Бутко Я.А. Элементы функционального анализа и методы математической физики. Ч.1. Под ред. М.М. Сержантовой (2011), страница 8

Действительно, для любойточки M ∈ Ω−1ΔG(M, M0 ) = Δv(M ) + Δ= 0 + δM0 (M ).4 πrM M0Итак, справедлива следующая теорема.Теорема (о представлении гармонической функции). Всевозможные решения уравнения Лапласа в области Ω определяютсяпо формуле (3.6) через всевозможные фундаментальные решенияоператора Лапласа в области Ω и по своему поведению на границеобласти.62Для решения конкретной краевой задачи для уравнения Лапласа в области Ω необходимо подобрать подходящее фундаментальное решение G(M, M0 ) так, чтобы формула (3.6) задавала решениеименно поставленной краевой задачи. Такое «подходящее» фундаменальное решение называется функцией Грина поставленнойзадачи, нахождение функции Грина, а, значит, и решения задачипо формуле (3.6), — методом функции Грина.

В частности, чтобырешить задачу ДирихлеΔu(M ) = 0M ∈ Ω;u(M ) = F (M ) M ∈ Σ,надо найти такую функцию Грина, что G(M, M0 ) = 0 при M ∈ Σ.Тогда решение задачи Дирихле может быть найдено по формуле(3.6), которая преобретает следующий вид:∂u(M0 ) =F (M ) G(M, M0 )dσ.(3..7)∂nΣПример 3.3. ПустьΩ = {M (x, y, z) : z > 0} ⊂ R3 ,ее граница Σ это плоскость z = 0.

Тогда n = (0, 0, −1) — внешняя∂u∂u= − . Решим задачу Дирихле:нормаль, причем∂n∂zΔu(x, y, z) = 0M ∈ Ω;u(x, y, 0) = F (x, y) M ∈ Σ.Пусть M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω. Рассмотрим точку M0∗ (x0 , y0 , −z0 ),cимметричную точке M0 относительно плоскости z = 0. В качестве v(M ) возьмем функциюv(M ) =1,4 πrM M0∗где$rM M0∗ = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + z0 )2 .Эта функция — фундаментальное решение оператора Лапласа сособенностью в точке M0∗ , а значит, функция v(M ) — гармоническая в Ω ⊂ R3 \ {M0∗ }.63РассмотримG(M, M0 ) = −11+.4 πrM M04 πrM M0∗Так как для любой точки M плоскости z = 0 верно равенствоrM M0 = rM M0∗ , то G(M, M0 ) = 0 при M ∈ Σ.Таким образом, G(M, M0 ) — действительно функция Гринарассматриваемой задачи Дирихле.

При этом'−1∂∂G ∂G $=−=−+∂n Σ∂z Σ∂z 4 π (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2(1+ $=4 π (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + z0 )2 z=02z0=)*3/2 .4 π (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + z02Таким образом, по формуле (3.7) решение нашей задачи Дирихлеимеет видz0F (x, y)dxdyu(x0 , y0 , z0 ) =*3/2 .)2π2(x − x0 ) + (y − y0 )2 + z 2R20Эта формула называется интегралом Пуассона для полупространства.ЛИТЕРАТУРА1.

Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. М.: Наука, 1988.2. Волков И.К. Интегральные преобразования и операционное исчисление / И.К. Волков, А.Н. Канатников. М.: Изд-во МГТУим. Н.Э. Баумана, 1996.3. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.

М.: Наука, 1972.4. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1973.5. Лошкарев А.И. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши / А.И. Лошкарев, Т.В. Облакова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.6. Мартинсон Л.К. Дифференциальные уравнения математической физики / Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов.

М.: Изд-во МГТУим. Н.Э. Баумана, 2006.7. Рид М. Методы современной математической физики / М. Рид,Б. Саймон: пер. с англ. М.: Мир, 1978.8. Смирнов В.И. Курс высшей математики: т. 2 / В.И. Смирнов.М.: Наука, 1967.9. Свешников А.Г. Лекции по математической физике / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та;Наука, 2004.10. Тихонов А.Н.

Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 2004.11. Шостак Р.Я. Операционное исчисление: учебник / Р.Я. Шостак. М.: Высш. шк., 1972.65ОГЛАВЛЕНИЕВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1. Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Предпосылки для появления обобщенных функций . . .1.2. Пространство основных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Пространство обобщенных функций . . . . . . . .

. . . . . . . . . .1.4. Действия над обобщенными функциями . . . . . . . . . . . . . .1.5. Многомерные аналоги δ-функции Дирака . . . . . . . . . . . .Глава 2. Метод интегральных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Определение и основные свойства преобразованияФурье . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Преобразование Фурье обобщенных функций . . . . . . . . .2.3. Определение и основные свойства преобразованияЛапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .2.4. Преобразование Лапласа обобщенных функций . . . . . . .2.5. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводностиметодом интегральных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 3. Метод функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .3.1. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Фундаментальное решение одномерного волновогооператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .3.3. Фундаментальное решение оператора Лапласа . . . . . . . .3.4. Метод функции Грина решения краевых задач дляуравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66344781423262632354244464750525765Учебное изданиеБутко Яна АнатольевнаЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗАИ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЧасть 1Редактор О.М. КоролеваКорректор Л.С. ГорбенкоКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать 18.04.2011. Формат 60×84/16.Усл. печ. л. 3,95. Тираж 300 экз. Изд. № 26.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э.

Баумана.Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.ДЛЯ ЗАМЕТОК.