Бутко Я.А. Элементы функционального анализа и методы математической физики. Ч.1. Под ред. М.М. Сержантовой (2011), страница 2

Ff — функционал на D(R).Действительно,для любой ϕ из D(R) существует и конеченинтегралf (x)ϕ(x)dx, так как f (x)ϕ(x) ≡ 0 вне некотоRрого отрезка [a, b], функция f — локально интегрируема исправедливо равенствоb f (x)ϕ(x)dx < max |ϕ(x)| |f (x)|dx < ∞; x∈[a,b]Ra92) Ff — линейный функционал.Действительно, ∀ϕ, ψ ∈ D(R), ∀α, β ∈ R выполняется цепочка равенств (Ff , αϕ + βψ) =f (x)(αϕ(x) ++ βψ(x))dx =Rf (x)ϕ(x)dx + β f (x)ψ(x)dx =RRα= α(Ff , ϕ) + β(Ff , ψ);3) Ff — непрерывный функционал.Действительно, если ϕn → ϕ в D(R), тоf (x)ϕn (x)dx =lim (Ff , ϕn ) = limn→∞n→∞=Rf (x)ϕ(x)dx = (Ff , ϕ).RТаким образом, любая локально абсолютно интегрируемаяфункция f ∈ Lloc1 (R) определяет обобщенную функцию Ff изD (R). Далее вместо символа Ff будем иногда использовать символ f для обозначения регулярной обобщенной функции, соответствующей «обычной» функции f .Введем теперь понятие сходимости в пространстве обобщенных функций.

Такая сходимость называется слабой.Определение (слабой сходимости). Функционал F ∈ D (R)является (слабым) пределом последовательности функционалов{Fn }∞n=1 ⊂ D (R), если для любой ϕ из D(R) выполняется условие(Fn , ϕ) → (F, ϕ)при n → ∞. Таким образом, это аналог поточечной сходимости,где в роли точек выступают функции ϕ из D(R).Если все Fn и F — регулярные обобщенные функции, т.

е. каждой Fn соответствует некоторая функция fn ∈ Lloc1 (R), такая что(Fn , ϕ) = fn (x)ϕ(x)dx,RF соответствует функция f ∈ Lloc1 (R), такая что10(F, ϕ) =f (x)ϕ(x)dxRдля любой ϕ ∈ D(R), то определение слабой сходимости можнопереписать следующим образом.Определение. Функция f ∈ Lloc1 (R) является слабым пределомloc (R), если для любой ϕ ∈ D(R) выполня⊂Lфункций {fn }∞n=11ется условиеfn (x)ϕ(x)dx → f (x)ϕ(x)dxRRпри n → ∞.Вернемся теперь к примеру 1.1, в котором мы пытались определить плотность точечной массы. Найдем слабый предел {f ε } приε → 0. Для любой ϕ ∈ D(R) имеемεf ε (x)ϕ(x)dx =R−ε1ϕ(x)dx.2εПо теореме о среднемε−ε11ϕ(x)dx =ϕ(c ε )(ε + ε) = ϕ(c ε ),2ε2εгде c ε — некоторая точка из отрезка [−ε, ε].

Таким образом, длялюбой ϕ из D(R)lim f ε (x)ϕ(x)dx = lim ϕ(c ε ) = ϕ(0).ε→0Rε→0Определим обобщенную функцию δ по формуле (δ, ϕ) = ϕ(0).Тогда δ — слабый предел последовательности {f ε }. Функция δназывается δ-функцией Дирака. Очевидно, что δ действительноявляется линейным непрерывным функционалом на D(R).Итак, в пространстве D (R) обобщенных функций пределомпоследовательности {f ε } является обобщенная функция δ. Этафункция не является регулярной обобщенной функцией, так какне существует локально интегрируемой функции δ(x), такой что11δ(x) =∞, x = 0;0, x = 0иδ(x)dx = 1.RТем не менее по аналогии со случаем регулярных обобщенныхфункций введем формальнуюзапись:δ(x)ϕ(x)dx (≡ ϕ(0)).(δ, ϕ) =RbПри этом формальное выражениетак:bδ(x)ϕ(x)dx =aδ(x)ϕ(x)dx будем пониматьaϕ(0), 0 ∈ [a, b];0, 0 ∈/ [a, b].Функционал δ определен формулой (δ, ϕ) = ϕ(0) для более широкого класса функций, чем D(R) (например, для всехнепрерывных на R функций).

В частности, можно рассматриватьϕ(x) ≡ 1. Тогда (δ, ϕ) = (δ, 1) = 1. Таким образом, выражение(δ, 1) и будем считать массой единичноготочечного заряда, таккак формальная запись 1 = (δ, 1) =δ(x)dx и есть формула дляRвычисления полной массы по ее плотности. Если в точке x0 = 0сосредоточена масса m, то ее плотность будем считать равной mδ.Рассмотрим теперь обобщенную функцию δx0 , такую что(δx0 , ϕ) = ϕ(x0 ) для любой ϕ ∈ D(R). Таким образом, если в точке x0 сосредоточена масса m, то ее плотность будем считать равнойmδx0 . Будем использовать также обозначение δx0 = δ(x − x0 ), чтосогласуется с введенной ранее формальной записью:δx0 (x)ϕ(x)dx = ϕ(x0 ) =δ(y)ϕ(y + x0 )dy =(δx0 , ϕ) =RRδ(x − x0 )ϕ(x)dx.=RИтак, если в различных точках x1 , .

. . , xn сосредоточены массыm1 , . . . , mn , то плотность распределения массы будем считать равnнойmk δ(x − xk ).k=112Упражнение. Показать, что последовательность «шапочек»w ε (x) слабо сходится к δ-функции при ε → 0, если нормирующаяконстанта c ε выбрана так, что c ε → ∞ при ε → 0 и для любого εвыполнено равенствоw ε (x)dx = 1.RИтак, пространство обобщенных функций D (R) состоит изрегулярных обобщенных функций, соответствующих локально абсолютно интегрируемым «обычным» функциям, и обобщенныхфункций, не являющихся регулярными. Такие обобщенные функции называются сингулярными. С одной из сингулярных функциймы уже знакомы — это дельта-функция Дирака.

Рассмотрим другиепримеры сингулярных обобщенных функций.Пример (сингулярных обобщенных функций) 1.4. Функция1f (x) = не является локально интегрируемой, так как не интегриx1руема ни на каком интервале, содержащем 0. Функции f (x) =xможно сопоставить различные сингулярные обобщенные функции.Например, можно рассмотреть слабый предел при ε → 0 после1довательности регулярных функций f ε (x) =. Эти функцииx + iεрегулярны, так как их особые точки z = −iε не лежат на вещественной оси, и поэтому функции локально абсолютно интегриру11емы на R. Обозначим lim=.ε→0 x + i εx + i0Крометого, для любой ϕ из D(R) можно определитьинтеϕ(x)dx в смысле главного значения (v.p. ), такой, чтогралxRвыполняется равенство⎛ −ε +∞⎞ϕ(x)⎠ ϕ(x) dx.v.p.dx = lim ⎝+ε→0xxε−∞RTак как ϕ(x) ≡ 0 вне некоторого отрезка [−R; R], тоv.p.Rϕ(x)dx = v.p.xR−Rϕ(x)dx = v.p.xR−Rϕ(x) − ϕ(0) + ϕ(0)dx.x13По формуле Лагранжаv.p.Rϕ(x)dx = v.p.xR−Rϕ (y)xdx + ϕ(0) · v.p.xR−R1dx,xгде y — некоторая точка между 0 и x.

Первый интеграл существуетв обычном смысле и конечен. А интеграл⎛ −ε R⎞R11⎝v.p.dx = lim+ ⎠ dx = 0ε→0xx−Rε−R1. Таким образом, для любой основной функцииxϕ(x)ϕ ∈ D(R) интеграл v.p.dx определен и конечен. Значит,xR 1по формулекорректно задана обобщенная функция Px ϕ(x)1, ϕ = v.p.dx.Pxxв силу нечетностиRЛинейность функционала P следует из свойств интеграла, непрерывность необходимо доказывать отдельно. При этом оказывается,что верна формула Сохоцкого, широко используемая в квантовойфизике: 11= −iπδ(x) + P.x + i0x1.4. Действия над обобщенными функциямиВ этом параграфе мы введем следующие операции на множестве обобщенных функций: сложение и умножение на число,умножение на гладкую функцию, линейная замена переменных,дифференцирование, свертка.

В гл. 2 мы определим для обобщенных функций также преобразования Фурье и Лапласа.Предложение (сложение и умножение на число) 1.2. Пространство D (R) является линейным, т. е. ∀ F, G ∈ D (R) и∀ α, β ∈ R функционал αF + βG, определенный по формуле14(αF + βG, ϕ) = α(F, ϕ) + β(G, ϕ) ∀ϕ ∈ D(R), является элементом D (R).Пример 1.5. Линейная комбинация дельта-функций αδx1 ++ βδx2 действует так: (αδx1 + βδx2 , ϕ) = αϕ(x1 ) + βϕ(x2 ).Предложение (умножение на гладкую функцию) 1.3. Еслиα(x) ∈ C ∞ (R), F ∈ D (R), то αF ∈ D (R), где функционал αFопределяется по формуле (αF, ϕ) = (F, αϕ) ∀ϕ ∈ D(R).По свойствам основных функций, если ϕ ∈ D(R), то иαϕ ∈ D(R), а значит, выражение (F, αϕ) определено. Тем самым, функционал αF определен для всех ϕ ∈ D(R).Пример 1.6. Пусть α(x) = ex . Тогда для ex δ и для любой ϕ изD(R) выполняется цепочка равенств(ex δ, ϕ) = (δ, ex ϕ) = ex ϕ(x)|x=0 = e0 ϕ(0) = ϕ(0) = (δ, ϕ).Таким образом, ex δ ≡ δ. Аналогично для любой α(x) ∈ C ∞ (R)выполняется цепочка равенств(αδ, ϕ) = (δ, αϕ) = α(0)ϕ(0) = (α(0)δ, ϕ).В частности, для xδ и для любой ϕ из D(R) выполняется цепочкаравенств (xδ, ϕ) = (δ, xϕ) = xϕ(x)|x=0 = 0.

Таким образом,xδ ≡ 0 — нуль в пространстве D (R).Заметим, что процедуру перемножения двух произвольныхобобщенных функций корректно определить не удается.Определение (дифференцирования обобщенных функций).Если функция F ∈ D (R), то ее обобщенной производной назовем элемент F пространства D (R), определенный по формуле(F , ϕ) = −(F, ϕ ) ∀ϕ ∈ D(R).Проверим корректность определения.

Во-первых, по свойствамосновных функций, если ϕ ∈ D(R), то и ϕ ∈ D(R), т. е. выражение (F, ϕ ) определено при всех ϕ ∈ D(R). Во-вторых, пусть F, F — регулярные обобщенные функции, т. е. существует функция f ,такая, что f и ее производная f — локально абсолютно интегрируемые функции, причем(F, ϕ) = f (x)ϕ(x)dx, (F , ϕ) = f (x)ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ D(R).RR15Тогда по формуле интегрирования по частям получим:+∞ − f (x)ϕ (x)dx.(F , ϕ) = f (x)ϕ(x)dx = f (x)ϕ(x)R−∞RТак как ϕ, ϕ ∈ D(R), то первое слагаемое равно нулю, а второе равно −(F, ϕ ). Таким образом, если у функции f существуетобычная, классическая производная, то производная от нее какот обобщенной функции совпадает с ее производной в обычномсмысле.Непосредственно из определения дифференцируемости вытекают следующие предложения.Предложение 1.4.

Любая обобщенная функция F ∈ D (R)бесконечно дифференцируема в обобщенном смысле и для любого n ∈ N производная F (n) определена по формуле (F (n) , ϕ) == (−1)n (F, ϕ(n) ), ∀ϕ ∈ D(R). Таким образом, все локально абсолютно интегрируемые функции оказываются бесконечно дифференцируемыми в обобщенном смысле.Предложение 1.5. Если последовательность обобщенныхфункций {Fn }∞n=1 слабо сходится в D (R) к обобщенной функции(k)F , то ∀ k ∈ N последовательность производных {Fn }∞n=1 слабосходится к F (k) .Следствие.

Всякий сходящийся в смысле обобщенных функций ряд (т. е. слабо сходящийся) можно дифференцировать почленно любое число раз, получая сходящийся в этом же смысле ряд.При решении уравнений математической физики часто возникают функции, не дифференцируемые нужное число раз (например, в виде рядов, которые при дифференцировании расходятсяв классическом смысле). Однако в смысле теории обобщенныхфункций все производные существуют и оказывается, что нашифункции удовлетворяют необходимым уравнениям в смысле теории обобщенных функций.∞sin(nx)Пример 1.7.

Рассмотрим ряд. Его суммой служитnn=1функция, имеющая период 2π и определенная на отрезке [−π, π]16по формуле⎧π−x⎪, x ∈ (0, π];⎪⎪⎨ 2f (x) = − π − x , x ∈ [−π, 0);⎪⎪⎪⎩ 20, x = 0.Тогда обобщенная производная функции f+∞1f (x) = − + πδ(x − 2πk).2k=−∞Это некоторая обобщенная функция из D (R). C другой стороны,∞sin(nx)почленно, получим расходящийсядифференцируя рядnn=1∞cos(nx). Однако в смысле обобщенных функций он схорядn=1дится к обобщенной функции+∞1δ(x − 2πk).f (x) = − + π2k=−∞Пример 1.8. Рассмотрим функцию Хевисайда η: η(x) = 1при x ≥ 0 и η(x) = 0 при x < 0. Это локально абсолютно интегрируемая функция, поэтому ей соответствует регулярная обоб+∞щенная функция η : (η, ϕ) =ϕ(x)dx, ∀ ϕ ∈ D(R).

Найдем0обобщенную производную функции Хевисайда:+∞(η , ϕ) = −(η, ϕ ) = −ϕ (x)dx = −ϕ(x)|+∞= ϕ(0),00так как ϕ(+∞) = 0 в силу финитности ϕ. Таким образом,(η , ϕ) = ϕ(0) = (δ, ϕ) для любой ϕ из D(R), т. е. в смыслеобобщенных функций η = δ, где δ — дельта-функция Дирака.Заметим, что в обычном, классическом смысле производная η(x)существует при x = 0 и η (x) = 0. В точке x = 0 классическая17производная не определена.