Бутко Я.А. Элементы функционального анализа и методы математической физики. Ч.1. Под ред. М.М. Сержантовой (2011), страница 5

Заметим, что обычное преобразование Фурье несуществует, так как константа 1 не является абсолютно интегриру = 2πδ(−x) = 2πδ.емой на R. Итак, 1 = δ = 2π δ(−x)Замечание. В многомерном случае, если ψ ∈ S(Rn ), F ∈∈ S (Rn ), то преобразование Фурье определяется по формуле:(F, ψ) = (2π)n (F, ψ).Замечание.

Стандартное преобразованиеФурье функции ϕ изϕ(x)e−ixy dx. Ее можноS(R) определяется по формуле ϕ(y) =Rрассматривать как действие обобщенной функции ϕ на «основϕ(y) = (ϕ(x), e−ixy ).ную» функцию e−ixy : 2.3. Определение и основные свойствапреобразования ЛапласаОпределение (показателя роста). Пусть f (t) : [0, ∞) → Cнепрерывная, за исключением, быть может, изолированных точек,функция. Рассмотрим интеграл∞|f (t)|e−st dt.(2..1)0Eсли существует вещественное число s0 ∈ R такое, что интеграл(2.1) сходится, то и для всех вещественных чисел s > s0 интегралсходится, так как 0 ≤ |f (t)|e−st < |f (t)|e−s0 t .35Таким образом, возможны три случая:1) существует число s0 ∈ R такое, что при s > s0 интеграл(2.1) сходится, при s < s0 интеграл (2.1) расходится, такое числоs0 назовем показателем (порядком) роста функции f (t);2) интеграл (2.1) сходится для всех s ∈ R, тогда считаем показатель роста функции f равным −∞;3) интеграл (2.1) рассходится для всех s ∈ R, тогда считаемпоказатель роста функции f равным +∞.Если показатель роста функции f меньше +∞, то будем говорить, что f имеет ограниченный рост.Замечание.

Если для некоторых s1 , M ∈ R и любого t ∈∈ [0, +∞) выполнено неравенство |f (t)| ≤ M es1 t , то функцияf имеет ограниченный рост, показатель роста s0 ≤ s1 .Замечание. Если функция f имеет ограниченный рост, то f —aабсолютно интегрируема на любом отрезке [0, a], т. е. |f (t)|dt <0< ∞.Определение (оригинала). Пусть функция f (t) : [0, ∞) → Cнепрерывная, за исключением, быть может, изолированных точек,и имеет ограниченный рост с показателем s0 . Для всех t < 0доопределим функцию f (t) нулем. Назовем такую функцию оригиналом.Пример 2.7.

Рассмотрим функцию Хевисайда1, x ≥ 0;η(x) =0, x < 0.Эта функция является оригиналом, так как имеет ограниченныйрост |η(t)| ≤ 1e0t и непрерывна везде, кроме нуля.Замечание. Если функция f (t) : R → C непрерывная, за исключением, быть может, изолированных точек, и имеет ограниченный рост, то функция f (t)η(t) является оригиналом.

Если f (t) —оригинал, то f (t) = f (t)η(t).Предложение 2.9. Если f (t) и g(t) — оригиналы, то для любыхα, β ∈ R, λ ∈ C и a, τ ≥ 0 функции αf (t) + βg(t), f (at), tf (t),tλtf (t − τ), f (t)e , f (s)ds также являются оригиналами.036Определение (изображения). Функцию F (p) комплексногопеременного p = x + iy, определенную при p : Re p = x > s0формулой∞F (p) = f (t)e−pt dt,0назовем изображением.Определение (преобразования Лапласа). Преобразование L,отображающее оригинал f в его изображение L[f ] = F (p) =∞f (t)e−pt dt, называется преобразованием Лапласа. Для свя=0зи оригинала и его изображения используются обозначения:f (t) F (p); F = L[f ].Теорема.

Если f — оригинал с показателем роста s0 , то его изображение F (p) — аналитическая функция в области {p ∈ C : Re p >> s0 }. При этом, если Re p → +∞, то F (p) → 0.Теорема (единственности). Если F (p) = G(p) в некоторойобласти {p ∈ C : Re p > s0 }, f (t) F (p), g(t) G(p), тоf (t) = g(t) во всех точкаx непрерывности этих функций.Изучим теперь основные свойства преобразования Лапласа.Предложение (свойство линейности) 2.9. Если f (t) F (p)и g(t) G(p), то αf (t) + βg(t) αF (p) + βG(p), для любыхα, β ∈ C.∞Действительно, αf (t) + βg(t) (αf (t) + βg(t))e−pt dt =∞=αf (t)e−pt dt + β0∞0g(t)e−pt dt = αF (p) + βG(p).0Предложение (свойство подобия) 2.10. Если f (t) F (p),1 pa > 0, то f (at) F ( ).a aДействительно,∞f (at) −ptf (at)e01dt =a∞p− a (at)f (at)e0 1p.d(at) = Faa37Таким образом, f (at) — оригинал с порядком роста as0 , где s0— порядок роста f (t).Предложение (о запаздывающем оригинале) 2.11.

Еслиf (t) F (p), то f (t − τ) e−pτ F (p) для любого τ ≥ 0.Действительно,∞f (t − τ) f (t − τ)e−pt dt =0= t − τ = u, dt = du == e−τp∞∞∞f (t − τ)e−pt dt =τf (u)e−(u+τ)p du =0f (u)e−up du = e−τp F (p).0Замечание. Если f (t) — оригинал, т. е. f (t) = f (t)η(t), тоf (t − τ) = f (t − τ)η(t − τ). Например, eсли в качестве оригинала рассматривается f (t) = sin(t) = sin(t)η(t), то в качестве запаздывающего оригинала надо рассматривать функциюf (t − τ) = sin(t − τ)η(t − τ), обращающуюся в нуль при t < τ, ане функцию sin(t − τ), обращающуюся в нуль при t < 0.Предложение (о смещении изображения) 2.12. Если f (t) F (p), то e λt f (t) F (p − λ) для любого λ ∈ C.Действительно,λt∞e f (t) λt−pte f (t)e∞dt =0f (t)e−(p−λ)t dt = F (p − λ).0Предложение (о дифференцировании оригинала) 2.13.

Еслиf (t) F (p) и f (t) — оригинал, то f (t) pF (p) − f (+0).Действительно,∞f (t) 038f (t)e−pt dt.Интегрируя по частям, получим−ptf (t) ef (t)|∞0∞= 0 − f (+0) + p∞−f (t)(−p)e−pt dt =0f (t)e−pt dt = pF (p) − f (+0).0Следствие. Если f (t) F (p) и f (n) (t) — оригинал, то pn F (p) − f (+0)pn−1 − f (+0)pn−2 − . . . − f n−1 (+0).Предложение (о дифференцировании изображения) 2.14.Если f (t) F (p), то −tf (t) F (p).Действительно,f (n) (t)dF (p) =dp∞−ptf (t)e0∞=∞dt =f (t)0d −pte dt =dp−tf (t)e−pt dt −tf (t).0Следствие. Если f (t) F (p), то (−1)n tn f (t) F (n) (p).Предложение (об интегрировании оригинала) 2.15. Еслиt1f (t) F (p), то f (s)ds F (p).p0Действительно, пустьtg(t) =f (s)ds, g(t) G(p),0тогдаg(+0) = 0, g (t) pG(p) − 0.1F (p).pПредложение (об интегрировании изображения) 2.16.

ЕслиТак как g (t) = f (t), то F (p) = pG(p), т. е. G(p) =1f (t) — оригинал (тогда и f (t) — оригинал) и f (t) F (p), тоt391f (t) t∞∞F (q)dq, гдеpz=plimRe z→∞.p11Действительно, пусть f (t) G(p), тогда f (t) = t( f (t)) tt −G (p) по свойству дифференциррования изображения. Такимzобразом, −G (p) = F (p). Следовательно, F (q)dq = −(G(z)−G(p)).pТак как G(p) — изображение, то G(z) → 0 при Re z → ∞.

Тогда∞F (q)dq = G(p).pПредложение (о свертке) 2.17. Если f (t) F (p) и g(t) G(p), то (f ∗ g)(t) F (p) · G(p).Замечание. Если функции f (t) и g(t) — оригиналы, т. е. равнынулю при t < 0, то в определении свертки (см. подразд. 1.4) поформуле (1.2) интеграл можно брать от нуля до t:tf (τ)g(t − τ)dτ.(f ∗ g)(t) =0Докажем предложение о свертке:t(f ∗ g)(t) =∞f (τ)g(t − τ)dτ 0∞ ∞=0−pt te0f (τ)g(t − τ)dτ dt =0f (τ)g(t − τ)e−pt dτdt.0Так как g(t − τ) — запаздывающий оригинал, то (f ∗ g)(t) =∞ ∞−pt=g(t − τ)e dt f (τ)dτ. Сделаем замену переменных:τ0∞∞t − τ = s, тогда dt = ds, t τ → s0 .40При этом∞ ∞(f ∗ g)(t) =∞=−p(s+τ)g(s)e0g(s)e−ps ds0ds f (τ)dτ =0∞f (τ)e−pτ dτ = F (p)G(p).0Теорема (о взаимосвязи преобразований Фурье и Лапласа).Пусть f (t) — оригинал с показателем роста s0 , f (t) F (p).

Тогдапри a > s0 преобразованием Фурье функции ϕ(t) = e−at f (t) будетслужить функция F (a + is), т. е.f (t) = F (a + is).f (t) F (p) ⇒ e−atДействительно, пусть f (t) F (p). Рассмотрим p = a + is дляa > s0 , тогда∞F (a + is) =−(a+is)tf (t)e+∞dt =e−at f (t)e−ist dt = e−atf (t).−∞0Теорема (обращения преобразования Лапласа). Если f (t) F (p), то в каждой точке t, в которой функция f дифференцируема, справедлива формула Меллина — Римана (обратное преобразование Лапласа):1f (t) =2 πia+i∞F (p)ept dp,a−i∞где a — любое вещественное число, a > s0 ;a+i∞a+iR=a−i∞limRR→+∞a−iR.Действительно, если функция f (t) дифференцируема в t, то ифункция ϕ(t) = e−at f (t) тоже, e−atf (t) = F (a + is).41Найдем обратное преобразование Фурье от F (a + is):1F (a+ is) =2π+∞F (a + is)eist ds.−∞По теореме об обращении преобразования Фурье имеемF (a+ is) = e−at f (t),т.

е.−ate1f (t) =2πТаким образом, получим:1f (t) =2π+∞F (a + is)eist ds.−∞+∞F (a + is)e(a+is)t ds.−∞Обозначим p = a+is. Если s ∈ (−∞, +∞), то p ∈ (a−i∞, a+i∞)1и ds = dp, тогдаia+i∞1F (p)ept dp.f (t) =2 πia−i∞2.4. Преобразование Лапласа обобщенных функцийОпределение (носителя обобщенной функции). Говорят, чтообобщенная функция f обращается в нуль на множестве Ω ∈ R,если для любой основной функции ϕ ∈ D(Ω) выполняется равенство (f, ϕ) = 0. Объединение всех таких Ω дает множество O,называемое нулевым множеством обобщенной функции f . Множество R \ O называется носителем обобщенной функции f иобозначается suppf .Пример 2.8.

Носитель регулярной обобщенной функции f —это множество тех x ∈ R, ни в какой окрестности которых f необращается в нуль, т. е. это замыкание множества точек x ∈ R, вкоторых f не обращается в нуль.42Пример 2.9. Носитель δ-функции Дирака — это точка x = 0,т. е. suppf = {0}.Определим преобразование Лапласа на множестве обобщенных функций. Для «обычной» функции f (t), являющейся оригиналом, ее изображение — это функция+∞+∞−ptF (p) =f (t)e dt =f (t)e−pt dt,0−∞так как f (t) = 0 при t < 0. Если рассматривать функцию f (t) какрегулярную обобщенную функцию, то+∞f (t)e−pt dt = (f, e−pt ).−∞Функция ϕ(t) = e−pt ∈/ D(R), однако некоторые обобщенныефункции из D (R) имеют более широкую область определения,чем D(R).Определение (преобразования Лапласа обобщенных функций). Если обобщенная функция f ∈ D (R) такова, что 1) ее носитель лежит на полуоси t ≥ 0; 2) для некоторого s0 ∈ R при всех p,таких что Re p > s0 , функции вида ϕ(t) = e−pt лежат в ее областиопределения, то преобразованием Лапласа обобщенной функции fбудем называть фунцию F (p) комплексного переменного p, определенную для всех p, таких что Re p > s0 , формулойF (p) = (f, e−pt ).Замечание.

Пользуясь связью преобразований Фурье и Лапласа, можно также определить преобразование Лапласа обобщенной функции f (t) как преобразование Фурье обобщенной функцииe−at f (t).Пример 2.10. Найдем преобразование Лапласа дельта-функцииДирака δ: (δ, e−pt ) = e−p·0 = 1. Таким образом, δ 1.Пример 2.11. Найдем преобразование Лапласа дельта-функцииДирака δ(t − t0 ), сосредоточенной в точке t0 : (δ(t − t0 ), e−pt ) == e−pt0 , таким образом, δ(t − t0 ) e−pt0 , т.