Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Условия (3.42)' и соответствующий выбор величин б, обеспечивают выполнение условия (3.38). 6. О других методах. Особые случаи, Броме рассмотренных вьппе методов численного интегрирования существует ряд других. Дадим краткий обзор пекоторых из нпх. Форлулы Ньютона — Котеса получаются путем замены подынтегральной функции пнтерполяцпонным многочленом Лагранжа с разбиением отрезка интегрирования на п равных частей. Получающиеся формулы используют значения подынтегральной (1)ункции в узлах интерполяции и являются точными для всех многочленов некоторой степени, зависящей от числа узлов.
Точность формул растет с увеличением степени интерполяционного многочлена *) . Метод Гаусса 'не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные промежутки. Формулы численного интегрирования пнтерполяцпопного типа ищутся та- ~) Заметим, что формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями Формул Ньютона — Котеса. $2. численное интеГРиРОВАнпе $()7 кими, чтобы они обладали наивысшим порядком точности при заданном числе узлов.
Узлы и коэффициенты формул численного интегрирования находятся из условий обращения в нуль пх остаточных членов для всех многочленов максимально высокой степени. Формула Эрмита, являющаяся частным случаем формул Гаусса, использует мпогочлены Чебышева для вычисления интегралов вида 1 Получающаяся формула характерна тем, что все коэффициенты при у; равны. Метод Маркова состоит в том, что при выводе формул Гаусса вводятся дополнительные предположения о совпадении точек разбиения отрезка по крайней меро с одним из его концов.
Формула чебышева представляет интеграл в виде 1 и ) р )х) ) (х) шх= Й ь у; -)- )). 1 1=0 Прп этом решается следующая задача: найти точки х„ х„..., х„и коэффициент Й такие, при которых остаточный член й обращается в пуль, когда функция 1(х) является произвольным мпогочлепом возможно большей степени. Форз1ула Эйлера использует не только значения подынтегральной функции в точках разбиения, но и ее производные до некоторого порядка на границах отрезка.
Рассмотрим особые случаи численного интегрирования: а) подынтегральная функция разрывна на отрезке интегрирования; б) несобственные интегралы. а) В ряде случаев подынтегральная функция ~(х) или ее производные в некоторых внутренних точках е„ (й = М, 2, ...) отрезка интегрирования ~а, Ь1 терпят разрыв. В этом случае интеграл вычисляют численно для каждого участка непрерывности и результаты складывают. Например, в случае одной точки разрыва х = с (а < с< Ь) имеем Ь е ь ~))х)Их ) )(х)Нл-)- 1!)х) Их.
108 гл. з. диев)нкнциговлник и инткгРит'овАнив Д;)я вычпслеппя каждого пз стоящих з правой части интегралов можно использовать рассмотренные выше метоЛы. б) Не так просто обстоит дело с вычислением несобственных интегралов. Напомним, что к такому типу относятся интегралы, которые имеют хотя бы одну бесконечную грачпцу интегрирования пли подынтегральную функцию, обращающуюся в бесконечность хотя бы в одной точке отрезка интегрирования.
Рассмотрим сначала интеграл с бесконечной границей интегрирования, например интеграл вида ~)(х)Ых, 0(а(со. а Существует несколько приемов вычисления таких интегралов. Можно попытаться ввести замену переменных х =а/(1 — 1), которая превращает интервал интегрирования ~а, ) в отрезок ~0, Ц. При этом подынтегральная функция и первые ее производные до некоторого порядка должны оставаться ограниченными. Еще один прием состоит в том, что бесконечная граница заменяется некоторым достаточно большим числом Ь так, чтобы принятое значение интеграла отличалось от исходного на некоторый малый остаток, т. е.
) )(х)Нх ) )(х)Их )' В, Л ) ) ~х)Нх. Если функция обращается в бесконечность в некоторой точке х с конечного отрезка интегрирования, то' можно попытаться выделить особенность, представив подынтегральную функцию в виде суммы двух функции: ~(х) ~р(х) + ф(х). При этом ~р(х) ограничена, а ф(х) имеет особенность в данной точке, но интеграл (несобственный) от нее может быть вычислен непосредственно по формулам. Тогда численный метод используется только для интегрирования ограниченной функции ~р(х).
Еще один вид несобственных интегралов (сингулярные интегралы), имеющий важное прикладное значение, будет рассмотрен в' дальнейшем в разделе, посвященном сингулярным интегральным уравнениям (см, гл. 9, ~ 3), 5 2. числннпое интеГРИРовлние 7.
Кратпыс интегралы. Численные методы используются также для вычисления кратных интегралов. Ограничимся здесь рассмотрением двойных интегралов вида (3.43) Одним пз простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования С является прямоугольник: а ( х ( Ь, с ( у ( а. По теореме о среднем найдем среднее значение функции ~(х, у): Ъ ~(х Р) = — ) У(х,у)дхФ.
Я =(Ь вЂ” а)(И вЂ” с) (344) о Будем считать, что среднее значение приближенно равно значению функции в центре прямоугольника, т, е, Рис. 15. ~(х,у)' ~(х,у). Тогда из (3.44) получим выражение для приближенного вычисления двойного интеграла: ~ ~ ~ (ж, у) Нх Ыуж Я/ ~х, у),. х = (а + Ь)/2, у = (с + И),'2, Точность этой формулы можно повысить, если раз-.
, бить область С на прямоугольные ячейки ЛС;;.(рис. $5): х~,~х(х< (~ 1,2, ..., М), у; ~~у-у, (у=А; 2, ... Х), Применяя к. каждой ячейке формулу (3.45), ~я Гл, 3. диФФеРенциРовАние и интеГРиРовАние получаем ~ 1 )(х, у)учую)(х;, у;) лх;ьу~, ьо уу Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим зна- чение двойного интеграла: 11)(х,у) = е ~', )~г;, у;) ь.;Ну;. )3.46) В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивании их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции /(х, у). Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде Л = 0(1/ЛХ'+ 1/М) = 0(Лх'+ Лу').
Таким образом, формула (3,46) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение ЛХ/У остается постоянным.
Если область С непрямоугольная, то в ряде случаев ее целесообразно привести к прямоугольному виду путем соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырехугольника: а < х < Ь, ~р,(х) < у < е),(х). Данную область можно при-' вести к прямоугольному виду с помощью замены у — у)), (х) О<: ~~<1. с)) (х) — в) (х) ' Кроме того, формула (3.46) может быть оообщена и на случай более сложных областей. Другим довольно распространенным методом вычисления кратных интегралов является их сведение ж последовательному вычислению определенных интегралов, 9 2.
численное интегРИРОВАние Интеграл -.(3.43) для прямоугольной области можно записать в виде Ь й ~) )(х,у)Ы*Ы~= ~Г(х)йх, К(х) ~!(х,Р)ШУ. 0 а о Для вычисления обоих определанных интегралов могут быть использованы рассмотренные ранее численные методы. Если область С имеет более сложную структуру, то она либо приводится к прямоугольному виду с помощью замены переменных, либо разбивается на простые элементы. Для вычисления кратных интегралов используется также метод гамены подынтегральной функции многомерным интерполяционным многочленом.
Вычисление коэффициентов этих многочленов для простых областей обычно не вызывает затруднений. Существует ряд других численных методов вычисления кратных интегралов. Среди них особое место занимает метод статистических испытаний, который мы вкратце изложим. 8. Метод Монте-Карло. Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе таких подходов построен ряд численных методов, которые учитывают случайный характер вычисляемых или измеряемых величин. К ним принадлежит и метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло, который применяется к решению некоторых задач вычислительной математики, в том числе и для вычисления интегралов.
Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина $, математическое ожидание котврой равно искомой величине х; М$=х. Проводится серия и независимых испытаний, в результате которых получается (генерируется) последовательность п случайных чисел $„~„..., $, и по совокупности этих значений приближенно определяется искомая величина $=Д +~~+...+$,„)/п~х ц2 гл.
з, дпэакгкнцпговлппк и 1п1тттгпговлппв Пусть 11 — равномерно распределспная на отрезке ~0, Ц случайная величина. Это означает, что ее плотность распределения задается соотношением О, х<О, Р„(х) — 1, О ~: х ( 1р О, х~1. Тогда любая функция ~=~(ц) также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно до 1 МЕ= ) ))х)ре(х)г)х ~)(х)Нх, Следовательно, чптая это равенство в обратном по- 1 ридле, прлдодим л выводу, тто интеграл ) )Гх)г)х моигет о быть вычислен как математическое ожидание некоторой случайной величины $, которая определяется независимыми реализациями т), случайной величины т) с равномерным законом распределения: 1 уъ ~ г'Гх) огх ~ е — ~ г'Гд,).
о $=1 Аналогично могут быть вычислены и кратные интегралы. Для двойного интеграла получим ) р) ) ) (х, р) Нхггу т — ~~'„) 'Где ег), где С: О < х = 1, О <у <1; т~„~, — независимые реализации случайных величин т~, ~, равномерно распределенных на отрезке ~0, Ц. Для использования метода' Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, как и в других его приложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Существуют различные способы генерирования таких чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
