Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994), страница 92

коэффициенты линейной комбинации (15.80) представляют собой значения функции тР в узлах х1. После введения обозначения и = ~Р(х1) функцию (15.80) л можно записать так: К Ф(х) = Е и".~р(х). 1=о Величины иу — — а1 (1' = О, 1, ..., Л) удовлетворяют системе уравне- Ь ний (15.69), (15.70), которую в данном случае можно получить как методом Ритца, так и методом Галеркина.

Заметим, что базисные функции р,(х) и у1(х) одновременно могут быть отличны от нуля тольь ко, если ~1 — Я ~ 1. Поэтому при ~ й — Я > 1 элементы а," = Дйу,'.р'. + а + ду,у1) 4х равны нулю. Таким образом, для определения неизвестных и". получаем следующую систему уравнений с трехдиагональной матри- 3 цей: 514 (15.81) Л Л ио — ке, иЛ,— иЬ. (15.82) Так как 1/Ь при х Е (х~1, хг), у'(г) = -1/Ь„ъ1 при х Е (гг, г~,1), О при г~ [г~1, х2,1), Л Л,, Л Л ~ ь1= ь1-ыгй1+ь+1 д ч1-1/г а1 1+1= ь1+уг/~'1+ь~1д ч +уг (15 8З) а;,;=Ь,„,/Ь;+Ь„„,(Ь.1+Ь. ЛД,, Ь;=Ь.- ЛФ Л Л Л (15.84) где Л г1 Л У1 Ь1-1 г =,„-. г~ Ь (г) 11*> й1-иг = Ь.

/ ~'Р~Р~-1 11*> а~ к1+1 /2 1-1 (15.85) т1+1 1 г1+1 ЧЛ= У 2дг, Р— У уу,.дх Ь;.„... ' Ь,.„,;, (15.86) 1 Используется также термин проекциокко-сетпочкмй метпод. Та же система уравнений может называться оериааиокко-разкосжкой стемо1~ если она получена с помощью метода ритце.

515 Систему уравнений (15.81), (15.82) принято называть системой метода конечных элементов или кроещиокко-раэкосшкой стеаой1. Можно показать, что проекционно-разностная схема имеет единственное решение Ф(г) и при выполнении некоторых условий на сетку 1оЛ и коэффициенты Й, о, ~она имеет второй порядок точности.

Существует весьма тесная связь между теорией разностных схем и теорией проекционно-разностных схем. В подтверждение сказанного ограничимся тем, что преобразуем систему (15.81), (15.82) так, чтобы она обрела внешнее сходство с соответствующей разностной схемой.

Разделив каждое уравнение (15.81) на Ь1,1 ~2 и воспользовавшись равенствами (15.83) — (15.87), получим систему уравнений (15.87) Ь Ь ЬЛ Ь Ь + Ч~-1/2"~-1 + ~~в~ + 9~+1/2" ~+1 = 3~> и = и„и~ — — вЬ. Ь (15.88) В такой форме записи она действительно оказывается похожа на разностную схему (15.55), (15.56).

3 а м е ч а н и е. При построении системы уравнений метода конеч-. ных элементов, как правило, возникает необходимость вычисления некоторых интегралов~. Для проекционно-разностной схемы (15.87), (15.88) в случае, когда коэффициенты Ь, д, ~ — гладкие, эта проблема легко решается применением квадратурных формул. Например, можно положить Й (х) с1х в Ь~Й (х~-~,~2), ~ т (х)у~(х)~р~-~(х) Йх в (х — х,~) (х, — х) Щ ' д(*- л),~ Ь Ь 1х= — Ч(хе~,), ~-1 $ 6 х,+~ хф х ~+1(, р у (х)у (х)дх Ф д (хь~д) ~ — с1х+ у (х' ~~г) ~ ( ~ ) Йх= ю -1 ы Ь; — 3 *~-~ ~ 3 Ь; Ь,„ х~+1 х$ х!+1 ~ ~(х)у; с1х в ~(х; ~~2)х~ ' Йх+ ~(х;,~ 2) / с1х = ю-1 ~-1 Ь; Ь,„ 2 '~2 2 При этом второй порядок точности сохраняется. 7.

Специальная проевционио-ревностная схема. Предположим, что коэффициенты Й, е, ~ входящие в одномерное уравнение диффузии (15.63), могут быть разрывными. В этом случае можно, как и ранее, использовать кусочно-линейные базисные функции (15.77), (15.78), ~ Аналогичная проблема возникает и при реализации некоторых разностных схем, например, однородной разностной схемы (15.55), (15,56).

516 (15.79). Полученная таким образом проекционно-разностная схема сходится, однако по скорости сходимости она существенно уступает однородной разностной схеме (15.55), (15.56). Чтобы получить качественную проекционно-разностную схему для уравнения диффузии с разрывными коэффициентами, воспользуемся специальными базисными функциями у(х). Эти функции для 1' = 1, 2, ..., У вЂ” 1 имеют следующий вид: ~1. /~ ~ 1 (у) <~у О при хб [х~.1, х,], (15.89) у(х) = при х Е [хр, тр1] при х ~ [х~ 1, х~1]. Здесь Ь = /' — ", Ьр1 = / у .

Кроме того, "~-1 й (у)' "~ ~ (у) при х Е [хЬ 4, ряха [Ь ~]; (15.90) в() = при хф [хан щ~, при х Е [щ.ь ха]. 0 ' бу у у Ьух у (у) (15.91) Выбранные базисные функции у интересны тем, что всюду за исключением узлов сетки они удовлетворяют дифференциальному уравнению (Ьр'.) = О. Применение этих базисных функций приводит к проекционноразностной схеме вида (15.87), (15.88), где все коэффициенты находятся по формулам (15.85), (15.86) за исключением коэффициентов й; 1~2, Л Й~,1,2, которые вычисляются по формулам т.

е. так же, как и в разностной схеме (15.55), (15.56). Эта проекционно-разностная схема имеет второй порядок точности 517; и решается методом прогонки. Отметим одно замечательное свойство указанной схемы. В случае 4 (х) н О полученные с ее помощью значения и, совпадают с истинными значениями краевой задачи и (х;) в Ь узлах сетки (схема точна в узлах сетки). Отметим, что базисные функции (15.89), (15.90), (15.91) и в случае, когда коэффициенты уравнения диффузии являются гладкими, но сильно меняющимися, дают большую точность по сравнению с простейшими кусочно-линейными базис- ными функциями. $15.5. Метод пристрелки Метод пристрелки (он называется также методо и стрельбы или баллистическим методом) позволяет свести решение краевой задачи к решению системы нелинейных уравнений относительно так называемых пристрелочных параметров, а также к решению (вообще говоря, многократному) задачи Коши.

Сначала рассмотрим этот метод на примере решения следующей краевой задачи для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка: у'(х) = ~(х, у (х), х(х)), х'(х) = у (х, у (х), х (х)), у (а) = уи, х (Ь) = гь. (15.92) (15.93) (15.94) Наряду с этой задачей рассмотрим задачу Коши у (х, а) = ~(х, у (х, а), г (х, а)), г '(х, а) = у (х, у (х, а), х (х, а)), у (а) = уа х (а) = а.

(15.95) (15.96) (15.97) Решение задачи (15.95)-~15.97), т. е. пара функций (, ), ( ) зависит не только от переменной х, но и от иристрелочиоьо параметра а. Подобрав значение параметра а, при котором х (Ь, а) = хь, получим решение задачи Коши, совпадающее с решением краевой задачи (15.92) — (15.94) . Таким образом, для того чтобы найти решение краевой задачи нужно решить нелинейное уравнение (15.98) 1Ь(а) =О, где 1А (а) = г (Ь, а) — гь. Отметим, что функция ф (а) не задана какой- либо явной формулой и вычисление каждого ее значения предполагает 518 3 а м е ч а н и е. Применение метода Ньютона аы = аь- Ф(ад(4'(аь) (15.99) сопряжено с необходимостью вычисления значений не только функции 4 (а), но и ее производной 1Ь'(а).

Покажем„как можно вид числить ~'(а) = — х (Ь, а) в рассматриваемом случае. да Дифференцируя по параметру а уравнения (15.95), (15.96) и начальные условия (15.97), замечаем, что функции а (х, а) д д — у (х, а), » (х, а) = — х (х, а) удовлетворяют следующим уравнениям и начальным условиям: и = ~„'(х, у (х, а), х (х, а))а+ У (х, у (х, а), г (х, а))», » = д„(х, у (х, о), г (х, а))и+ у (х, у (х, а), х (х, а))», а (а, а) = О, » (а, а) = 1. (15.100) (15.101) (15.102) Решая теперь относительно функций у, х, и, » задачу Коши для системы уравнений (15.95), (15.96), (15.100), (15.101) с начальными условиями (15,97), (15.102), можно определить 1Ь (а) = х (Ь, а) — хь и Ф'(а) = » (Ь, а).

Пример 15.2. Применим метод пристрелки к решению краевой задачи х, х у'(х) = —, х (х) = — —, 0 ~ х~ 1 х (х) у (х)' у (0) = 1, х(1) = 1. (15.103) (15.104) Положим 1Ь (а) = х(1, а) — 1, где у(к а), х(х, а) — решение задачи Коши х х у'(х, а) = —, х (х а) =— х(х, а)' ' у(х, а)' у (О, а) = 1, г (О, а) = а. (15.105) (15 106) 519 вычисление решения задачи Коши (15.95) — (15.97). Как правило, для решения задачи Коши приходится использовать тот или иной численный метод. Уравнение (15.98) можно решать, используя один из известных методов решения нелинейных уравнений. Довольно часто успешным оказывается применение метода бисекции, метода секущих или метода Ньютона (см.

гл. 4). Для решения уравнения ф (а) = 0 воспользуемся методом секущих: аь- а~-~ аь| = аь - ф (аь) (15.107) Возьмем ао = 0.5, а~ = 1 и будем вести итерации по формуле (15.107) до тех пор, пока не выполнится условие ~~(а1,)~ < 10 е. Результаты вычислений приведены в табл. 15.2. Т а б л и ц а 15.2 Ф (аь) 0.500000 1.000000 0.873956 0.881517 0.881612 -0.632121 0.213061 -О. 013596 0 167833,10-г 0.151260 10 е Заметим, что в общем случае вычисление значения ф (а) производится с помощью численного решения задачи Коши.

Однако в рассматриваемом случае задача (15.105), (15.106) допускает аналитическое решение г г у (г, а) = ег" г (л а) = 2ае г". (15.108) Поэтому можно воспользоваться явной формулой 1 1Ь (а) = 2ае го В результате применения метода пристрелки для задачи (15.103), (15.104) получаем решение (15.108), где а я 0.881612. 3 а'м е ч а н и е.

Своим названием метод пристрелки обязан очевидной аналогии между процессом его реализации при решении краевой задачи и процессом пристрелки при артиллерийской стрельбе по цели. После выбора очередного значения аь пристрелочного параметра (выбора угла стрельбы) решается задача Коши (производится "выстрел"). если г (5, а1) совпадает с гь с заданной точностью, то "цель считается пораженной", а краевая задача— решенной. В противном случае производится кбрректировка значения пристрелочного параметра и процесс продолжается дальше. 520 Использование для решения уравнения (15.98) метода бисекции еще более усиливает зту аналогию.

Здесь 1 ззультат того "выстре- ла", при котором ~ (а~) > О, может восприниматься как "перелет снаряда", а того, при котором ф (аЬ) < О, — как "недолет". Покажем теперь схематично, как применяется метод пристрелки для решения общей двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка у,1 ) — Л(х, у1( ), ", у (х)), у„'(х) = Ях, у1(х), ..., у„(х)), Ыу1(а), ", Ь(а), у1(Ь), —., Ь(Ь)) = О, Мп(у1(а), ", уа(и), у1(Ь), ", Э (Ь)) = 0 Запишем зту задачу в векторной форме: у'(х) = у(х, у(х)), у(у(а), у('Ь)) = 0'.

(15.109) (15.110) Рассмотрим также задачу Коши у'(х, а) = у(х, у(х, а)), у (а, а) = а. (15.111) (15.112) Здесь а = (аь ар, ..., а„)т — вектор пристрелочных параметров. Решив задачу Коши (15.111), (15.112) при фиксированном значении вектора а, получим решение у (х, а). Далее взяв у (а) = а и у (Ь) = у (Ь, а) и подставив эти значения в систему (15.110), приходим к системе урав- нений (15.113) ф(а) = О, где 1Ь (а) = у (а, у (Ь, а)). Наконец, решив систему (15.113), получаем набор а = (а1, а~, ..., а„) значений пристрелочных параметров, при которых решение задачи Коши (15.111), (15.112) совпадает с решением краевой задачи (15.109), (15.110). Практическая реализация метода пристрелки при большом числе уравнений (часто уже при и 1 3) оказывается довольно сложным делом.