 в качестве эмпирической формулы может быть выбрана (2.58).
3. Определение параметров эмпирической зависимости. Будем считать, что тпп эмпирической формулы выбран и ее можно представить в виде у = (р(х, а„а.„..., а„), (2.59) где д — известная функция, а„а„..., а — неизвестные постоянные параметры. Задача состоит в том, чтобы определить такие значения этих параметров, при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение данной функции, значения которой в точках х; равны у; (~=0, 1, ..., и). Как уже отмечалось выше, здесь не ставится условие (как в. случае интерполяции) совпадения опытных данных у~ со значениями эмпирической функции (2.59) в точках х;. Разность между этими значениями (отклонения) обозначим через е,.
Тогда е; = ср (х;, а„а„..., а ) — у„ю = О, 1, ..., п. (2.60) Задача нахождения наилучших значений параметров а„, а„..., а сводится к некоторой минимизации отклонений е;. Существует несколько способов решения атой задачи. Простейшим из них является л~етод выбранных точек. Он состоит в следующем. По заданным экспериментальным значениям на координатной плоскости ОХК наносится система точек. Затем проводится простейшая плавная линия (например, прямая), которая наиболее близко примыкает к данным точкам. На этой линии выбираются точки, которые, вообще говоря, не принадлежат исходной системе точек.
Число выбранных точек должно быть равным количеству искомых параметров эмпирической зависимости. Координаты этих точек (хо, у~) тщательно измеряются и используются для записи условия прохождения графика эмпирической функции (2,59) через выбранные точки; ср(х„а~,а1,...,а ) = уо, у -- 0,1...т, (2,61) и ~, подпои эмппрпчгских ьорьюл Из этой системы уравнений находим значения параметров а„а„..., а . В частности, если в качестве эмпирической формулы принята линейная зависимость у = ах+ Ь, то на этой прямой выбираются точки (х'„у1) и (х".„у'.,), и уравнения (2.61) примут вид ах,+Ь=У1, о о (2.62) ах,+Ь=у,. о о Можно также записать уравнение прямой, проходящей через эти выбранные точки. В этом случае не нужно реш а ть систему (2.62) .
Рассмотрим еще один способ определения параметров эмпирической формулы — метод средних. Он состопт в том, что параметры а,, а„..., а„зависимости (2.59) определяются с использованием условия равенства нулю суммы отклонений (2,60) во всех точках х,: и и ,~~ е; =,~, '[гр(х;, а„а1, ..., а ) — у,| = О. (2.63) ев+ ев+ ев — О, ев+ ей+ ев+ ев = О, (2.64) е.-в + еи = О. Решая эту систему уравнений, можно найти неизвестные параметры.
П р и м е р. Тело, движущееся прямолинейно с неизвестной скоростью по, в момент времени ~ =О начинает тормозить. Измерялось расстояние х от начала торможения в следующие моменты времени 1: 0 5 10 15 20 25 й, с 0 106 182 234 261 275 ж, и Считая движение тела равнозамедленным с постоянным Полученное уравнение служит для определения параметров а„а„..., а .
Ясно, что из одного уравнения нельзя однозначно определить все т+ 1 параметров. Однако, поскольку других условий нет, равенство (2.63) путем группировки отклонений е; разбивается на систему, состоящую из т+ 1 уравнений. Например, Гл. 2. АппРокспмАппя Функций 70 замедлением а, найти приближенные значения параметров и, иа. Р е ш е н и е. Искомые параметры могут быть найдены из уравнения движения тела, которое представим с помощью эмпирической формулы, используя результаты измерений. Вид эмпирической формулы в данном случае известен из физических соображений — при равнозамедленном движении тела пройденное расстояние является квадратичной функцией времени: х = А~'+ В~+ С.
Легко установить, что С= О, поскольку х =0 при 8 =0. Эмпирическая формула принимает вид ж = АР+ ВГ, (2.65) Запишем вместо этого уравнения систему двух уравнений путем его расщепления: е~ + еа + ез = О, , +, = О. Используя выражение (2.65) и табличные данные, получаем (А 5'+В 5 — 106)+(А 10'+В 10 — 182)+ +(А 15'+В 15 — 234)=0, (А 20'+ В 20 — 261)+ (А 25'+ В 25 — 275) = О. Или окончательно 175А + 15В = 261, 1025А + 45В = 536.
Решая эту систему уравнений, находим А = — 0.30, В = 39.07. Следовательно, эмпирическую формулу (2.65), которая дает приближенную связь между пройденным расстоянием и временем, можно записать в виде з —.0.30Р + 39.07~. Для определения параметров А, В нужно получить -два уравнения. Воспользуемся методом средних и запишем уравнение (2,63) для всех точек (кроме начальной): е1+ е2+ ея+ е~+ еь = О.
$ 4. ПОДБОР ЭЫПИРИЧЕСКИХ ФОРЗГУЛ Сравнивая это уравнение с уравнением х = ас'/2+ Р,с, получаем оценки для среднего ускорения тела и его начальной скорости: а = 2А = — 0,60 м/с', сг, = В = 39.07 м/с. Рассмотренные методы определения параметров эмпирической формулы являются сравнительно простыми, однако в ряде случаев получаемые с пх помощью аппроксимации не обладают достаточной точностью. 4. Метод наименьших квадратов.
Запишем сумму квадратов отклонений (2.60) для всех точек х„х„..., х„: 5 = ~ е; = ~~~~ (ср (х;, ао, а1... а,„) — у;]'. (2.66) г=о Параметры а„а,„..., а эмпирической формулы (2.59) будем находить из условия минимума функции Я = -Я(ао, аг, ..., а,.). В этом состоит лсетод наименьших квадратов. В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны, если отклонения е, подчиняются нормальному закону распределения.
Поскольку здесь параметры а„а„..., а„выступают в роли независимых переменных функции Я, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные -по этим переменным: Щ дЯ дЯ да -' да ' ' ' 'гда,„ (2.67) Полученные соотношения — система уравнений для определения а„а„..., а . Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике.
В качестве эмпирической функции рассмотрим мно- гочлен сг (х) = а, + агх +... + а,„х". (2.68) Я = ~~ (ао + а1х, + ... + агггхг' — уД',, (2.69) с=о Формула (2.66) для определения суммы квадратов откло- нений О' примет вид 72 Для составления с~сне~~ уравнений (2.67) Найдем частные производные функции о = 5(а„а„..., а„): д,У т да — = 2 ~' (а + а1х, + ...
+ а„,х; — у,), о г=о д —— 2,~~(ао+ а,х;+ ... + а„,х1 — У1)х;. а — о Приравнивая этн выражения нулю в соответствии с уравнениями (2.67) и собирая коэффициенты при неизвестных а„а„, .'г, а, получаем следующую систему уравнении: + аи,,~", х, Х~ т+1 +а„,~х, 1=-0 ао с~~ х~ +а1 Х х' +ао ~~ х; +...
+а„~~~, х,. = ~~~ х™у, |=о Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты а„а„..., а„многочлена (2.68), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы. Систему (2.70) можно записать в более компактном виде: Ь„а,+Ь„а,+...+Ь,„„а =с,, Ь|оа, + Ь,,а., +... + Ь„„а„= с„ (2.71) с =~ х",у,, Л,7=0,1,...,~п. (2.72) П р и м е р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
