Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987), страница 11

Предположпм, что заданные числа у, являются значенпямп некоторой функцпп у = ~(х) в точках х = х... Пусть эта функция непрерывна и пмеет непрерывные производные до и+ д-го порядка включительно. Можно показать, что в этом случае остаточный член пнтерполяцпонного многочлена Лагранжа пмеет впд Здесь г~"~'~(х ) — производная и+ 1-го порядка функции ~(х) в некоторой точкех =х,, х~~ ~х„, х„~. Если максимальное зпаченпе этой производной равно шах 1уо' '> (х) ~ = ЛХ +д то лгогкно заппсать формулу для оценки остаточного члена; (х — х ) (~ — хд) ... (ю — ~„') ~ дь (х)~ ~ ~о д ''' » у + ,Остаточный член пнтерполяцпонного многочлена Ньютона можно записать в виде д з.

иптггполпровлппк Если предположить, что разность Л"+'д„ постоянна, то ъхожно записать следующую формулу остаточного члена первой интерполяционной формулы Ньютона: Л () — '" "" " "' д"+' (253) (л + 1)! Следует еще раз подчеркнуть, что существует один и только один пнтерполяцпонный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона п другие порождают один и тот же многочлеп (при условии, что вычисления проводятся точно).

Разница лишь в алгоритме пх построения, Правда, интерполяционпый мпогочлен Лагранжа не содержит явных выражений для коэффициентов. Выбор спосооа интерполяции определяется различнымн соображениями: точностью, временем вычислений, погреппгостямн округлений и др. В некоторых случаях более предпочтительной мон;ет оказаться локальпая интерполяция, в то время как построение единого много- члена высокой степени (глобальная интерполяция) не приводит к успеху. Такого рода ситуацию в 1901 г. оопаружил К. Рунге, Он строил на отрезке — 1 ( х ( 1 интерполяциониые ъ~ногочлепь с равномерным распределением узлов для функции р = 1/(1 + 25х'). Оказалось, что прп увеличении степени интерполяционного многочлена последовательность его значений расходится для любой фиксироваппоп точки х при 0.7 ( !к~ ( 1, Положение в некоторых случаях может быть исправлено специальным распределением узлов интерполяции (еслп они не зафиксированы).

Доказано, что если функция Дх) имеет непрерывную производную на отрезке ~ — ), Ц, то прп выборе значений х;, совпадающих с корпямп мпогочленов Чебышева степени и+1, интерполяцпонные многочлены степени и сходятся к значениям функции в любой точке этого отрезка. Таким образом, повышение точности интерполяции целесообразно производить за счет уменыпения шага и специального расположения точек т;, Повышеппе степени интерполяционного многочлепа при локальной интерполяции также уменынает погрешность, однако здесь не всегда ясно поведение производной ~'"+" (х) при увеличении и.

Поэтому на практике стараются использовать многочлены малой степени (линейную и квадратичную интерполяции, сплайны), гл, 2. АппРоеснзгАпня Функции 6. О других формулах интерполяции. Ранее уже упоминалась одна из модификаций многочлеиа Лагранжа— интерполяционный многочлеи Эрмита. При построении этого многочлена требуется, чтобы в узлах х, совпадали с табличными даннымп не только его значения, но и их производные до некоторого порядка.

В общем случае выражение для многочлена Эрмита очень громоздко, и пользоваться им на практике трудно. Поэтому ограничиваются лишь некоторыми простейшими случаями. Например, мпогочлеи Эрмита, который сохраняет в двух точках (х = х„х,) значения заданной функции у = ~(х) и ее первой производной у = ~'(х), имеет вид х — х .Л(х) = Уо+(х — хо) Уо+ о г у —. х — х, гг, у — у о о Иногда при выводе пнтерполяционных формул удобнее.

использовать не односторонние разности, как для миогочлена Ньютона, а центральные. На этом основаны интерполяцпопные формулы Стирлппга и Бесселя. Они могут быть получены путем преобразования формулы Ньютона. Рассмотрим интерполирование функций специального вида, а именно периодгг гескггх функций. Для функции с периодом 2я можно построить пнтерполяцпоппуго формулу по аналогии с формулой Лагранжа: агп (х — х,) яп (х — х )... Йп (х — х„) Г(х) †. ', ' .

" у+ агп (х„— х ) яп (х — х,) ... огп (х — х„,) огп (х — х ) яп (х — х,) ... агп (х — хо) згп (х — х ) яп (х — х, )... агп (х — х ) яп (х — х ) агп (х — х ) ... огг1 (х — х„) ( и о) ( и 1) ( и и — 1) Лп 7. Функции двух переменных. До сих пор мы рассматривали интерполирование функций одной независимой переменной у =)(х). На практике возникает также необходимость построения иптерполяцио нных формул для функций нескольких переменных. Для простоты ограничимся функцией двух переменных в = ~(х, у).

Пусть ее значения заданы на множестве равноотстоящих узлов Гл. 2, АппРоксимлция Функции о — 3 1 о 4 2 1 о 2 4 о 2 о — 3 1 о 4 Π— 3 1 = 14, Ч'аким образом, ~ = — (2х — 14у)/20, или а — 0.1х+0.7д. Это и есть формула линейной интерполяции для данного примера. При х = 1, у = 0 получим з = — 0Л. 5 4. Подбор эмпирических формул 1. Характер опытных данных. Прп интерполировании функций мы использовали условие равенства значений интерполяционного мпогочлена п данной фупкцпп в известных точках — узлах интерполяции.

Зто пред.ьявляет высокие требования и точпостп данных значений функции. В случае обработки опытных данных, полученных в, результате наблюдений плп измерений, нужно иметь в виду ошибки этих данных. Опи могут быть вызваны несовершенством измерительного прибора, субъективными прнчннамп, различными случайными фактораъги и т.

д. Ошибки экспериментальных данных можно условно разбить на трп категории по пх пропсхожденгпо и величине: систематические, случайные и грубьш, Систематические ошибки обычно дают отклонение В одну сторону от истинного значения пзыеряемой величины. Они могут быть постоянными или закономерно изменяться при повторении опыта, и их причина и характер известны. Систематические ошибки могут быть вызваны условиями эксперимента (вла'кпостыо, температурой среды и др.), дефектом измерительного прибора, его плохой регулировкой (например, смещением указательной стрелки от нулевого положения) и т.

д. Втн ошибки можно устранить наладкой аппаратуры или введением соответствующих поправок. Случайные ошибки определяются болыппм числом факторов, которые не могут быть устранены либо достаточно точно учтены при измерениях или при обработкв П р и и е р. Вычислить приближенное значение функции ~ = 7'(х, у) в точке (1, О), если известны ее значения 2, = ~(0, О) = О, з, = ~(2, 4) = — 3, х, = ~(-~, — 2) = 1.

Воспользуемся формулой линейной интерполяции -(2.54) . Вычислим значения определителей ф 4, ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМЪ'Л 65 результатов. Они имеют случайный (несистематический) характер, дают отклонения от средней величины. в ту и другую стороны при повторении измерений и не могут быть устранены в эксперименте, как бы тщательно он ни проводился. С вероятностной точки зрения математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. Статистическая обработка экспериментальных данных позволяет определить величину случайной ошибки и довести ее до некоторого приемлемого значения повторением измерений достаточное число раз. Грубые ошибки явно искажают результат измерения; Они чрезмерно большие и обычно пропадают при повторении опыта. Грубые ошибки существенно выходят за пределы случайной ошибки, полученные при статистической обработке. Измерения с такпмп ошибками отбрасываются и в расчет при окончательной обработке результатов нзмеренпй не принимаются.

Таким образом, в экспериментальных данных всегда пмеются случайные ошибки. Опи, вообще говоря, могут быть уменьшены до сколь угодно малой величины путем ъпюгократного повторения опыта. Однако это не всегда целесообразно, поскольку могут потребоваться большие материальные плп временные ресурсы. Значительно дешевле и быстрее можно в ряде случаев получить уточненные данные хорошей математической обработкой имеющихся результатов измерений. В частности, с помощью статистической обработки результатов измерений можно найти закон распределения ошибок измерений, наиболее вероятный диапазон изменения искомой величины (доверительный интервал) и другие параметры.

Рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данного пособия; их излоркение можно найти в некоторых книгах, приведенных в списке литературы. Здесь ограничимся лишь определением связи между исходным параметром х и искомой величиной у на основании результатов измерений. 2. Эмпирические формулы. Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между р и х, мы в результате серии экспериментов произвели ряд пзмерений этих величин и получилц таб:пщу значеннй Рр 5 л. и. Ттрчак гл. 2. Аппгоксимлция Функций Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зави- симость и-Л ), (2.55) значения которой при х =х, (~ = О, 1, ..., п) мачо отличаются от опытных данных у;. Приближенная функциональная зависимость (2.55), полученная на основании экспериментальных данных, называется злпирической фор.чулой.

В ~ 1 отмечалось, что задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости, вообще говоря, не проходит через заданные точки (х;, у,), как в случае интерполяции. Зто приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а пнтерполяцпонная формула повторила бы все ошибки, имеющиеся в экспериментальных данных. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: подбора общего вида этой формулы и определения наилучших значений содержащихся в ней параметров. Оощпй вид формулы иногда известен из физических соображений. Например, для упругой среды связь между напряжением о и относительной деформацией е определяется законом Гука: о = Ее, где Š— модуль упругости; ;адача сводится к определению одного неизвестного параметра Е. Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы может быть произвольным.