Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Адекватность и сравнительная простота модели не исчерпывают предъявляемых к ней требований. Обратим еще внимание на необходимость правильной оценки области применимости математической модели. Например, модель свободно падающего тела, в которой пренебрегают сопротивлением воздуха, весьма эффективна для твердых тел с большой средней плотностью и формой поверхности, близкой к сферической. Вместе с тем в ряде других случаев (движения капельки жидкости, парашютпого устройства и др.) для решения задачи уже недостаточно известных из курса физики простейших формул. Здесь необходимы более сложные математические модели, учитывающие сопротивление воздуха и другие факторы. Отметим, что успех решения задачи в значительной степени определяется выоором математической модели', здесь в первую очередь пукпы глубокие знания в той ,па тело массой т, то его движение можно описать с помощью уравнений дг ИЬ ги — =ту — Р, — = — п, э .ь д~ ооласти, к которой принадлежат поставленная задача.
Кроме того, необходимы знания соответствующих разделов математики и возможностей ЗВМ. 3, Численные методы. С помощью математпческого моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью, Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные. Графические методы позволяют в ряде случаев оценпть порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение .находится путем геометрических построении. Например, для нахо."кдения корней уравнения ~(х) = 0 строится график функции у = Дх), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями, При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул.
В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений, дифференциальных уравнений и т. п., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи. Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислениях вручную они могли - использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач.
С появлением ЭВМ начался период бурного развития численных методов и их внедрения в практику. Только вычислительной машине под силу выполнить за сравпнтельпо короткое время объем вычислений в миллионы, миллиарды и более операций, необходимых для решения многих современных задач. Прп счете вручную человеку не хватило бы и жизни для решения одной такой задачи. Численный метод наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должен обладать и еще одним важным качеством — не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей, ГЛАВА 1 ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА $1. Приближенные числа 1. Числа с плавающей точкой. ЭВМ обрабатывают числа, которые записаны в формах с фиксированной точкой и плавающей точкой ~) .
Десятичные числа с 4иксированной точкой — это привычная нам форма записи чисел: 5; — 10, 175.12, 0.0093 и т. п.; здесь вместо десятичной запятой ставится точка. Как известно, множество целых чисел бесконечно. Однако ЭВМ из-за ограниченности ее разрядной сетки может оперировать лишь с некоторым конечным подмножеством этого множества. Так, во многих моделях ЭВМ диапазон представляемых целых чисел даже в режиме с удвоенной точностью находится примерно в интервале от — 2 10' до 2 10'. При решении научно-технических задач в основном используются действительные (вещественные) числа.
Для их представления почти во всех машинах используется форма с плавающей точкой. Десятичное число 0 в этой форме записи имеет вид й= ~т 10", где т и ив соответственно мантисса числа и его порядок. Например, число — 273,9 можно записать в виде: — 2739 10 ', — 2.739 10.', — 0.2739 10'.
Последняя запись — нормализованная форма числа с плавающей точкой. Таким образом, если представить мантиссу числа в виде тп =, = О,с»,4... д„то при Ы, Ф 0 получим нормализованную форыу числа с плавающей точкой. В дальнейшем, говоря о числах с плавающей точкой, будем иметь в виду именно эту форму. Все сказанное выше распространяется и на числа, записанные в других системах счисления. Число У в системе счисления с основанием а можно представить в виде ») Термины «фит<сироваттная точка» и «пяаиак»щая точка» пнтроно — и6ттользуются в операционных системах ЭВМ. Понятня «фнксированная запятая» и «нлаватощая запятая» утратнян силу 1нрн»тетнттсяьн ~ к !~В' ... 5 Ь ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА У = ~О.а,а,...а, я".
Из этой записи следует, что подмно;кество действительных чисел, с которым оперирует кош;ретная ЭВМ, не является бесконечным: оно конечно и определяется разрядностью 1с, а также границами порядка п„п, (и, < и ~ и,). Можно показать, что это подмножество содержит 2(и — 1) (и, — и, + 1) а" '+ 1 чисет. Границы порядка п„п, определяют ограниченность действительных чисел по величине, а размерность Й— дискретность распределения их на отрезке числовий оси.
Например, в случае десятичных чисел при четырехразрядном представлении все значения, находящиеся в интервале между числами 0.2851 и 0.2852, представляются числом 0.2851 (при отбрасывании остальных разрядов без округления) . Разность между двумя соседними значениями равна единице последнего разряда. Числа, меньшие этой разности, воспринимаются как машинный нуль. Таким ооразом, ЭВМ оперируют с приближенными значениями действительных чисел. Мерой точности приближенных чисел является погрешность. 2. Понятие погрешности. Различают два вида погрешностей — абсолютную и относительную. Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения, Относительная погреигность — это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа.
Таким образом, если а — приближенное значение числа х, то выражения для абсолютной и относительной погрешностей запишутся соответственно в виде Лх = х — а, бх = Лх/а. Е сожалению. истинное значение величины х обычно неизвестно. Поэтому приведенные выражения для погрешностей практически не могут быть использованы, Имеется лишь приближенное значение а, и нужно найти его предельнрю погрешность Ла, являющуюся верхнеп оценкой модуля абсолютной погрешности, т. е. ~Лх~ ( Ла. В дальнейшем значение Ла принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа а.
В этом случае истинное значение х находится в интервале (а — Ьа, а+ Ла), Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность Ьи принимается равной половине единицы последнего разряда числа. На- 16 Гл. 1, точность в1~1числ1ттнл1эпого зкспГРпментА пример, значение а =.0.734 могло быть получено округ= лением чисел 0.73441, 0.73353 и др, При этом !Лх! ~ ~ 0.0005, и полагаем Ьа = 0.0005.
Приведем примеры оценки абсолютной погрегпности при некоторых значениях приближенноп величины а; а ~ 51.7 — 0.0031 $6 16.00 Ла ~ 005 0.ООО05 0.5 0.005 При вычислениях на ЭВМ округления, как правило, не производятся, а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, оторасываются. В этом случае максимально возможная погрешность результата выполнения операции в два раза больше по сравнению со случаем округления. Предельное значение относительной погрешности,— отношение предельной абсолютной погрешности к абсо лютной величине прполпженного числа: ба = Ла/~а~.
Например, 6 ( — 2.3) = 0.05/2.3 = 0.022 (2.2% ) . Заметим, что погрешность округляется всегда в сторону увеличения, В данном случае б( — 2.3) = 0.03. Приведенные оценки погрешностей приближенных чисел справедливы, если и записи этих чисел все значащие цифры верные. Напомним, что значащими уафралси считаются все цпфры данного числа пачиная с первой ненулевой цифры. Например, в числе 0.037 две значащие цифры: 3 и 7, а в числе 14.80 все четыре цифры знача' щпе. Кроме того, при изменении формы записи числа (например, прп записи в форме с плавающей точкой) число значащих цифр не должно меняться, т, е. нужно соблюдать равносильность преобразований. Например, записи 7500 = 0.7500 10" и 0.1'10 10' = 11.0 равносильные, а записи 7500 = 0,75 ° 10' и 0.110 ° 10'- = 11 неравно сильные.
3, Действия над приближенными числами. Сформулируем правила оценки предельных погрешностей при выполнении операцнй пад приближеннымп чпсламп. При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складыва1отся. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение. о $.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА При умножении или делении чисел друг па друга нх относительные погрешности складываются. При возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени. Для случая двух приближенных чисел а н Ь зги пра= вила можно записать в виде формул: Л(а ~ Ь) = Ла+ ЛЬ, 6(а Ь)=ба+ 6Ь, (1 1) 6 (а/Ь) = 6а + 6Ь, 6 (а") = 1сба, П р им ер 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
