Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994), страница 93

Действительно, даже сама по себе проблема решения системы 521 Пример 15.3. Рассмотрим краевую задачу 9'(х) = «(х), «'(х) = 1009 (х) + ех, 0 ~ х ~ 2, у (0) = О, «(2) = О. (15.114) (15.115) Как нетрудно проверить, ее решением является пара функций 9 (х) — с,еюх+ с ~-юх ех 99' ех «(х) — 10«1еюх 10 с«е-ю 99' где 10е"4 О + е-18 е-~о 1 10 — е 18 о« = — м 0.0101010. + е-40 Попробуем решить задачу (15.114), (15.115) методом пристрелки, используя 6-разрядную десятичную ЭВМ. Соответствующая задача Коши имеет вид у'(х, а) = «(х, а), «'(х, а) = 100у(х, а) + ех, 9 (О, а) = О, «(О, а) = а.

522 нелинейных уравнений (15.ПЗ) является весьма трудной. Серьезные затруднения могут возникнуть здесь уже на этапе выбора хорошего начального приближения «в~. Необходимо также учесть, что каждое вычисление вектор-функции ф (а) является здесь весьма трудоемкой операцией: оно предполагает (численное) решение задачи Коши (15.1П), (15.П2). Метод пристрелки достаточно эффективен в том случае, когда задача Коши (15.1П), (15.112) является хорошо обусловленной. Однако если задача Коши плохо обусловлена, то метод оказывается практически непригодным.

Дело в том, что при решении системы (15.113) значения пристрелочных параметров а обязательно будут найдены с некоторой погрешностью, (относительная величина которой не может иметь порядок, меньший чем машинное эпсилон ем). Соответствующее решение задачи Коши (в случае плохой обусловленности) в результате этой погрешности окажется полностью искаженным. Однако даже в том идеализированном случае, когда вектор а найден абсолютно точно, при численном решении задачи (15.П1), (15.П2) на ЭВМ в приближенное решение будут внесены ошибки, которые сделают его непригодным. Для некоторых систем эти ошибки могут приводить даже к аварийному останову вычислительного процесса.

Ее решением являются функции х(Х а) — + а Е10х+ а~ Е 10х 20 ~9 ~ 20 ~11 ~ 99 (15.116) «(х а) — ~ + а е10х а е-1Ох ех - 2 ~9 ~ 2 ~11 ~ 99 (15.117) Уравнение ф (а) = 0 (где ф (а) = «(2, а)) для определения пристрелочного параметра а является линейным. Позтому для определения а достаточно сделать одну итерацию метода секущих: 111 (а1)(а1 — ао) тт (а1) — 4 (ао) (15.118) Возьмем ао = О, а1 = -1. Тогда вычисления по формуле (15.117) на 6-разрядной десятичной ЭВМ дают значения. ф (ао) = «(2, 0) и 2.69536-10т, ф (а1) = «(2, -1) в -2.15629 10в, В соответствии с формулой (15.118) получается следующее значение пристрелочного параметра: а — 1 ' я а* = -1 + 0,888888 = -0.111112.

2 15629.10в( 1 0) 2 15629.10в 2 69536.10т Подстановка в формулы (15.116), (15.117) значения а = а приводит к приблюкенному решению 1 р (х) = с*е10х + с*е 1Ох ех 1 2 «~(х) = 10с~е10х — 10с е 10х — — ех. 1 г 99 Здесь с' = — ~ — + а *~ 1в — (0.111111 — 0.111112) = -5 ° 10 В, 20 ~9 ~ 20 с' = — ~ — — а '~ в1 — (0.0909091 + 0.111112) Я 0.0101011. 20 111 ~ 20 Тогда с1 — с,* в1 5 10 в, с2 — с2 я — 10 т.

Это означает, что ( ) я 5.10-в 1ох 10-т -1ох «(х) «(х) и 5. 10-те10х + 10-ве-10х 523 Наличие в погрешности компоненты, пропорциональной етох, приводит к тому, что при х = 2 погрешности решения достигают следующих величин: у (2)— — у*(2) я 24.3, (2) — «*(2) м 243. $15.6. Дополнительные замечания 1. В этой главе метод конечных разностей и метод конечных элементов рассматривались только лишь применительно к решению двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, Значительно более широкую область применения этих методов представляют собой различные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

Ограниченный объем книги не позволяет отразить здесь богатство существующих подходов и разнообразие используемых приемов. Тем, кто интересуется решением уравнений в частных производных с помощью метода конечных разностей, рекомендуем первоначально обратиться к учебникам [43], [60], [71], а затем — к книгам [ 54], [70]. Как доступное введение в метод конечных элементов, можно рекомендовать книги [3], [27], [57], [75]. В дальнейшем следует обратиться к [35], [36], [55], [73], [85].

2. Так как мы рассматривали краевые задачи только для обыкновенных дифференциальных уравнений, то тем самым фактически лишили себя возможности обсуждать достоинства и недостатки метода конечных разностей и метода конечных элементов в их сравнении между собой. Ограничимся лишь констатацией того, что для решения дифференциальных уравнений существуют два мощных метода, каждый из которых не обладает, вообще говоря, безусловным преимуществом над другим. Тем не менее отметим, что нередко наиболее эффективными оказываются именно те приближенные методы, которые сочетают в себе достоинства обоих методов.

3. При математическом моделировании различных физических явлений часто приходится решать краевые задачи, в которых дифференциальные уравнения или краевые условия являются нелинейными. Примером может служить дифференциальное уравнение -(Й (г, и)и ) = ~(г, и), описывающее установившееся распределение тепла в стержне, теплофизические характеристики которого зависят от температуры и. Для решения таких задач широко используются метод конечных разностей и метод конечных элементов. Возникающие здесь дискретные краевые задачи нелинейны и требуют для вычисл~ ния решений использования специальных итерационных методов. 4. В последние десятилетия было осознано, что решение проблемы численного решения дифференциальных уравнений основано на использовании специальных методов теории приближения функций.

Однако глубокая связь между проблемой аппроксимации функций и проблемой решения дифференциальных уравнений осталась за рамками данной книги. Отметим лишь, что приближенное решение в~У(т), полученное с помощью проекционно-разностной схемы (15.81), (15.82), представляет собой линейный сплайн. 524 1. А б р а и о в и ц М., С т и г а н И. (ред.). Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, — М.: Наука, 1979, 2. Алберг Дж., Нилсон Э., Уолш Дж.

Теория сплайнов и ее приложения. — М.: Мир, 1972. 3. А н д р е е в В.Б., Р у х о в е ц Л.А, Проекционные методы, — М,: Знание, 1986. 4. Б а б е н к о К.И. Основы численного анализа, — М.: Наука, 1986. 5. Бабушка И:, Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1969. 6.

Б а з а р а М., Ш е т т и К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. — М.: Мир, 1982. 7. Б а к у ш и н с к и й А.Б., Г о н ч а р с к и й А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М.: Изд-во МГУ, 1989. 8. Б а х в а л о в Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1973. 9. Б а х в а л о в Н.С., Ж и д к о в Н.П., К о б е л ь к о в Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.

10. Б е з б о р о д о в Ю.М. Индивидуальная отладка программ. — М.: Наука, 1982. 11. Бейкер Дж., Грейвс — Моррис П. Аппроксимации Паде.— М.: Мир, 1986. 12. Б е к л е м и ш е в Д.В, Дополнительные главы линейной алгебры,— М.: Наука, 1983. 13. Б л е х м а н Н.Н., М ы ш к и с А.Д., П а н о в к о Я.Г. Механика и прикладная математика.

Логика н особенности приложений математики. — М.: Наука„1983. 14. Б о г л а е в Ю.П. Вычислительная математика и программирование.— М.: Высшая школа, 1990. 15. Б о г о л ю б о в А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. 16. Д е Б о р К, Практическое руководство по сплайнам.

— М.: Радио и связь, 1985, 17. Б о р о д и н А.Н., Б у г а й А.С. Выдающиеся математики, — Киев: Радянська школа, 1987. 18. В а с и л ь е в Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1980. 19. В о е в о д и н В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1977. 20. В о е в о д и н В.В., К у з н е ц о в Ю.А.

Матрицы и вычисления.— М.: Наука, 1984. 21. В о л к о в Е.А. Численные методы. — М.: Наука, 1987. 22. Г а л л а г е р Р. Метод конечных элементов, Основы. — М.: Мир, 1984. И. Г а н т и а х е р Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. 24. Г и л л Ф., М ю р р е й У., Р а й т М. Практическая оптимизация.— М.: Мир, 1985. Ж Г о р и н ш т е й н А.М. Практика решения инженерных задач на ЭВМ. — М.: Радио и связь, 1984.