Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994), страница 91

2. Метод Рища. Рассмотрим приближенный метод решения вариационной задачи о поиске точки минимума функционала У (и) на множестве К Будем искать приближенное решение иа в виде следующей линейной комбинации: У и~(х) = Е аур~(х). ~=о (15.65) (15.66) ао= иа, ай= и6. Согласно иетодд Ришиа', приближенное решение и~ определяется как функция, минимизирующая функционал У на множестве У". Таким образом, по определению У(иа) = ппп У(и). иЕФ' (15.67) Заметим, что задача (15.67) представляет собой задачу минимиза- 1 Вальтер Ритц (1878 — 1909) — швейцарский физик и математик. 508 Здесь сре(х), у~(х), ..., рд(х) — некоторые фиксированные функции, которые далее мы будем называть аазисиы ии.

Предполагается, что система базисных функций линейно независима и линейными комбинациями (15.65) при соответствующем выборе коэффициентов ав, а1, ..., ау можно аппроксимировать решение и с желаемой степенью точности. Обозначим через Г1~ множество всех функций вида (15.65) (при фиксированных уо, р1, ..., уу)> удовлетворяющих условиям ~Р(а) = ии, и~(а) = иь. Предположим далее, что базисные функции удовлетворяют следующим условиям: уе(а) = 1, у~(а) = 0 для всех 1' Э 1; уй(6) = 1., у~(5) = 0 для всех 1' < У вЂ” 1. Тогда, как нетрудно видеть, условия (15.60) для и = и~ выполняются тогда и только тогда, когда справедливы равенства ции функции многих переменных.

В самом деле, величина У(х) К =,У (Е ар~) является функцией Ф вЂ” 1 переменных а1, ах, ..., ау1 ~=о (значения ао = иа, ау = иь фиксированы). Согласно необходимому условию экстремума, минимум этой функции достигается при тех значениях параметров а1, а2, ..., ау.п для которых выполняются равенства д — У ( Е акр~) = О, в' = 1, 2, ..., Х- 1.

дав у=о. ~ ~ (15.68) Добавляя к этим равенствам условия (15.66), приходим к системе уравнений (15.68), (15,66), из которых можно определить значения коэффициентов а~ (1 = О, 1, ..., М) и тем самым — приближение гР. Применим метод Ритца к решению краевой задачи для уравнения (15.63) с краевыми условиями первого рода. Для функционала (15.62) имеем у ь р ь ь У(Е акр~) = — ]' ~й (Е ар')2+ о (Е акр;)2] дх — ~ ~ Е аур1 <(х; ~'=о 2 а ~'=о ~=о а у=о щ ь ь ь ь — 1 ( Е а р1) = Х [~ ( Е р')р,'+ ч (.Е Ю) р] ~х — Х У р 1х = даа ~о а 1о ~ уо а ь ь = Е Ц(х у,'р + о р;у~~) сЬ)а~ — ~ ~у; ах.

у=о а а Система (15.68), (15.66) в данном случае превращается в систему ли- нейных алгебраических уравнений У Е ар =Ь;, 1=1 2, ...,У-1, у=о (15.69) (15.70) ао = иа а~ — — иЬ, Аа= Ы. Здесь а = (а1, аг, ..., арр1)т, А — матрица порядка Ф вЂ” 1 с элементами 509 ь ь где ай — — ~ (Й у,'.~р '. + о у,р~) с1х, о, = ~ ~ р; Йх. а а Исключая переменные ао и ау, систему (15.69), (15.70) можно свес' ти к эквивалентной системе уравнений а17 (1,,1 = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1), И = (4, ат, ..., Йм-1)т, где 4 = И; — аюи„— Ци] = ~ х 6 [а, 6], и (а) = иа и (а) = иЬ (15.71) (15.72) допускает вариационную постановку тогда и только тогда, когда диф- ференциальное уравнение (15.71) является уравнением Эйлера для некоторого функционала 1.

Таким образом, зтим свойством обладают далеко не все задачи. Например, краевая задача для уравнения (15.73) -(Йи') '+ еи'+ аи = ~ при е (х) ~ О не допускает классической вариационной постановки. Приведем проекционную постановку краевой задачи, которая имеет место и в том случае, когда задача не может быть сформулирована как вариационная. Будем называть пробной функцией всякую непрерывную на отрезке [а, Я] кусочно-дифференцируемую функцию у (х), обращающуюся в нуль при х = а, х = 6.

Множество всех пробных функций обозначим через Ф. Умножив уравнение (15.71) на произвольную функцию у Е Ф и проинтегрировав полученное равенство по х от а до Ь, получим инте1ралъное тождество~ Ь Ь ,1 Й [и] 1а Йх = [ ~ у сЬ. (15.74) Итак, если функция и является решением дифференциального уравнения (15.71), то она должна удовлетворять интегральному тождеству (15.74), В то же время, как следует из основной леммы вариационного исчисления [93], если интегральное тождество (15.74) выполняется для любой пробной функции у, то Ци] = 1"; Таким образом, краевую задачу (15.71), (15.72) можно сформулировать в следующей проекционной постановке. Требуется найти такую функцию и, которая удовлетворяет интегральному тождеству (15.74) 1 Равенство (15.74) называют интегральным тождеством, подчеркивая тем самым, что ояо выполняется для любой пробной функции ~р.

510 Отметим, что матрица А — симметричная и положительно определенная. 3 Проекционная постановка кржвюй мщачи. Краевая задача для произвольной пробной функции р Е Ф и для которой выполнены краевые условия (15.72) . Приведем в качестве примера интегральное тождество ь ь / (-(Йи ') ' + ии " + ди) ~р Йх = 1 ~ р с$х, (15.75) ь ь ь ь — 1' (Йи') р Йх = -Йи'р~ + 1 Йи'у Йх = 1 Йи'р Йх.

й а а В результате интегральное тождество примет вид ь ) дх =,1 ~~Р йх. а (15.76) мене уравнения (15.73) интегральным тождестбходимость рассматривать только лишь функ- вторыми производными. Это обстоятельство построении и исследовании методов решения а также ряда других задач. Кроме того, ка оказывается удобной при рассмотрении и коэффициентами. Как и в методе Ритца, в методе Галеркинв' ищется в виде етода Ритца основой для построения метода ая, а более общая проекционная постановка ое решение в методе Галеркина принимается ая удовлетворяет интегральному тождеству Галеркин (1871 — 1945) русский инженер, ученый, елькой механики и теории упругости.

511 соответствующее дифференциальному уравнению (15,73). Придадим тождеству (15.75) несколько иную форму. Для этого преобразуем слаь гаемое — 1' (хи') ' у ох. Используя формулу интегрирования по частям, а с учетом равенств у (а) = О, 1о (6) = О получим Ь ь 1 ь[и11айх=) ~уЙх для любой пробной функции ~р = 1аь ~ = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1. Для задачи (15.71), (15.72) метод Галеркина с использованием интегрального тождества (15.76) приводит к следующей системе уравнений: 2,...,У вЂ” 1), ао = аа, оУ = аЬ. 3аметим, что эта система при и (х) = О в точности совпадает с системой (15.69), (15.70), полученной методом Ритца. Таким образом, применительно к решению краевой задачи (15.63), (15.60) методы Ритца и Галеркина оказываются эквивалентными. 3 а м е ч а н и е.

Приближенное решение и", определяемое методом конечных разностей, задается только в узлах сетки аА Поэтому для получения значения решения в произвольной точке приходится производить интерполяцию. В то же время проекционные методы дают в качестве приближенного решения функцию (15.65), вычисляемую в произвольной точке х. Как мы отмечали в предыдущих параграфах, системы сеточных уравнений, получаемые методом конечных разностей, обладают тем важным свойством, что матрицы коэффициентов. этих систем являются разреженными (более того, в рассмотренных примерах матрицы были трехдиагональными).

Для решения таких систем разработаны эффективные методы. В общем случае применение методов Ритца и Галеркина к решению краевых задач приводит к необходимости вычислять решения систем уравнений вида Аа = Ы с заполненными (и зачастую плохо обусловленными) матрицами А. Современные варианты проекционных методов, объединяемые термином "метод конечных элементов", свободны от указанного недостатка.

Перейдем к их рассмотрению. 6. Метод конечных элементов. Метод конечных экие аеятиов представляет собой разновидность проекционных методов, основанную на специальном выборе базисных функций. 512 История метода весьма поучительна. Метод конечных;лементов впервые был предложен Р. Курантом' в 1943 г., но тогда его важная работа опередила потребности практики и фактически осталась незамеченной. Затем в начале 50-х годов инженерами — специалистами по строительной механике был разработан новый подход к решению задач теории упругости. В тех случаях, когда расчетная область имела сложную геометрию, она разбивалась на подобласти простой геометрии, в каждой из которых решение могло быть найдено аналитически.

Эти подобласти были названы конечными элементами, а сам подход— методом конечных элементов. Только в начале 60-х годов математиками были осознаны практическое значение и математическая природа метода. В 60 и 70-х годах шло бурное развитие теории метода, он завоевывал все более широкие области применения. К настоящему времени метод конечных элементов получил самое широкое распространение в вычислительной практике. На его основе разработано большое число пакетов прикладных программ для решения разнообразных инженерных и научных задач.

Отметим характерные черты метода конечных элементов, выделяющие его среди других проекционных методов. 1) Расчетная область (множество изменения независимой переменной) разбивается на конечное число элементарных подмножеств стандартной формы (которые и называют конечны.ви элеменгпа ви). 2) Используемые базисные функции у7 таковы, что они: на каждом элементе имеют простой вид (чаще всего — многочлены); отличны от нуля лишь на нескольких соседних элементах.

Покажем, как применяется метод конечных элементов к решению краевой задачи (15.63), (15.60). Разобьем отрезок [а, Ь] точками а = хо < т1 « ... ху = $ на т элементарных отрезков [т;1, г;] длины Ь;. Таким образом, в роли конечного элемента выступает элементарный отрезок [х, 1, х,]. Введем базисные функции у(т) для 2' = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1 следующим образом (г- с~ 1)/Ь~ при х Е [х~ 1, .с,], ~р7(х) = (г~~ -,с)/Ь;,1 при г Е [г2., х~,1], 0 при х~ [к~1, г~,~~. (15.77) 1 Рихард Курант (1888 — 1972) — немецкий математик.

17 — 28 513 График такой базисной функции ("шапочкип) изображен на рис. 15.2. Подчеркнем, что функция у2 отлична от нуля только лишь на двух соседних конечных элементах (отРезках [хг~, х1) и [х1, х~,~]) и ЯвллетсЯ кусочно-линейной. х 0 О «1'1 х1 «1+! х Р х~ а) д1 к„, х„ х Рас. 1,б.2 Введем также функции ~р1(х) для,~ = 0 и 1 = Ж (рис. 15.2, а, о): / (х~ — х)/Й~ при х Е [Л>, г1], О при х х [л>, х~»; (15.78) О при х~ [хан Щ, (х- ху ~)/Ьу при х 6 [щ ь хд~. (15.79) Будем искать приближенное решение задачи в виде (15.80) Заметим, что базисные функции обладают тем свойством, что <р1(х1) = = 1 и у1(х,) = 0 при ~ Ф 1'. В силу этого а = и~(х1), т. е.