Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987), страница 10

Окончательно получим следующую систему уравнений только для коэффициентов с;: с, = О, с„+, = О, Ь; 1с; 1 + 2 (Й; 1 + Й;) с; + И,с;+1 —— 3 У' У'- У'- "- , ~ = 2, 3, „ „ и (2.37) 1-1 Матрица этой системы трехдиагональная, т. е. ненулевые элементы находятся лишь на главной и двух соседш1х с ней диагоналях, расположенных сверху и снизу. Для ее решения целесообразно использовать метод прогонки (см.

гл. 4). По найденным пз системы (2.37) коэффициентам с, легко вычислить коэффициенты А, Ь;, 3. Многочлен Лагранжа. Перейдем к случаю глобальной интерполяции, т. е. построению пнтерполяцпонного многочлепа, единого для всего отрезка ~хгг, х„1. Прп этом, естественно, график иптерполяцпопного многочлена должен проходить через все заданныо точки, Запишем искомый многочлен в виде гр(х) = а, + а,х+...+ а„х". - (2.38) Из условий равенства значений этого многочлепа в узлах х; соответствующим заданным табличным значениям рг получим следующую систему уравнений для нахожде- гл.

а Аппроксимлппя ы'нкпии 54 ния коэффициентов а„а„..., а„: ао + а1хо + ° ° ° + анхо = уо в ао+ а,х1+ ... + а„х1 — — у1, ° Ф Ф ° ° ° ° й ° ° ° $ ° ао + а,х„ + ... + а,х„" = у„. (2.39) Подставляя в (2.40) выражения (2.41), (2.42), находим (х — х ) ... (х — х,. ) (х — х,.+ ) ... (х — х„) Л (х) И) ~у; (2.43~ Можно показать, что зта система имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпадающих, т.

е. если х<Фх, прн ~ ~ у. Решив зту систему, найдем коэффициенты интер поляцпо нного многочле на (2.38). Заметим вместе с тем, что такой путь построения интерполяцпонного многочлена. требует значительного объема вычислений, особенно при большом числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционных многочленов. Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени и: Ь(х) = у,~,(х)+ у,~,(х)+...+ у„~„(х).

(2.40) При этом потребуем, чтобы каждый 'многочлен 1;(х) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного (~-го), где он должен равняться единице. Легко проверить, что этим условиям отвечает много- член вида (х — х)(х — х )" (х — х') (х — х )(х — х ) ...

(х — х„) Действительно, 7, (х,) = 1 при х = х.. При х = х„ к„..., х„числитель выражения (2.41) обращается в нуль. По аналогии с (2.41) получим ( 0)( 2) '''( ) 1, (х)— (х — х)(х — х )...(х — х )' (' хв)(х '1)('-'з)" ( -хи) ( --)(--.)( --) (--.) ) е ° ° (х — х)...(х — х. )(х — х, ) ...(х--х„) % 3, пнтеРполпРОРАнпн Эта формула называется интерполяггггонньт лгногочленол Лагранжа. Покажем, что этот многочлен является единственным, Допустпм противоположное: пусть существует еще один многочлен Е(х) степени и, принимающий в узлах ннтерполяцпп заданные зпаченпя, т.

е. Г (хг) = у;. Тогда разность Л(х) = Ь(х) — Г(х), являющаяся многочленом степенн и (плп нпже), в узлах х; равпа В(хг) = Е(х;) — Г(х,) = О, 8 = О, 1, ..., и. Это означает, что многочлен Л(х) степени не больше и имеет и + 1 корней, Отсюда следует, что В (х) =- 0 н Г(х) = Е(х), Из формулы (2.43) можно получить выражения для лпнейной (и = 1) и квадратичной (и = 2) интерполяций: о 1 *1 хо (х — х )(х — х ) (х — х)(х — х) (х — х)(х — х ) о (х — х)(х — х ) о (х — х )(х — х ) (х х)(х — х ) Существует несколько обоощеннй ннтерполяцпонного многочлена Лагранжа. Например, довольно широко нспользуются г~нтерполяггионные иногочлены Эрмита, Здесь наряду со значениями функции у, в узлах х, задаются значения ее производной у;. Задача состоит в том, чтобы найти многочлен гр(х) степени 2и+ 1, значения которого н его производной в узлах х, удовлетворяют соответственно соотношенпям гр(хг) = у;, гр'(хг) = у;, 1 = О, 1...,, и, В этом случае также существует единственное решение, если все х, различны.

4, Многочлен Ньютона. До спх пор не делалось никаких предположений о законе распределения узлов ннтерполяцин...Теперь рассмотрпм случай равноотстоящих значенпй аргумента, т. е. х, — х; г = Ь = сопз1 (г =1, 2, ..., и). Величина Ь называется шаголг. Введем также понятие конечных рпзностегг. Пусть известны значения функции в узлах х;: у; = ~(х,). гл. х АппРси~сттмлтПтя Фгтп~ппи Составим разности значений функции: Ауа = у~ уо = 1(хо+ ь) у(хо)~ Ьу, = у, — у, — /(х, + 26) — ~(х, + Ь), Ау„, — — у, — у„, = У(х, + пег) — У(х, + (и — 1) й), Этп значенпя называются первыл~и разностяхи (или разностями первого порядка) функции. Можно составить вторые разности -функции: Аналогпчно составляются разности порядка 7г: Л'у;= Л" 'у;+~ — Л' 'у;, Е = О, 1,, и — 1.

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например, Л'у, = Лу,— Лу, =(у,— у,) — (у, — у,) = у,— 2У, +у„ ~ Уо = ~ У~ — ~ ун =. ° = Уз — ЗУ~+ Зу~ — Уо Аналогпчпо для люоого )с можно написать Л Уо= у~ — ~у~-1+ ., у~- + .. +( — 1) У, (2.44) Л (Ус -- 1) А Эту формулу можно записать и для значения разности в узле х,: лр — ~> й ~.у =У~и — ~уь-ы-1 +,, уь+; —. + ... +( — 1) у;, Используя конечные разности, можно определить у,~ уй = УО + ' УО + , 'уО + " + уО.

(2 45) Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде: Х(х) = а, + а,(х — х,) + а,(х — х,-) (х — х,) +... „,+ а„(х — х,) (х — х,)... (х — х„,). (2.46) График многочлена должен проходить через заданные узлы, т. е. У(х,~=у~ (~=О, 1, ..., и), Эти условия ис- $3. инткРполиРОВлние пользуем для нахождения коэффициентов многочлена; У (х0) ао — У00 % (х,) = а, + а, (х, — х,) = а, + а1(1 = у„ (~ (х2) а0 + а1 (х2 х0) + а2 (х2 хд) (х2 х1) = а, + 2и,11 + 2а262 = У2, Найдем отсюда коэффициенты а„а„а,: у — а у — у Лу 1 О, 1 О О 0 ' 01 1 у — и — '0а й у — у — 2~у 3 2 О 1 ' 2 О О ая 1( 2 > 2 2й Аналогично можно найти и другие коэффициенты.

Оощая формула имеет впд (~й, Подставляя этп выражения в формулу (2.46)', получаем следующий вид ннтерполяуионного многочлена Ньютона.: Лу„ Ьу Х (х) = у + —" (х — х ) + — О (х — хо) (х — х 1) + „, — о („о ~р ~р , ° . + — „" (х — х,) (х — х,)... (х — х„,). (2.47) 1йП Конечные разности Ь"у, могут быть вычислены по фор- муле (2.44).

Формулу (2,47) часто записывают в другом виде, Для этого вводится переменная ~ =(х — х0)/ь; тогда х — х1 х — хо — й х=х,+Ж, С учетом этих соотношений формулу (2.47) можно переписать в виде (хо+ ~~') = УО+ ~~уо+ ~» ~~УО+ ° ° ° ( (( — 1» ... (2 — и + 1», ГЛ. 2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Полученное выражение может аппрокспмпровать данную функцию р = ~(х) на всем отрезке изменения аргумента (х„х„~. Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов п уменьшения числа членов в (2.48)) ограничиться случаем ~(1, т.

е. Использовать формулу (2.48) для хо ~ х ~ хо Для других значений аргумента, например для х, ~ х ~ х„вместо х, лучше взять значение х,. Такпм образом, пнтерполяционный многочлеп Ньютона можно заппсать в впдо Х(х + Пг) = у + 1Лв + — '~ Л'у + Полученное выражение называется ггер выл и нтерполяционньюм многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

1Лнтврполяционную формулу (2.49) обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следуюгцпм. Разностп Л"у, вычисляются через значения функции В;, у;+о ..., у,+~, причем г+ Й ~ и; поэтому при больших значениях г мы не можем вычислить разностп высших порядков (й ~.гг — г), Например, при г = и — 3 в (2.49) можно учесть только Лу, Л'у и Л'ц. Для правой половины рассматриваемого отрезка разностп лучше вычислять справа налево.

В этом случае 8 =(х — х„,)/А, (2.50) т. е. Г ( О, и ннтерполяцноыный многочлен Ньютона мож- но получить в виде У(х +гй)=у ~-~Др + "О ' цЛ2у г (г+ ~) (г+ в — 'Х) ля Полученная формула называется вторым интерполяииопньгм мнозочденом Ньютона для интерполироваггил назад. Рассмотрим пример применения интерполяционпой формулы Ньютона при ручном счете. Прпмер. Вычислить в точках х=ОЛ, 0.9 значения функцпи у = ~(х), заданной табл. 1.

я я. ПнтеРлолпРон.1ний 59 — 0.0146 — 0.0139 — 0.0133 — 0.0128 0.0000 0.00()7 0.0006 0.0005 1.2715 2.4652 3.6443 4.8095 5.9614 7.1005 — 0.0001 — 0.0001 1 1937 1.1791 1.1652 1.15) 9 1.139( 0 0,2 0.4 0.6 0.8 1.0 из нижней.

Прп х = ОЛ имеем Е =- (х — х,) /Ь = = (0.1 — 0)/0.2 = 0.5. По формуле (2.48) получим ~ (О. 1) — Х (О. 1) = 1.2715 + 0.5 1.1937 + +""' ".( — 0 0146) +05" 5 """" " .О 0007+ 2) 3! 0.5(0.5 — 1) (0.5 — 2) ~0Л 3 ( 0.0001) = 4! = 1.27 15 + 0.59685 + 0.03182 + 0.00004 + 0.000004 =— = 1.8702. Для сравнения по формуле линейной интерполяции получаем Д0.1) -- 1.8684. Значение функции в точке х = 0.9 нужно вычислять по формуле (2.51). В атом случае имеем 1=(х — х„)/Ь = = (0.9 — 1) /0,2= — 0.5. Тогда ~ (0.9) — Х (0,9) = 7.1005 — 0.5 ° 1.1391— 0.5 ( — 0.5+ 1) 0.5 ( — 0.5 -~ 1) ( — 0,5 -'; О 0005 3$ 0.5 ( — 0.5 + 1) ( — 0.5 + 2) ( — 0.5 + 3) 4! ( 0.0001) = = 7.1005 — 0.5696 + 0,0016 — 0,00003 + 0.000004=-6.5325.

Ыы рассмотрели построение питерполяцпонпого многочлена Ньютона для равноотстоящих узлов, Можно Процесс вычислений удооно свести в ту же табл. Х. Каждая последующая конечная разность получается пу- тем вычитания в предыдущей колонке верхней строки Таблица 1 гоп гл. ". АгпгР01~спзглнпя Фунтгцпй построить многочлеп Ньютона и для пропзвольно расположенных узлов, как и в случае мпогочлена Лагранжа. Однако этот случай мы рассматривать не будем. В заключение отметим, что разные способы построенпя многочленов Лагранжа и Ньютона дают тождественные пятеро оляцпонные формульд прп заданной таблице значе~пй функции, Это следует пз единственности интерполяцпонного многочлена заданной степепп (прп отсутствпи совпадающих узлов пптерполяцпп).

5. Хочпость интерполяции. Графдгк ннгерполяцпонного иногочлена у = Г(х) проходит через заданные точки, т. е. значения многочлена и данной функции у = ~(х) совпадают в узлах х=х, (г =О, 1, ..., и). Если функцпя ~(х) сама является многочленом степенп и, то име.ет место тождественное совпадение: ~(х) = д'(х). В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции, .дд (х) = ~(х) — Г(х) Ф О. Эта разность есть погрешность интерполяции и называется остаточным членом интериолядгггонногг форзгулы. Оцеппм его значение.