Бутко Я.А. Элементы функционального анализа и методы математической физики. Ч.1. Под ред. М.М. Сержантовой (2011)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаУчебное пособиеЯ.А. БуткоЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГОАНАЛИЗА И МЕТОДЫМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИИздательство МГТУ им. Н.Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаЯ.А. БуткоЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГОАНАЛИЗА И МЕТОДЫМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЧасть 1Под редакцией М.М.

СержантовойРекомендовано Научно-методическим советом МГТУим. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2011УДК 517ББК 22.162Б93Рецензенты: О.Г. Смолянов, Л.Д. ПокровскийБ93Бутко Я.А.Элементы функционального анализа и методы математической физики : учеб. пособие: в 2 ч. Ч. 1. / Я.А. Бутко; под ред.М.М. Сержантовой. – М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана,2011. – 65, [3] с. : ил.Приведены основные теоретические сведения из некоторыхразделов функционального анализа. Рассмотрена теория обобщенных функций, представлены свойства интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Показано применение обобщенных функций и интегральных преобразований для решения различных задач математической физики.Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУим. Н.Э. Баумана.УДК 517ББК 22.162c МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2011ВВЕДЕНИЕФункциональный анализ — это математический аппарат современных исследований уравнений математической физики.Язык функционального анализа позволяет изложить методы решения задач математической физики в наиболее ясном и четкомвиде.В настоящем учебном пособии приведены основные теоретические сведения из некоторых разделов функционального анализа(обобщенные функции, интегральные преобразования Фурье и Лапласа) и показано их применение к решению различных задач математической физики (метод интегральных преобразований, методфункции Грина).Некоторые доказательства утверждений, изложенных в настоящем пособии, могут быть найдены в работах [1—11].

В частности,теория обобщенных функций излагается в работах [1, 3, 7]; интегральные преобразования Фурье и Лапласа — в работах [1—4, 7,11]; понятие фундаментального решения оператора и метод функции Грина в различной мере описываются в работах [1, 5, 6, 8—10].Учебное пособие предназначено в основном для студентов 2-гокурса факультета РЛ при изучении курса «Операционное исчисление и уравнения математической физики».Глава 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ1.1.

Предпосылки для появления обобщенных функцийОбобщенные функции — это обобщение классического понятия функции, которое позволяет придать строгий математическийсмысл таким физическим понятиям, как плотность точечного заряда, интенсивность мгновенного источника, плотность точечноймассы и т. п. С другой стороны, в понятии обобщенной функциинаходит отражение и тот факт, что реально нельзя измерить, например плотность вещества в точке, можно измерить лишь среднююплотность в достаточно малой окрестности этой точки.Пример 1.1.

Попытаемся определить плотность, создаваемуюматериальной точкой массы 1. Логично предположить, что еслимы рассмотрим плотность единичной массы, равномерно распределенной в шаре радиуса ε > 0, а потом устремим ε к нулю, то иполучим искомое. Итак, пусть наша точка совпадает с началом координат. Будем рассматривать одномерный случай для упрощениявыкладок, т. е. вместо шара — отрезок.Плотность единичной массы, равномерно распределенной поотрезку, имеет вид⎧⎨ 1 , x ∈ [−ε, +ε];f ε (x) = 2 ε⎩0, x ∈ [−ε, +ε],причем сама масса m равна f ε (x)dx = 1.RТеперь надо найти lim f ε (x). Для этого надо ввести понятияε→0расстояния и сходимости на множестве функций.

С такой проблемой мы уже сталкивались при изучении функциональных рядов,при этом определялись различные виды сходимости.4Определение (поточечной сходимости). Функция f является поточечным пределом последовательности функций {fn }∞n=1на множестве Ω, если для любого x ∈ Ω числовая последовательность {fn (x)}∞n=1 имеет предел, равный числу f (x), т. е.∀ε > 0 и ∀x ∈ Ω ∃N ε (x) ∈ N : ∀n > N ε выполняется оценка|fn (x) − f (x)| < ε.Определение (равномерной сходимости). Последовательность {fn }∞n=1 сходится равномерно к функции f на множестве Ω,если ∀ε > 0 ∃N ε ∈ N : ∀n > N ε оценка |fn (x) − f (x)| < εвыполняется сразу для всех x ∈ Ω. Или, что то же самое,∀ε > 0 ∃N ε ∈ N : ∀n > N ε выполняется следующая оценка:sup |fn (x) − f (x)| < ε.x∈ΩДля обозначения равномерной сходимости последовательности{fn }∞n=1 к функции f на множестве Ω обычно используется записьΩfn ⇒ f .

Очевидно, что если последовательность {fn }∞n=1 сходитсяк f равномерно на Ω, то она сходится и поточечно. Однако, какпоказывает следующий пример, обратное утверждение неверно.Пример 1.2. Рассмотрим последовательность функций⎧⎪1, x ≤ 0;⎪⎪⎪⎨1fn (x) = −nx + 1, x ∈ 0, n ;⎪⎪⎪1⎪⎩0, x ≥nи функцию1, x ≤ 0;f (x) =0, x > 0.Тогда для любого x ∈ R числовая последовательность fn (x) сходится к числу f (x), так как ∀x ∈ R+ можно найти такой номерN (x) ∈ N, что ∀n > N (x) fn (x) = 0.

Но чем ближе x к точке 0,тем больший номер N (x) надо брать. Натурального числа N , подходящего сразу для всех x ∈ (0; ∞), не существует. Тем самым,рассмотренная последовательность сходится к своему пределу поточечно, но не равномерно. Кроме того, в курсе математическогоанализа доказывалось, что равномерный предел последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция. Так как5наша функция f разрывная, то равномерная сходимость места неимеет.Вернемся к примеру 1.1 и найдем поточечный предел последовательности функций⎧⎨ 1 , x ∈ [−ε, +ε];f ε (x) = 2 ε⎩0, x ∈ [−ε, +ε].Обозначим lim f ε (x) = δ(x), тогдаε→0δ(x) =+∞, x = 0;0, x = 0,1так как→ +∞ при ε → 0.

Но функция δ(x) должна играть роль2εплотностиединичной массы, т. е. должно выполняться равенствоδ(x)dx = 1. Однако этого быть не может, так как по определеRδ(x)dx = 0, если 0 ∈ Ω, а если 0 ∈ Ω,нию интеграла РиманаΩто интеграл не существует!Что же мы имеем с точки зрения функционального анализа?Есть некоторое пространство E, например множество всех локально абсолютно интегрируемых функций (функция f — локально абсолютно интегрируема на множестве R, если для любогоb|f (x)|dx < ∞).

Каждая изотрезка [a, b] выполняется условиеaфункций f ε (x) является элементом пространства E. Но последовательность f ε не имеет предела, который бы являлся элементомэтого пространства, какую бы из известных нам уже сходимостеймы ни рассматривали. Идея: найдем пространство функций побольше, так чтобы функции f ε принадлежали ему, и введем тамподходящее понятие сходимости так, чтобы последовательность{f ε } имела предел в этом пространстве. Для этого потребуетсяконструкция пространств основных и обобщенных функций.61.2.

Пространство основных функцийСимволом C ∞ (R) будем обозначать множество всех бесконечно дифференцируемых на R функций.Определение. Функция ϕ : R → R называется финитной, еслисуществует такой отрезок [a ϕ , b ϕ ], что ϕ(x) ≡ 0 при x ∈ [a ϕ , b ϕ ].Определение. Пространством основных функций называется множество всех финитных бесконечно дифференцируемыхфункций. Это пространство обозначается символом D(R). Такимобразом, D(R) = {ϕ ∈ C ∞ (R) | ϕ(x) ≡ 0 вне некоторого отрезка[a ϕ , b ϕ ] }.Пример 1.3.

Рассмотрим функцию⎧ε2⎨ − ε2 −|x|2, |x| < ε, c ε = const;w ε (x) = c ε e⎩0, |x| ≥ ε.Очевидно, что эта функция финитная. Она также является бесконечно дифференцируемой, так как все односторонние производные любого порядка в точках x = ±ε равны нулю.

Таким образом,w ε (x) — это основная функция. Эту функцию иногда называют«шапочкой».Предложение 1.1. Множество основных функций обладаетследующими свойствами:1) для любых функций ϕ, ψ ∈ D(R) и чисел α, β ∈ R линейная комбинация (αϕ + βψ) ∈ D(R), т. е. D(R) — линейноепространство;2) для любых функций ϕ ∈ D(R) и ψ ∈ C ∞ (R) их произведение ϕψ ∈ D(R);3) для любой функции ϕ ∈ D(R) ее производная k-го порядкаϕ(k) ∈ D(R);4) для любой функции ϕ(x) ∈ D(R) и любого числа a ∈ Rфункция сдвинутого аргумента ϕ(x − a) ∈ D(R).C помощью перечисленных выше свойств, начиная с «шапочки», можно получить некоторые другие основные функции, например:dn (ex w ε (x))ϕ(x) = x2 sin xw ε (x − a) +.dxnТеперь определим понятие сходимости на множестве основныхфункций D(R).7Определение.

Последовательность {ϕn }∞n=1 сходится к ϕ вD(R) при n → ∞, если:1) ∃[a, b] ⊂ R : ϕn (x) ≡ 0 вне [a, b] ∀n ∈ N;(k)[a,b]2) ∀k ∈ N ∪ {0} ϕn ⇒ ϕ(k) при n → ∞.Таким образом, носители всех элементов последовательностидолжны лежать на одном общем для всех интервале и на этоминтервале как сама последовательность, так и все ее производныедолжны сходиться равномерно.Аналогичным образом определяются пространства D(Rn ),D(Ω), где Ω — область в Rn , и сходимость в них.1.3. Пространство обобщенных функцийОпределение.

Любое отображение F из пространства D(R) ввещественные числа будем называть функционалом на D(R), т. е.F : D(R) → R.Определение. Функционал F : D(R) → R называется линейным, если ∀ ϕ, ψ ∈ D(R) и ∀ α, β ∈ R выполняетсяF (αϕ + βψ) = αF (ϕ) + βF (ψ).Определение. Функционал F : D(R) → R называется непрерывным, если для любой функции ϕ ∈ D(R) и любой последовательности {ϕn }∞n=1 ⊂ D(R), сходящейся к ϕ в D(R), числоваяпоследовательность {F (ϕn )}∞n=1 сходится к числу F (ϕ).Определение.

Множество всех линейных непрерывных функционалов на D(R) называется пространством обобщенных функций, его элементы называются обобщенными функциями. Пространство обобщенных функций обозначается D (R).Обобщенные функции — это функции бесконечномерного аргумента, их аргумент ϕ пробегает бесконечномерное пространствоосновных функций D(R). Значение функционала F на элементеϕ будем обозначать F (ϕ), или (F, ϕ). Отметим, что пространствообобщенных функций D (R) строилось по пространству основных функций D(R). Взяв другое пространство основных функцийи рассмотрев все линейные непрерывные функционалы на нем,можно получить другое пространство обобщенных функций.8Замечание. Вводя обобщенные функции, мы хотели расширить множество «обычных» функций. Однако пока мы рассмотрели совсем другие объекты — функции бесконечномерного аргумента ϕ ∈ D(R).

Если теперь каждому элементу из множества«обычных» функций мы сопоставим некоторый объект из множества обобщенных функций, то и окажется, что «обычные» функцииявляются частным случаем обобщенных.Определение (регулярных обобщенных функций). Обозначим множество всех локально абсолютно интегрируемых на Rфункций символом Lloc1 (R), т. е.Lloc1 (R)b= {f : R → R ; ∀ [a, b]|f (x)|dx < ∞}.aОтметим, что все непрерывные и некоторые кусочно-непрерывныефункции принадлежат этому множеству. Итак, пусть f ∈ Lloc1 (R).(R)отображениеFf ,Сопоставим «обычной» функции f из Lloc1определенное так:(Ff , ϕ) = f (x)ϕ(x)dx.RТогда справедливы следующие утверждения:1) отображение Ff определено для ∀ϕ ∈ D(R), т. е.