Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Найти выражение для производнои уг в случае четырех равноотстоящих узлов (и = 3). Равенство (3.15) запишется в виде Р уг — — е,уз + етуг + е,уз + сзуз, з 1. '1ПОЛЕННОЕ ДПФФЕРЕ1ЩИРОВАНПЕ 87 Подставляем последовательно соотношения (3.17) и (3.18) соответственно в правую и левую части равенства (3,16) при х = х,: О=с,.1+с,.1+с, 1+с, 1, 1 = Со (Хо — Хо) + Сз (Х1 — Хо) + Сз (Хг — Хо) + Сз (Хз — Хо) з 2(х, — х,) = с, (х, — х,)'+ с, (х, — х,) '+ + Сз (Хз — Хо) + Сз (Хз — Хо) 1 З(х, — х,)' = с,(х, — х,)'+ с,(хг — х,)'+ + Сз (Хз — Хо) + Сз (Хз — Хо) ° Получаем окончательно систему уравнений в виде Со+ Сз+ Сз+ Сз = О, Ьс, + 2Ьс, + ЗЬс, = 1, ЬС, + 4Ьсз+ 9ЬС, = 2, Ьс, + 8Ьс, + 27Ьс, = 3, Решая эту систему, получаем 4 1 с = — —.
с Р 81„ Подставляя зти значения в равенство (3.18), находим выражение для производной: з 1 уг — — р ( — 2ур — Зу, + бу, — у,), 5. Улучшение аппроксимации. 1~ак видно из конечноразностных соотношений для аппроксимаций производных (см. п, 3), порядок пх точности прямо пропорционален числу узлов, используемых при аппроксимации. Однако с увеличением числа узлов зти соотношения становятся более громоздкими, что приводит' к существенному возрастанию объема вычислений.
Усложняется также оценка точности получаемых результатов. Вместе с тем существует простой и эффективный способ уточнения решения при фиксированном числе узлов, используемых в аппроксимирующих конечно-разностных соотношениях. Это з1етод Рунге — Ролберга. Изложим вкратце его сущность. Пусть г'(х) — производная, которая подлежит аппроксимации; . 7'(х, Ь) —. конечно-разностная апйроксимация атой производной на равномерной сетке с шагом Ь; .Н— яя гл. 3, диФФегенциговлние и иптегР11РОВАпие погрешность (остаточный член) аппроксимации, главный член которой можно записать в виде Ь"~(х), т.
е. Л = Ь'1р (х) + О (Ь" +') . Тогда выра'кение для аппроксимации производной в общем случае можно представить в виде Е(х) =/(х, Ь)+ Ь'1р(х)+ О(Ь'+'). (3.19) Запишем зто соотношение в той же точке х при другом шаге Ь~ = ЙЬ. Получим Р(х) = У(х, УсЬ)+(И)'ср(х)+ О((7сЬ)'+'). (3.20) Приравнивая правые части равенств (3.19) и (3.20), находим выражение для главного члена погрешности аппроксимации производной: У(х, 1Ц вЂ” У(х, 1с~) О(Ьг+1) И вЂ” 1 Подставляя найденное выражение в равенство (3.19), получаем форлулу Рунге: Г(х)=У(х, Ь)+" " " '"'+О(Ь'+1Э, (3.21) И вЂ” 1 Эта формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной ~(х, Ь) и ~(х, ЬЬ) (с шагами Ь н ЙЬ) с порядком точности р найти ее уточненное значение с порядком точности р+ 1.
П р и м е р. Вычислить производную функции у = х' в точке х =1. Очевидно, что у = Зх'; поэтому у (1) =3. Найдем теперь эту производную численно. Составим таблицу значений функции: ж 0.8 0.9 1.0 у 0.512 0.729 1.0 Воспользуемся аппроксимацией производной с помощью левых разностей, имеющей первый порядок (р = 1), Примем шаг равным 0.1 и 0.2, т. е. Ь" =2. Получим 1(х, Ь) = У'(1, О 1) —" 01 ' — 01 — 271, Ы) (1 О2) ' -'- 244 5 Ь ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Вю По формуле Рунге найдем уточненное значение производной: , Г(х) = у'(1) = 2.71+ ', = 2.98. 2~ — 1 1Р+т ' УР4-т-г 1'(х, Ь ) 1гт 1гт 1(х, 1г ) 1~~' 1т Г(х) = 1р+д-г ) 1Р 1Р4т 1 1Р 1Р+т 1 1 1 АР Ьт+ 2 2 1р-' т — г 1Р4-'т-г + О1 гР+т-т) 1Р+Я вЂ Ч 1 У ~ 11 Р + Таким образом, порядок точности возрастает на д — 1, Заметим, что для успешного применения уточнения исходная функция должна иметь непрерывные производные достаточно высокого порядка.
6. Частттые производные. Рассмотрим функцию двух переменных гг =1(х, у), заданную в табличном виде: ид=/(х;, у,), где х;=х„+ть; (г=О, 1, ..., 1), у,=у,+ +1Ь, (1= 0, 1, ..., .1). В табл. 3 представлена часть данных, которые нам в дальнейшем понадобятся. Используя понятие частноп производной, можем приближенно записать для малых значений шагов Ь„Ь, да 1(х+ Ат~ У) — 1 тх У) дх д г ди 1(х У+ 1г.) — 1(х, У) . дУ Ь Воспользовавптись введенными выше обозттачелиями, получим следутощие приближенные выражения (аппрокси- Таким образом, формула Рунге дает более точное значе. ние производной. В общем случае порядок точности аппроксимации увеличивается на единицу. Мы рассмотрели уточнение решения, полученного при двух значениях шага.
Предположим теперь, что расчеты могут быть проведены с шагами Ь„Ьг, ..., Ь,. Тогда можно получить уточненное решение для производной Е(х) по формуле Ромбереа, которая имеет вид 9О Гл, 3, диФФеРенциРовАние и интегРНРовАние мации) для частных производных в узле (х„у;) с по- мощью отношений конечных разностей: Для численного дифференцирования функций многих переменных можно, как и ранее, использовать иптерполяционные многочлены. Однако рассмотрим здесь другой Табл!!ца 3 "1+1' Х 1-2 и. 1+2, 1-2 !+2, 2-1 1+2, 1 1+2, !+1 и. 1+2, 2+ 2 У У У ° Уз+1 У!+2 и.
и., 1+1, !-2 и 1-1 ! 2 и,. 1, ! 2 и. 1 — 1 ".6- 1, 1+1 и. !+2 и. 1 — 1, 1-1 и. 1-1, 1 и. 1+1, !-1 и. '1'-2, 1-2, !+1 1-2, !+2 1+1, ! и!+1, !+1 1+1,;+2 и. 1-1, 9 +! и. 1 — 1, !+2 Используем эту формулу дважды; 1) найдем и,+, 1= 1(х<+ Ь„у,) при Лх = Ь„Лу = О; 2) найдем и;, ! = 1(х! — Ь1, у,) при Лх= — Ь1, Лу= О. Получим ! дй! '+11-. +~-/ Ь1+-~ — 1 111+-~ — 1 Ь1+ ..
1 1 11 ~дх/" 0 2! !1д 21. 3! ~д з /. Х 11 Ф ° !' ди'! и' 1 — — и" — ~ — ! 1г + —. ~ — 1! Ь1 — —. ~ — 1! 1г + !,дх/" 1 2! д 2 3! ~д з!!,, 1 ° 1 ° . ~дх ~„ ° 1,дх (;1 способ — разложение в ряд Тейлора функции двух переменных; 1 (х + Лх, у + Лу) = 1(х, у) + — Лх + —. Лу + + — — Лх'+ 2 —.
ЛхЛу+ — Луз 1 !д1 д~1 д 1 2! ~д,з д-ду дуз 1 1'д'1 з д'1 Л з+З Л.2Л„+ 3! ~ дхз дхгду + 3 —, Л гЛу2 + — Луз + ., (3.22) д'1 „д~1 дхду ду'1 2 1. ЧПСЛЕППОЕ ДПФФЕРЕПЦИРОВАПИЕ Цычитая почленно пз первого равенства второе, получаем /ди~ 2 и;,1,; — и; 1,; = 2Ь1У~ + 0(Ь1). (,дх,~ 11 Отсюда найдем аппроксимацию производной с помо1цью центральных разностей; Она имеет второй порядок. Аналогично могут быть получены аппроксимации производной ди/ду, а также старших производных. В част- ности, для второй производной можно получить Записывая разложения в ряд (3.22) при разных значениях Лх и Лу, можно вывести формулы численного дифференцирования с необходимым порядком аппроксимации.
Приведем окончательные формулы для некоторых аппроксимаций частных производных. Слева указывается комбинация используемых узлов (исаблон), которые отмечены кружочками. Значения производных вычисляются в узле (х„у,), отмеченном крестиком (напомним, что на шаблонах и в табл. 3 по горизонтали изменяются переменная х и индекс 1, по вертикали — переменная у и ИНДЕКС 1): ОХ О дх О ди и +,— и... 1+1 7 ~+ 1 — 11 и,. „— 2у,.; + и,. 2 1, и..
— и.. — и.. -1- и. 1+1 И+1 г+1Л-1 1 1,1-~-1 ' 1-1,1-1 1 2 ГЛ. 3. ДнсэсЬКРГНН11РОЕЛПИГг И И1ГГКГРПРОВЛ11ИН вЂ” сс. + и. — и. с — 1,7+1 ' с с-1,7 — 1 1 — 1 1 — 1 0 0 1' ди'1 иг -г, с-с-г Х О О (д ~ ";+,+1 Х о о оозоо,—,, 4/г 1 — и. . + и. — и. с+1,г — 1 ' '1 — 1,1+1 с — 1 1 1 121с — и; + 16и — 30и,.
+ 16и,. 1 — и,. 2 121с3 д'и — = †,(и,„,,+, — 2и;;+1 + и; 1,+1 + и;+1,— ООО "' г1 — 2и;„+ и; 1, + и11.1,; 1 — 2иг,г 1+ и; 1,, 1) Ф 000 д2и 1 — = —,(и;;,;+, — 2и,+,, + и;+~, ~ + и;,+,— 000 2и,. +и, 1+и; г +1 — и; 1,,+и; 11 г), Приведенные аппроксимации производных могут быть использованы прн построении разностных схем для решения уравнений с частными производными (см. гл. 8). $2. Численное интегрирование 1. Вводные замечания.
Напомним некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения. Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция у = ~(х). С помощью точек х„х„..., х„разобьем отрезок [а, Ь] на и элементарных отрезков [хс с„хс] (1=1, 2, ..., л), причем х, = а, х„= Ь. На каждом из этих отрезков выбе- РЕМ ПРОИЗВОЛЬНУ1О ТОЧКУ Цс (Х;, ~$с(Хс) И НайДЕМ ПРО- наведение гс значения функции в этой точке ~Д,) иа длину элементарного отрезка Лх, = х; — х;,: в=И)~ ' (3.23)' $2 с1исленное иптегРиРОВлн11е Составим сумму всех таких произведений: и ~и З1+ З2+ ° ° е + Зл Х ~Д1)~Х1 ° (3.24) Сумма Я„называется интегральной суммой. Определенныл1 интегралом от функции ~(х) на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения; прп этом длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: (3.25) О ХО Х1 Л'„,.Л~-1 ЬХ~ХЬ..Ха-л Хо-1 Ха Л7 Рис.
11 Геол1етрический смысл введенных понятий для случая ~(х)) О проиллюстрирован на рис. 11. Абсциссами точек Л1, являются значения $;, ординатами — значения ~ Я;) . Выражения (3.23) при 1 = 1, 2,..., и описывают площади элементарных прямоугольников (штриховые линии), интегральная сумма (3,24) — площадь ступенчатой фигуры, Теорема существования определенного интеграла. Если функция ~(х) непрерывна на [а, Ц, то предел интегральной сумл1ы существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [а, Ъ'1 на злел1ентарные отрезки, ни от выбора точек ~;.
94 Гл. 3. дпФФеРепцпРОВл1п!е и пптеГРЦРОВлппе образуемой этими прямоугольниками. При пеограпичепном увеличении числа точек деления и стремлении к нулю всех элементов Лх, верхняя граница фигуры (ломаная) переходят в линию у =1(х). Площадь полученной фигуры, которую называют криволинейной трапецией, равна определенному интегралу (3.25). Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно с помощью неопределенного интеграла (вернее, первообразной) по формуле Ньютона — Лейбница.
Она состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной Р(х) на отрезке интегрирования; (3.26) 1 2 Вычислить интеграл 1 = е " а)х с по- о Пример греп1ностью 10 '. Воспользуемся разложением экспоненты в ряд: 2 3 х х х е =1+х+,—,+ —,+ ... з~ Используя последнее выражение н заменяя х на — х', Однако на практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам: 1) вид функции ~(х) не допускает непосредственного интегрирования, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
