Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987), страница 12

Предпочтение обычно отдастся наиболее простым формулам, ооладающим достаточной точностью. Они первоначально выбираются из геометрических соображений: эксперимен- тальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графпкамп известных функций (много- р=ах+Ь.

(2.56) Близость экспериментального распределения точек к линейной зависимости легко просматривается после построения графика данной экспериментальной зависимости. Броме того, эту зависпмость можно проверить путем члена, показательной или логарифмической функций и т. п.). Успех здесь в значительной мере определяется опытом и интуицией исследователя. Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость 8 4. ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ 07 вычисления значений 1~;. ~;=Ау/Лх;, Лу;=у,,— у,; Лх,=х+,— х, 4=0,1,..., и — 1, Если при этом Уг;=сопз1, то точки (х;, у,) расположены приблизительно на одной прямой, и может быть поставлен вопрос о применимости эмпирической формулы (2.56).

Точность такой аппроксимации определяется отклонением величин й, от постоянного значения. В частном случае равноотстоящих точек х; (т. е. 6х~ = сопз1) достаточно проверить постоянство разностей Лу;, П р и м е р. Проверим возможность использования линейной зависимости для описания следующих данных: 0 0.5 1,0 1.5 2.0 2.5 у 1.17 1.81 2.50 3.15 3.70 4.44 Поскольку здесь х, — равноотстоящие точки (Лх, = =х;+, — х;= 0.5), то достаточно вычислить разности Лу;: 0,64, 0.69, 0.65., 0.64, 0.65. Так как эти значения близки друг к другу, то в качестве эмпирической формулы можно принять линейную зависимость. В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены и другие экспериментальные данные, когда их график в декартовой системе координат не является прямой линией.

Это мо;кет быть достигнуто путем введения новых переменных $, т1 вместо х, у: ~ = ~р(х, у), т1 ф(х, у), (2.57) Функции гр(х, у) и ~(х, у)' выбираются такими, чтобы точки (-;, т1,) лежали на некоторой прямой линии в плоскости (~, т~), Такое преобразование называется выравниванием данных. Для получения линейной зависимости т1 =а$+Ь с помощью преобразования (2.57) исходная формула должна быть записана в виде тр(х, у) = аср(х, у)+ Ь.

К такому виду легко сводится, например, степенная зависимость у ах' (х~О, у) О). Логарифмнруя эту формулу, получаем 1д у = Ь 1я х + 1д а. Полагая $ = 1д х, т~ = -1яу, находим линейную связь; т1 = Р+ с (с=1да), Гл. 2. Аппгоксимлция Функции Другой простейшей эмпирической формулой является квадратный трехчлен у = ах'+ ох+ с. Возможность использования этой формулы для случая равноотстоящих точек х; можно проверить путем вычисления вторых разностей Л'у; = у;+, — 2у;+ у,, При Ь'у, = = сопз1 в качестве эмпирической формулы может быть выбрана (2.58).

3. Определение параметров эмпирической зависимости. Будем считать, что тпп эмпирической формулы выбран и ее можно представить в виде у = (р(х, а„а.„..., а„), (2.59) где д — известная функция, а„а„..., а — неизвестные постоянные параметры. Задача состоит в том, чтобы определить такие значения этих параметров, при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение данной функции, значения которой в точках х; равны у; (~=0, 1, ..., и). Как уже отмечалось выше, здесь не ставится условие (как в. случае интерполяции) совпадения опытных данных у~ со значениями эмпирической функции (2.59) в точках х;. Разность между этими значениями (отклонения) обозначим через е,.

Тогда е; = ср (х;, а„а„..., а ) — у„ю = О, 1, ..., п. (2.60) Задача нахождения наилучших значений параметров а„, а„..., а сводится к некоторой минимизации отклонений е;. Существует несколько способов решения атой задачи. Простейшим из них является л~етод выбранных точек. Он состоит в следующем. По заданным экспериментальным значениям на координатной плоскости ОХК наносится система точек. Затем проводится простейшая плавная линия (например, прямая), которая наиболее близко примыкает к данным точкам. На этой линии выбираются точки, которые, вообще говоря, не принадлежат исходной системе точек.

Число выбранных точек должно быть равным количеству искомых параметров эмпирической зависимости. Координаты этих точек (хо, у~) тщательно измеряются и используются для записи условия прохождения графика эмпирической функции (2,59) через выбранные точки; ср(х„а~,а1,...,а ) = уо, у -- 0,1...т, (2,61) и ~, подпои эмппрпчгских ьорьюл Из этой системы уравнений находим значения параметров а„а„..., а . В частности, если в качестве эмпирической формулы принята линейная зависимость у = ах+ Ь, то на этой прямой выбираются точки (х'„у1) и (х".„у'.,), и уравнения (2.61) примут вид ах,+Ь=У1, о о (2.62) ах,+Ь=у,. о о Можно также записать уравнение прямой, проходящей через эти выбранные точки. В этом случае не нужно реш а ть систему (2.62) .

Рассмотрим еще один способ определения параметров эмпирической формулы — метод средних. Он состопт в том, что параметры а,, а„..., а„зависимости (2.59) определяются с использованием условия равенства нулю суммы отклонений (2,60) во всех точках х,: и и ,~~ е; =,~, '[гр(х;, а„а1, ..., а ) — у,| = О. (2.63) ев+ ев+ ев — О, ев+ ей+ ев+ ев = О, (2.64) е.-в + еи = О. Решая эту систему уравнений, можно найти неизвестные параметры.

П р и м е р. Тело, движущееся прямолинейно с неизвестной скоростью по, в момент времени ~ =О начинает тормозить. Измерялось расстояние х от начала торможения в следующие моменты времени 1: 0 5 10 15 20 25 й, с 0 106 182 234 261 275 ж, и Считая движение тела равнозамедленным с постоянным Полученное уравнение служит для определения параметров а„а„..., а .

Ясно, что из одного уравнения нельзя однозначно определить все т+ 1 параметров. Однако, поскольку других условий нет, равенство (2.63) путем группировки отклонений е; разбивается на систему, состоящую из т+ 1 уравнений. Например, Гл. 2. АппРокспмАппя Функций 70 замедлением а, найти приближенные значения параметров и, иа. Р е ш е н и е. Искомые параметры могут быть найдены из уравнения движения тела, которое представим с помощью эмпирической формулы, используя результаты измерений. Вид эмпирической формулы в данном случае известен из физических соображений — при равнозамедленном движении тела пройденное расстояние является квадратичной функцией времени: х = А~'+ В~+ С.

Легко установить, что С= О, поскольку х =0 при 8 =0. Эмпирическая формула принимает вид ж = АР+ ВГ, (2.65) Запишем вместо этого уравнения систему двух уравнений путем его расщепления: е~ + еа + ез = О, , +, = О. Используя выражение (2.65) и табличные данные, получаем (А 5'+В 5 — 106)+(А 10'+В 10 — 182)+ +(А 15'+В 15 — 234)=0, (А 20'+ В 20 — 261)+ (А 25'+ В 25 — 275) = О. Или окончательно 175А + 15В = 261, 1025А + 45В = 536.

Решая эту систему уравнений, находим А = — 0.30, В = 39.07. Следовательно, эмпирическую формулу (2.65), которая дает приближенную связь между пройденным расстоянием и временем, можно записать в виде з —.0.30Р + 39.07~. Для определения параметров А, В нужно получить -два уравнения. Воспользуемся методом средних и запишем уравнение (2,63) для всех точек (кроме начальной): е1+ е2+ ея+ е~+ еь = О.

$ 4. ПОДБОР ЭЫПИРИЧЕСКИХ ФОРЗГУЛ Сравнивая это уравнение с уравнением х = ас'/2+ Р,с, получаем оценки для среднего ускорения тела и его начальной скорости: а = 2А = — 0,60 м/с', сг, = В = 39.07 м/с. Рассмотренные методы определения параметров эмпирической формулы являются сравнительно простыми, однако в ряде случаев получаемые с пх помощью аппроксимации не обладают достаточной точностью. 4. Метод наименьших квадратов.

Запишем сумму квадратов отклонений (2.60) для всех точек х„х„..., х„: 5 = ~ е; = ~~~~ (ср (х;, ао, а1... а,„) — у;]'. (2.66) г=о Параметры а„а,„..., а эмпирической формулы (2.59) будем находить из условия минимума функции Я = -Я(ао, аг, ..., а,.). В этом состоит лсетод наименьших квадратов. В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны, если отклонения е, подчиняются нормальному закону распределения.

Поскольку здесь параметры а„а„..., а„выступают в роли независимых переменных функции Я, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные -по этим переменным: Щ дЯ дЯ да -' да ' ' ' 'гда,„ (2.67) Полученные соотношения — система уравнений для определения а„а„..., а . Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике.

В качестве эмпирической функции рассмотрим мно- гочлен сг (х) = а, + агх +... + а,„х". (2.68) Я = ~~ (ао + а1х, + ... + агггхг' — уД',, (2.69) с=о Формула (2.66) для определения суммы квадратов откло- нений О' примет вид 72 Для составления с~сне~~ уравнений (2.67) Найдем частные производные функции о = 5(а„а„..., а„): д,У т да — = 2 ~' (а + а1х, + ...

+ а„,х; — у,), о г=о д —— 2,~~(ао+ а,х;+ ... + а„,х1 — У1)х;. а — о Приравнивая этн выражения нулю в соответствии с уравнениями (2.67) и собирая коэффициенты при неизвестных а„а„, .'г, а, получаем следующую систему уравнении: + аи,,~", х, Х~ т+1 +а„,~х, 1=-0 ао с~~ х~ +а1 Х х' +ао ~~ х; +...

+а„~~~, х,. = ~~~ х™у, |=о Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты а„а„..., а„многочлена (2.68), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы. Систему (2.70) можно записать в более компактном виде: Ь„а,+Ь„а,+...+Ь,„„а =с,, Ь|оа, + Ь,,а., +... + Ь„„а„= с„ (2.71) с =~ х",у,, Л,7=0,1,...,~п. (2.72) П р и м е р.