Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях; 2) значения функции ~(х) заданы только на фиксированном конечном множестве точек х;, т. е. функция задана в виде таблицы. В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, напрпмер многочленами. Одним из таких способов, который может быть испольвован для вычисления интегралов в первом случае, является представление подынтегральной функции е виде степенного ряда (ряда Тейлора).
Это позволяет свести вычисление интеграла от сложной функции к интегрированию многочлена, представляющего первые несколько членов ряда. е 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ записываем интеграл в виде 1 в х х 1= 1 — х + —,—,— +... дх 2! 3! о 3 б х 7 ~1 3 5 2! 7.3! 1 1 = 1 — — + — — —, + ... ~ 0.7468. 3 10 42 у ~(х) Ых — Ь,у, -> Й,у, у ... <- Ь„у, „ а ь 1(х) сух П,у1+ Ь,у, + ° °, + ппу ° а (3, о7) (3.28) Широко распространенным и более точным является' вид формулы прямоугольников, нсаользующ11й значения Более универсальными методами, которые пригодны для обоих случаев, являются .четоды числепиого интегрирования, основанные на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов.
В дальнейшем будем использовать кусочную (локальную) интерполяцию. Это позволит приближенно заменить определенный интеграл интегральной суммой (3.24). В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол, сплайпов и др.).
Следует отметить, что к вычислению определенного интеграла сводятся многие практические задачи: вычисление. площади фигур, определение работы переменной силы и др. Решение задач с использованием кратных интегралов также может быть, в конечном итоге, сведено к вычислени1о определенных интегралов. 2. Методы прямоугольников и трапеций. Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (3.24) .
В качестве точек -; могут выбираться левые (,'.;=х;,) пли правые Д; = х;) границы элементарных отрезков. Обозначая 1(х;) = у,, Лх, =Ь;, получаем следующие формулы иетода пртхоугольников соответственно для этих двух случаев: 9я гл. э. диФФеРенциРОВАние и интеГРиРОВАние функции в средних точках элементарных отрезков (в по- луцельгх узлах); ь т~ П)~ =ХЬ/('-~), а 1=1 Хг-~гг=(Х; г+Х,)/2=Х;-г+ЬЛ, г= 1, 2, (3.29) В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще У 9 газ,г.1 называется методом средних).
г р~ ~ Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функции у =/(х) представляется в виде ломаной, соединяющей г-1 ! г точки (х;, у;); В этом случае площадь всея фигуры (крпволинейнои трапеции) складывается пз площадей элементарных пряхголинейных Рис. 12 трапеций (рис. 12) . Площадь каждой такой трапеции равна произведению полус5 ммы оснований на высот5: .ггг 1+гг, О 1-1 г Складывая все этп равенства, получаем формулу тра- пеций для численного интегрирования: ь у (х) гУх = —, ~~ 1г; (у; 1 + уг). (3.3О) Важным частным случаег1 рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с ггостоянны11 шазом Ь; = Ь = сопз1 (г = 1, 2, ..., и) . Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно впд ь г (х) ах = Ь ~~ ~(хг 1~г ), (3.31) а.
1=1 а — 1 т(х)гУх= 1г ", "+ ~~ у, . (3.32) а 1=1 Рассмотрим пример использования этик формул при ручном счете для простейшего интеграла, допускающего 97 также непосредственное вычисление. Такой пример изволит сравнить результаты расчетов, полученные различными способами. 1 Ых П р и и е р. Вычислить интеграл т = ~ —.. 1+х о Этот интеграл легко вы Рисляется по формуле (3.26): Х = агс1д х ~', = — ~ 0.785398. Используем теперь для вычисления данного интеграла формулы прямоугольников и трапеций. Разобьем отрезок интегрирования [О, 1~ на десять равных частей: и = 10, Таблица 4 1.
000000 0.990099 0.0 01 0.05 0.15 0,25 0.3 0,35 0.4 0.45 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.95 л, = 0.1. - Вычислим значения подынтегральной функции у, = 1/(1 + х;) в точках разбиения х; = х,, + Ь, а также в полуцелых точках х; „, = х;, + Ы2 (1 = 1, 2, ..., 10) (табл. 4). По формуле прямоугольников (3.31) получим то "Х У1-1(а— — 0.1(0,997506+ ... + 0,525624) = 0,785606, 7 л.
н. Турчам $2. численнОе инткгРНРОВ Ание О. 961 538 0.917431 0.8 62069 0.800000 0.735294 0.671141 0.609756 0.552486 0.500000 0.997506 0.977995' 0.941176 0.890868 0.831601 0.767754 0.702988 0.640000 0.580552 0.525624 5 2. численное интеГРиРОВАнии и 1„вычисленных по методам прямоугольников и трапеций: 1 ~ ( ~11+ 12)/3 (3.33) Для рассмотренного выше примера получено 1, = -0.785606, 1, =0.784981. Поэтому, следуя (3.33), найдем 1 = (2 0.785606+ 0.784981) /3 = 0.785398 (с точностью до погрешностей округления), т. е. все шесть разрядов равны точным значениям.
Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то, уменьшая его, можно добиться большей точности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяцпонных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного Интегрирования: использование квадратичноп интерполяции (метод Симпсона) и интерполирование с помощью сплайнов.
3. Метод Симпсона. Розобьем отрезок пптегрирования ~а, Ь] па четное число и равных частей с шагом Ь. На каждом отрезке (х„х,,~, '(х„х,), ..., [х; „х;+Д, , ~х„„х„1 подынтегральную функцию 1(х) заменим интерполяцион- У Р4+1 ным многочленом второй степени: /(х) = с~; (х) = а;х' + Ь,х + с;, х~, ~ х ~ х;+,. Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точ- 0 ках х; соответствующим табличным Рис.
13 данным у;. В качестве гр;(х) можно принять интерполяционный много- член Лагранжа второй степени, проходящий через точки М~- (х~-, у; — ), М;(х, Р ), М;+1(х;+о ~;+~): (х — х1) (х — х,. ) (х,. — х,.) (х,. — х1+ ) ~' (х — х ) (х — х,.+ ) (х — х,. ) (х — х,.) (х1 — 1) (*1 1+1) ~' ( +1 — ) ( 1+1 ) ~ Элементарная площадь г; (рис. 13) может быть вычислена с помощьте определенного интеграла. Учитывая ф 100 - ГЛ. 3.
ДЕЕВ<1>ЕРНЕШПРОВА1П1Н П ПЕЕтнг1'ПРОБЛ1П1Б равепства х;+, — х; = х; — х;, = Ь, получаем 1 — дг.;(х) ах — в [(х — х;)(х — х; д) у;, х — 2 (х — х; д) (х — х;, д) У; + (х — х, д) (х — х 1) Ч; — д ] с~х = й = — (У;-д+ 4У4+Уеьд)' Проведя такие вычисления для каждого элементарного отреза [х~ д, х~+д1, просуммпруем полученные выражения.
~ = у (Уо + 4уд + 2Ув + 4Уз + 2У4 + ... й ° ° ° + 2Уо-2 + 4У вЂ” д + Чо) Данное выражение для Я принимается в качестве значения определенного интеграла: ь (х) ~:~х'- [Уо+ 4(У + У + ° ° ° + У~ д) + Ь а +2 (У, + у. + ... + у.,) + у„]. (3.34) Полученное соотношение называется форлдулой Силдпсона. Зту формулу можно получить и другими способами, например комбинированием формул прямоугольников и трапеций или двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а, Ь1 на части с шагами Ь и 2Ь. При атом важно добиться, чтобы главные части погрешностей этих методов при сложешш упнчтожалпсь. В частности, комбинация формул прямоугольников и трапеций, определяемая соотношением (3.33), аналогична формуле Симпсона. П.р и м е р. Вычислить по методу Симпсона интеграл д Их 1 ~ —, Значения функции при и = 10, Ь = ОЛ при1+х о ведены в табл.
4. Применяя формулу (3,34), находим О.1 1 = — [у, + 4(у, + у, + у, + у., + у) + + 2 (Ув + У4 + Ув + Ув) + Удо] = °,, = 0.785398, ~ 2 с1ислее1110е иптегРИРов л1ие 10! Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона, как и по формуле (3.33), оказался совпадающим с точным значением (1песть значащих цифр) . Сравнив методы прямоугольников и трапеций с методом Симпсона, отметим, что последний обладает более высокой точностью. Главньш член погрептностп метода Симпсона имеет вид Л =-1— 1'(") 1й.' 18О Напомним, что погрешность методов прямоугольников и трапеций имеет порядок О(6'), а уточненная формула (3.33) построена так, что коэффициент при Ь' в выра-' жении для погрешности обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
