Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Можно построить некоторый физический процесс (генератор) для -выработки случайных величин, однако при использовании ЭВМ этот способ непригоден, поскольку улРл гкпнппя 113 трудно дважды получить одннаковые совокупности случайных чисел, которые необходимы прп отладке программ. Известны многие таблицы случайных чисел, которые вычислялись незавпснмо. Их можно вводить в ЭВМ, хранить в виде файла на магнитной ленте илп магнитном дпске коллективного пользования. А еще лучше заготовить собственный файл случайных чисел. В настоящее время наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на ЭВМ состоит в том, что в памяти хранптся некоторый алгоритм выработкп таких чисел по мере потребности в нпх (подобно тому как вычисляются значения элементарных функций, а не хранятся нх таблицы).
Поскольку зти числа генерируются по наперед заданному алгоритму, то опп не совсем случайны (псевдослучайны), хотя н обладают свойственными случайным числам статистическими характеристиками. Упраькнения 1. Функция р = ~(х) задана в табличной форме:. х 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.о р 1 24 1 03 1 36 1 85 2 43 3.14 Вычислить: а) значения производной в точках х = О, 0.4, 1.0 с первым и вторым порядками точности; б) вторую производную в этих ьке точках со вторым -.и:третьим порядками точности.
2. Составить блок-схему алгоритма вычисления производной функции, заданной таблицей с постоянным шагом на некотором отрезке. 1 г „.а 3. Вычислить ) ~" Их, используя методы прямоугольников, о трапеций и Симпсона. Отрезок интегрирования разделить на десять равпых частей. 4. Используя процесс Эйткена и метод трапеций, вычислить 1 лх — з1п —, Ых. Число шагов интегрирования принять равным 4, х 1 8, 46. б. Составить блок-схему решения упр.
4. ГЛАВА 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ $ 1. Основные понятия 1. Линейные системы. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. Запишем систему п линейных алгебраических уравнений с п неизвестныли: а„х,+а„х,+...+а,„х„= 6„ а.„х, +а„х,+...+ а,„х„= Ь„ (4А) В ° ф +а„„х„= о„.
этой системы запишем в а„,~х~ + 17„зха+... Совокупность коэффициентов виде таблицы: 11 12 А= ° 01д ° ° ° ° ° ° пп (4,2) л1 пЪ Данная таблица и' элементов, состоящая из п строк и и столбцов, называется квадратной л~атриией порядка п, Если подобная таблица содержит тп элементов, расположенных в т строках и и столбцах, то она иазывается пря.наугольной л~атриуей Используя понятие матрицы А, систему уравнений (4.1) можно записать в матричном виде: АХ=В, (4.3)' где Х и  — вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно: Ь1 Ь 115 1 1, основнын понятия В ряде случаев получаются системы уравнений с некоторыми специальыымп видами матриц.
Вот некоторые примеры таких матриц: А= 1 3 2 В=[ 32 00 ОО 12-1О ОО 03 — 22 00 ОО 12 — 10 00 01 31 00 ОΠ— 13 .о о о— о о о о о о 4 — 1 1 — 1 4 — 1 2 1 1 1 2 1 2 — 1 2 3 о о о о о о о о о ооо О1ОО О О1О' ооо оооо оооо оооо оооо Здесь А — симметрическая матрица (ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали (ае — — а,;) );  — верхняя треугольная матрица с равными нулю элементами, расположенными ниже диагонали; С— клеточная матрица. (ее ненулевые элементы составляют отдельные группы (клетки) ); 1) — ленточная матрица (ее ненулевые элементы составляют «ленту», параллельную диагонали (в данном случае ленточная матрица 0 одновременно является также трехдиагональной) ); Е— единичная матрица (частный случай диагональной); О— нулевая матрица.
Оггределите~гем (детерхинпггтом) матрицы А гг-го порядка называется чтгсло В (Йег А), равное 11 г2 ''' г» 21 22 ''' "~! с = ~'.( — 1) а,~а,~... а„„. (4.4) иг и2 ''' т~л Здесь индексы а, Р, ..., гэ пробегают все возможные и'г перестановок номеров $, 2, ..., гг; й — число инверсий в данной перестановке. Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений является условие й ФО. В случае равенства нулю опре делителя системы матрица называется вырожденной; 1Ы гл, 4.
системы линейных уРАВнениЙ прп этом система линейных уравнений (4.1) либо пе имеет решения, либо имеет пх бесчисленное множество. Все этп случаи легко проиллюстрировать геометрически для системы а,,х+ Ь,у = с„ а2х+ Ь,у = с,. "(4.5)' Каждое уравнение описывает прямую на плоскости; координаты точки пересечения указанных прямых являются решением системы (4,5). Рассмотрим три возможных случая взаимного расположения двух прямых на плоскости: 1) прямые пересекаются — коэффициенты системы (4.5) не пропорциональны: а1 Ь1 — Ф вЂ”; (4.6) 2) прямые параллельны — коэффициенты '(4.5) подчиняются условиям а а, а — = — 9Ь вЂ” ' а2 62 с2' системы (4.7) 3)' прямые совпадают — все коэффициентьг (4.5) пропорциональны: а1 Ь с (4 8) а2 ~2 ~2 Запишем определитель Р системы (4.5)' в виде Отметим, что при выполнении условия (4.6) РФО, и система (4.5) имеет единственное решение.
В случаях отсутствия решения или при бесчисленном множестве решений имеют место соответственно соотношения (4.7) или (4.8), из которых получаем Р— О. На практике, особенно при вычислениях на ЭВл1, когда происходят округление илп отбрасывание младших разрядов чисел, далеко не всегда удается получить точное равенство определителя нулю. При Р О прямые могут оказаться почти параллельпымп (в случае системы двух уравнений) ", координаты точки пересечения этих прямых весьма чувствительны к изменепиго коэффициентов системы. $ ь ОснОВные понятия Таким образом, малые погрешности вычислений и: и исходных данных могут привести к существенным н»- грешностям в решении.
Такие системы уравнений называются плохо обусловленныли. Заметим, что условие й = 0 является необходимым для плохой обусловленности системы линейных уравнений, по не достаточным. Например, система уравнений и-го порядка с дпагольной матрпцей с элементами аа 0.1 не является плохо обусловленной, хотя ее опроделитель мал (й 10 ") . Приведенные соображения справедливы и для любого числа уравнений системы (4.1), хотя в случае и ~ 3 нельзя привести простые геометрические иллюстрации. При и =3 каждое уравнение описывает плоскость в пространстве, и в случае почти параллельных плоскостей или линий их попарного пересечения получаем плохо обусловленную систему трех уравнений. 2.
О методах решения линейных систем. Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы — прямые и итерационные. Прявые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т.
е. пригодны для решения широкого класса линейных систем. Вместе с тем прямые методы имеют и ряд недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной памяти ЭВМ сразу всец матрицы, и при больших значениях п расходуется много места в памяти. Далее, прямые методы обычно не учитывают структуру матрицы— при большом числе нулевых элементов в разреженных матрицах (например, клеточных или ленточных) эти элементы занимают место в памяти машины, п над ними проводятся арифметические действия.
Существенным недостатком прямых методов является также накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Это особенно опасно для больших систем, когда резко возрастает общее число операций, а также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к погрешностям. В связи с этим прямые методы используются обычно для сравнптельно небольших (и ( ,( 200) систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем, у '118 гл.
4. системы линейных уРхвнений Отметим еще, что ирямые методы решения линейных систем иногда называют точныл~ы, поскольку решение выражается в виде точных формул через коэффициенты системы. Однако точное решение может быть получено лишь при выполнении вычислений с бесконечным числом разрядов (разумеется, при точных значениях коэффициентов системы). На практике при использовании ЗВМ вычисления проводятся с ограниченным числом знаков, определяемым разрядностью машины. Поэтому неизбежны погрешности в окончательных результатах. Итерационные методы — это методы последовательных приблп'кеш1й.
В нпх необходимо задать некоторое приближенное решение — начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью. Алгоритмы решения липейных систем с использованием итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми методами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
