Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987), страница 13

Используя метод панис ныппх квадратов, вывести эмпирическую формулу для функции у = ~(х), Гл. 2, лппРОксимлция ФункциЙ дЯ уи — = 2 ~ (ао + а,х,. + ... + а х; — У;) х;, 1=- О (и + 1) а, + а,,'~, х; + а,,'~,' х', + ''=о ' ',=о и и ао,~~ х; + а, ~ х', + ао,'~', х~ ~ Ь,„,а,+ Ь„,~а„+... + Ь „,а =с,„; 2~ У1 1== о и ~„х,у;, 4=0 (2.70) 73 5 4. ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ заданной в табличном виде: х 0.75 1.50 2.25 3.00 3.75 у 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28 Решен и е. Если изобразить данные таоличные значения на графике (рис. 10), то легко убедиться, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции у = ~(х) можно принять параболу, т.

е. квадратный трех- член: у = гр (х) = а, + а,х+ а,х'. (2.73) В данном случае имеем т = 2, и = 4, и система уравнений (2.71) примет вид Ь„а, + Ь„а, + Ь„а, = с„ Ь„а, + Ь„а, + Ь„а, = с„(2 74) Ь20аО + Ь11а1 + Ь22а~ с~ Рис, 10 Коэффициенты этой системы могут быть вычислены по формулам (2.72), где 4 = О, 1, 2, 3, 41 Ь„=5, Ьц, — —,'~', х4 = 0.75 + 1.50 + 2.25 + 3.00 + 3.75 = 11.25, ЪО2 = ~', х'; = 0.75' + 1.50' + 2.25' + 3.00' + 3.75' = 30.94,. Ь„=,'~', х; = 11.25, Ь„= 2'„х', = 30.94,. Ь„= .5', хз = 94 92 Ь.„= '~~~ х', = 30.9-~, Ь,, = ~ х', = 94,92,.

Ь,:, =,~~х', = 309.76, со = ~~~ У = 2 50 + 1 20 + 1 12 + 2 25 +4 28=11 35 с =,5', х;у; = 29.00, с., =,~~х";у; = 90.21. Система уравнений (2,74) запишется в виде 5а, + 11,25а, + 30,94а.. = 11.35, 11.25а, + 30.94а, + 94.92а, = 29.00, 30.94а, + 94.92а, + 309.76а~ = 90.2'1. ГЛ. 2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 7/ Отсюда находим значения параметров эмпирической формулы: а, = 5.54, а, = — 4.73, а, = 1.19. Таким образом, получаем следующую аппроксимацию функции, заданной в табличном виде: у = 5.54 — 4.73х+ 1.19х'. (2.75) Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках, т.

е. найдем значения ~(,) —; 1 "1 у1 Результаты вычислений представим в виде таблицы 0.064 — 0.067 — 0.170 — 0.084 0.061 016 — 0.68 — 020 — 0.19 0.26 0.75 1.50 2.25 з.оо 3.75 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28 2. 66 1.'12 0.92 2.06 4.54 На рис. 10 построен график найденной эмпирической формулы. Точками, как уже отмечалось, нанесены заданные табличные значения функции.

3 а м е ч а н и е. Как видно из рассмотренного примера, некоторые коэффициенты системы (2.74) равны: Ь„= Ь„, Ь„= Ь„= Ь,„Ь„= Ь„, Из формул (2.72) нетрудно увидеть, что равны все коэффициенты Ь„при Ь+1= сопз1. 5. Локальное сглаживание данных. Как отмечалось в п. 1, опытные данные содержат случайные ошибки, что является причиной разброса этих данных.

Во многих случаях бывает целесообразно провести их сглаживание для получения более плавного характера исследуемой зависимости. Существуют различные способы сглаживания. Рассмотрим один из них, основанный на методе наименьших квадратов. Пусть в результате экспериментального исследования зависимости у = 7'(х) получена таблица значений искомой функции у„ у„ ..., у„ в точках х„ х„ ..., х„.

Значе-. ния аргумента х, предполагаются равноотстоящими, а опытные данные у< — имеющими одинаковую точность. Предполагается также, что функция у 7(х) на произ- $4. ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ 75 вольной части отрезка ~х„х.1 может быть достаточно хорошо аппроксимирована многочленом некоторой степени т, Рассматриваемый способ сглаживания состоит в следующем, Для нахождения сглаженного значения у» в точке х» выбираем по обе стороны от нее Й значений аргумента из имеющихся в таблице (Й четное): г» з»,... , г»-», х», х» „..., х»+„,.

По опытным значениям рассматриваемой функции в этих точках у»»,д, ..., у»», у;, у;+», ..., у»+~„строим многочлен степени т с помощью метода наименьших квадратов (прп этом т < Й). Значение полученного многочлена у» в точке х» и будет искомым (сглаженным) значением. Процесс повторяется для всех внутренних точек.

Сглаживание значений, располо-, женных вблизи концов отрезка ~г„х„~, производится с помощью крайних точек, Опыт показывает, что,сглаженные значения У„как правило, с достаточной степенью точности близки к истинным значениям. Иногда сглаживание повторяют. Однако это может привести к существенному иска;кению истинного характера рассматриваемой функциональной зависимости. Приведем в заключение несколько формул для вычисления сглаженных значений опытных данных прп различных пг, Й: 1 З (У' ' + У1 + 1 У1 ~ (У»-з + У~-г + У» + У;+1+ У,+з), Й = 4, 1 .

У» = 7 (У»-з + У»-з + У1-г + Уз + У +1 + У»+з + У;~з)» Й =6; т= 3 у; = — ( — Зу~ з + 12У, г+ 17У;+ 12У;, — Зу;+з),. Й = 4, 1 У1 = 21( — 2У1-з + ЗУ»-з + 6У -г + 7У + 6У'+1 + + ЗУ;+з — 2У;+з), Й = 6, — ( — 21У; з + 14У» з + З6У;, + 54У1 1 + 56У; + .~- 54у;+1+ ЗОУ,+, + 14У1~з — ' 21У,+,), Й = 8; Гл. 2. АппРОБсизтАиия Фъ'нкиий 76 пх = о'. у, = —,' (5у~ з — 3()у„а + йу; д + 131у, + 75у;+д— — Юу;+з+Ъу; з), й =6, = 42 (15у~ — 4 55у; з + ЗОу1 з+ 135уг д + 179у; + + 135у;~д+ 30у;~., — '55уг з+ 15у,+,), й =8.

Упражнения 1. Составить блок-схему алгоритмов вычислений с помощью разложений в ряды значений функций: а) у = сов х; о) у = е-*; в) у = з)д х; г) у = ~1+ х. 2. Преобразовать данные многочлены в многочлены третьей степени: а) Р(х) = х5 — Зх4+ 4; б) Р(х) = х4+ 5хз — 1. Оценить допущенные погрешности.' 3. Записать по схеме Горнера алгоритм вычислепия первых пяти членов степенных рядов при разложении функций: а) у = = з(пх; о) е = с)дх. 4. Используя цепные дроби, вычислить значения: а) 1п 2; б) $8' (я!8); в) е'', г) агс!80.5. 5. Дана таблица значений функции х 0 02 04 06 у 1.763 1.917 2,143 2.362 а) С помощью линейной и квадратичной интерполяций найти приближенное значение функцйи при х = 0,25. б) Вычислить, при каком значении аргумента справедливо равенство у = 2.000. 6.

Составить блок-схему алгоритма вычисления функции с помощью квадратичной интерполяции. 7, Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей в упр. 5. 8. Вычислить значение функции, заданной в упр. 5, при х = 0.1, используя интерполяциопныи мпогочлсн Ньютона. Оценить погрешность результата. 9. Найти величину ускорения при равноускоренном движении тела, если известны значения пройденного им пути о' в некоторые моменты времени ~: 5 10 15 20 25 г, с 0 150 .560. 1200 21ЮО 3300 Ь, и 5 Ъ'ПРАЖНЕНИЯ 77 500 750 1000 1250 1500 Т, 'С Е, мВ 3.23 4.52 5.71 10.17 18.49 Найти приближенную зависимость Е~Т) в виде квадратного трех- члена. 10. Закон Гука можно записать в виде о = Ее, где о — напряжение, Š— модуль упругости, е — относительная деформация. При испытаниях образца произвели и измерений значений о и е.

Написать алгоритм и составить блок-схему вычисления параметра Е. 11. Изучается зависимость между электродвижущей силой Е и температурой нагревания Т термопары. Данные измерений приведены в следующей таблице: ГЛАВА 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ П ИНТЕГРИРОВАНИЕ 5 1. Численное дифференцирование 1.

Аппроксимация производных. Напомним, что производной функции у=~(х) называется предел отношения приращения функции Лу к приращению аргумента Лх при стремлении Лх к нулю'. у' = Г'(х) = 11 —,, Лу = 1(х+ Лх) — /(х). (3.1) ь„- .о ЛХ' Обычно для вычисления производных используют готовые формулы (таблицу производных) и к выражению (3.1) не прибегают. Однако в численных расчетах на ЭВМ использование этих формул не всегда удобно и возможно, В частности, функция у = ~(х) может быть задана в виде таблицы значений. В таких случаях производную находят, опираясь на формулу (3.1). Значерпо шага Лх полагают равным некоторому конечному числу и для вычисления значения производной получают приближенное равенство у ж Лу/Лх (3,2) Лу, =у,— у„Лх= Ь, у, = ' '' (33) Это соотношение называется аппроксимаиией (приближением) производной с по.чои~ью отношения конечнь~х разностей (значения Лу, Лх в формуле (3.2) конечные в отличие от их бесконечно малых значений в (3.1)).

Рассмотрим аппроксимацию производной для функции у = ~(х), заданной в табличном виде: у„у„... прп х = х„х„... Пусть шаг — разность между соседнимп значениями аргумента — постоянный и равен Ь. Запишем выражения для производной у, при х=х,. В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаем разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке; 5 П ЧПСЛЕШ1ОЕ ДПФФЕРЕПЦИРОВХПИЕ с помощью левых разностей; р г Лу,=у,— У„Лх=й, у,— '„' (34) с помощью правых рагностей; р у — у Лу =у — у, Лх=2й, у ~ 2, " (35) с помощью центральных рагностей, Можно найти также выражения для старших Произ- водных.

Например, ( 2 1')1 ( 1 ~)! У1 = (У1) "2 "с+ ~о (3 6) 2 й Таким образом, по формуле (3.2) можно найти приближенные значения производных любого порядка. Однако при этом остается открытым вопрос о точности полученных значений. Кроме того, как будет показано ниже, для хорошей аппроксимации производной нужно использовать значения функции во многих узлах, а в формуле (3.2) это не предусмотрено.

2. Погрешность численного дифференцирования. Аппроксимируем функцию ~(х) некоторой функцией ср(х), т. е. представим ее в виде ' (3.7) ~(х) = цз(х)+ п(х). В качестве приближенного значения производной порядка Й функции ~(х) можно принять соответствующее значение производнОй функции ср (х), т. е. ~но(х) ~ ср'"'(х). В качестве аппроксимирующей функции ср(х) можно принять частичную сумму ряда или интерполяционную функцию. Тогда погресаность аппроксилации гс(х) определяется остаточным членом ряда или пнтерполяционной формулы. Аппроксимирующая функция ср (х)' мо'кет быть использована также.

для приближенного вычисления производной функции ~(х) . Дифференцируя равенство (3.7) неооходнмое число раз, можно найти значения производных ~'(х), ~" (х), ...: ~'(х) = сг'(х)+ Л'(х), ~" (х)' ср" (х)+ В" (х)...—, гл, з. ди~энрннцпров ~~~и и инткггигов,анин Величина Л"' (х) = ~'"' (х) — с~'" (х), характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называется погрешностью аппроксимации производной. При численном дифференцировании функции, заданной в виде таблицы с шагом Ь, эта погрешность зависит от Ь, и ее записывают в виде О(Ь').