Бутко Я.А. Элементы функционального анализа и методы математической физики. Ч.1. Под ред. М.М. Сержантовой (2011) (1095466), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. для дельта-функцииДирака справедливо свойство запаздывающего оригинала.43Пример (преобразования Лапласа обобщенных производных) 2.12. По определению обобщенной производной от обобщенной функции f , для любой основной функции ϕ выполненоравенство:(f (n) , ϕ) = (−1)n (f, ϕ(n) ),тогдаdn −pte )=dtn= (−1)n (f, (−1)n pn e−pt ) = pn (f, e−pt ) = pn F (p).(f (n) , e−pt ) = (−1)n (f,Таким образом,f (n) pn F (p).Замечание. Выясним, как формула f (n) pn F (p) согласуется с введенным ранее свойством дифференцирования оригиналаf (t) pF (p) − f (+0). Эта формула была введена только для техоригиналов f , для которых f — тоже оригинал, т. е. только дляпочти всюду дифференцируемых, а следовательно, непрерывныхf c единственной допустимой точкой разрыва первого рода t = 0,в которой функция делает скачек на f (+0).
Но для таких функций(см. формулу (1.1) в подразд. 1.4) fобобщ= fкласс+ f (+0)δ. Так какfкласс (t) pF (p) − f (+0), то= fкласс+ f (+0)δ (pF (p) − f (+0)) + f (+0) · 1 = pF (p).fобобщПример 2.13. Найдем преобразование Лапласа n-й производной дельта-функции Дирака:dn −pte )=dtn= (−1)n (δ, (−1)n pn e−pt ) = pn (δ, e−pt ) = pn e0 = pn .(δ(n) , e−pt ) = (−1)n (δ,Таким образом, δ(n) pn .Замечание.
Для изображений F (p) обобщенных функций(n)свойство F (p) → 0 при Re p → +∞ уже не выполнено; fобобщ pn F (p), все остальные свойства преобразования Лапласа переносятся на обобщенные функции без изменения.Упражнение. Найдите преобразование Лапласа функции(n)δ (t − t0 ).442.5. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводностиметодом интегральных преобразованийРешим задачу Коши для уравнения теплопроводности:∂u(t, x) = a2 Δu(t, x) t > 0, x ∈ Rn ;∂tu(0, x) = u0 (x).(2..2)Будем считать, что как начальное условие u0 (·), так и решениеu(t, ·) при всех t > 0 являются элементами пространства Шварца S(Rn ), т. е. к ним можно применить преобразование Фурье попеременным x = (x1 , . .
. , xn ) ∈ Rn , и полученные функции сновабудут элементами S(Rn ).Пусть u(t,x) = u(t, y), u0 (y). Так как преобразование0 (x) = uФурье по x перестановочно с производной по t, то∂∂uu(t, x) =(t, y),∂t∂tи по свойствам преобразования Фурье 2 2 ∂ u∂ u+ . . . + 2 = (−iy1 )2 u + . .
. + (−iyn )2 u=Δu(t, x) =2∂xn∂x1= −(y12 + . . . + yn2 )u = −||y||2 u(t, y).Таким образом, применив преобразование Фурье к левым и правым частям равенств системы (2.2), получим задачу Коши дляобыкновенного дифференциального уравнения на функцию u пеnременного t с параметром y ∈ R :u∂(t, y) t > 0;(t, y) = −a2 ||y||2 u(2..3)∂tu(0, y) = u0 (y).Решением этой задачи Коши является функция2 ||y||2 tu(t, y) = e−au0 (y).Теперь для получения решения исходной задачи (2.2) достаточнонайти обратное преобразование Фурье функции u(t, y) по переменным y = (y1 , .
. . , yn ) ∈ Rn . По свойствам преобразования Фурье45f· g = f ∗ g, и, значит2t2 ||y||2 tu=u = (e−a2 ||y||·u0 (y)) = (e−a) ∗ u0 .Так как обратное преобразование Фурье гауссовской экспоненты22f (y) = e−a t||y|| есть гауссовская экспонентаf(x) =2||x||1− 24a t√e(2a πt)n(см.
пример 2.2), тоu(t, x) = (f ∗ u0 )(t, x) =1√(2a πt)ne−||x−z||24a2 t u0 (z)dz.RnТаким образом, для начальных условий из S(Rn ) мы получилирешение задачи Коши (2.2):||x−z||21−4a2 t u0 (z)dz.√eu(t, x) =(2a πt)nRnЭта формула называется интегралом Пуассона. Легко видеть, чтоинтеграл Пуассона имеет смысл и для более широкого классаначальных условий, например для непрерывных функций u0 ограниченного роста.
И, если интеграл Пуассона существует, то онпредставляет собой решение соответствующей задачи Коши (2.2).Глава 3. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНАПусть нам требуется решить уравнение видаLu = fотносительно неизвестной функции u, где L — линейный дифференциальный оператор, а f — известная функция.Если бы можно было найти обратный к L оператор L−1 , такойчтоL−1 Lu = LL−1 u = u,то, применив его к обеим частям уравнения Lu = f , мы нашли бырешение u:u = L−1 Lu = L−1 f.46Естественно предположить при этом, что если L — дифференциальный оператор, то L−1 — интегральный, т.
е. в самом общем виде[L−1 f ](x) = G(x, y)f (y)dy,Ωгде Ω — область определения u и f ; G(x, y) — некоторая функция,называемая ядром интегрального оператора.Однако общее решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, а следовательно, обратного оператора L−1не существует. Тем не менее, если наложить на u (или, что то жесамое, на L) дополнительные условия, поставив тем самым корректную задачу математической физики (например, задачу Коши,краевую или начально-краевую задачу, в зависимости от уравнения), то, так как решение такой задачи существует и единственно,удается найти интегральный оператор, такой чтоu(x) = G(x, y)f (y)dy.ΩЯдро G(x, y) при этом называется функцией Грина поставленнойзадачи. Таким образом, построить для данной задачи функциюГрина — значит решить эту задачу.
В построении функции Гринаучаствует объект, называемый фундаментальным решением оператора.3.1. Фундаментальное решение линейногодифференциального оператораПусть L — линейный дифференциальный оператор n переменных с постоянными коэффициентами, напримерL=Δ≡∂2∂2+...+.∂x2n∂x21Порядком оператора назовем наивысший порядок производных вего формуле (Δ — оператор второго порядка). Рассмотрим уравнение видаLu = f,где f — известная функция; u — неизвестная функция.47Определение (обобщенного решения). Обобщенным решением уравнения Lu = f в области Ω ⊂ Rn называется всякая обобщенная функция из D (Ω), такая что для любой ϕ из D(Ω) выполняется равенство (Lu, ϕ) = (f, ϕ). Для обобщенной функцииu обобщенная функция Lu определяется с помощью введенных вгл.
1 операций над обобщенными функциями.Предложение 3.1. Любое классическое решение уравненияLu = f является также его обобщенным решением.Предложение 3.2. Если u — обобщенное решение уравненияLu = f и u ∈ C m (Ω) (т. е. u — m раз непрерывно дифференцируемая в Ω функция), где m — порядок оператора L, то u —классическое решение этого уравнения.Определение (фундаментального решения).
Фундаментальным решением оператора L (или фундаментальным решениемуравнения Lu = f ) называется любая обобщенная функцияu ∈ D (Rn ), удовлетворяющая в Rn уравнению Lu = δ, т. е.u ∈ D (Rn ) такова, что для любой ϕ из D(Rn ) верно равенство(Lu, ϕ) = (δ, ϕ).Предложение 3.3. Если u — фундаментальное решение оператора L, u0 — решение уравнения Lu = 0, то (u + u0 )— тожефундаментальное решение оператора L.Действительно, в силу того, что L — линейный оператор, имеемL(u + u0 ) = Lu + Lu0 = δ + 0 = δ.Таким образом, (u + u0 ) — фундаментальное решение оператора L.Здесь наблюдается полная аналогия с теорией линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, где общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного ичастного решения неоднородного.
Таким образом, зная все решения уравнения Lu = 0 и хотя бы одно фундаментальное решениеоператора L, можем найти все фундаментальные решения L.С помощью фундаментального решения оператора L можнорешить уравнение Lu = f .Теорема (формула Дюамеля). Пусть E(x)— общее решениеуравнения Lu = δ, т. е. E(x) — фундаментальное решение оператора L.
Пусть функция f такова, что E ∗f ∈ D (Rn ). Тогда решениеуравнения Lu = f единственно в классе обобщенных функций изD (Rn ), для которых существует свертка с E(x), и может быть48найдено по формуле Дюамеля:u = E ∗ f.Проверим, что u = E ∗f является решением уравнения Lu = f .По свойствам линейности и дифференцирования свертки, имеемL(g1 ∗ g2 ) = L(g1 ) ∗ g2 = g1 ∗ L(g2 ),так как L — линейный дифференциальный оператор с постояннымикоэффициентами.
ТогдаLu = L(E ∗ f ) = L(E) ∗ f = δ ∗ f = f.Покажем, что других решений u уравнения Lu = f , для которых существовала бы свертка u ∗ E, нет. Если u1 и u2 — различныерешения уравнения Lu = f , то u = u1 − u2 — решение уравненияLu = 0. Действительно,Lu = Lu1 − Lu2 = f − f = 0.Покажем, что u ≡ 0. По свойствам δ-функцииu = u ∗ δ = u ∗ L(E) = Lu ∗ E = 0 ∗ E = 0.Следствие. Если u ∈ D (Rn ) и свертка u ∗ E существует илежит в D (Rn ), то справедливо равенство u = Lu ∗ E.Замечание (физический смысл формулы u = E ∗ f ). Праваячасть уравнения Lu = f , т. е. источник f (x), может быть представлена в видеf (x) = (f ∗ δ)(x) = f (z)δ(x − z)dz,Rгде интеграл — это суперпозиция точечных источников видаf (z)δ(x − z). Каждый точечный источник f (z)δ(x − z) определяетвозмущение f (z)E(x − z), следовательно, решение u = E ∗ f — этосуперпозиция всех возмущений.Замечание.
Если u — фундаментальное решение оператора L,т. е. Lu = δ, то u1 = cu — решение уравнения Lu1 = cδ в силу линейности L, так как L(cu) = cLu = cδ. Иногда фундаментальнымрешением оператора L называют любую обобщенную функциюu1 : Lu1 = cδ, где c выбрано так, что u1 имеет наиболее простойвид.49Замечание. Можно так же рассматривать в качестве фундаментального решения оператора L решение уравнения Lu = δM0 , гдеточка M0 ∈ Rn , M0 = 0. Заменой координат z = x−M0 уравнениеLu(x) = δM0 (x) переводится в уравнение Lu(z) = δ(z).Пример 3.1.
Найдем фундаментальное решение оператораd+ a, a = const.L=dtРешим уравнение Lu = δ, т. е.du(t) + au(t) = δ(t).dtВоспользуемся методами операционного исчисления (для обобщенных функций). Пусть u(t) U (p), тогда по свойствам преобразования Лапласа обобщенных функцийdu pU (p).dtТак как δ 1, то получимpU (p) + aU (p) = 1,т. е.U (p) =1,p+aи, значит, u(t) = e−at η(t).Пример 3.2.
Найдем фундаментальное решение оператораL=Решим уравнениеd2+ a2 , a = const.dt2d2 u+ a2 u = δ.dt2Воспользуемся методами операционного исчисления (для обобщенных функций). Пусть u(t) U (p), тогда по свойствам преобразования Лапласа обобщенных функцийdu pU (p).dtТак как δ 1, то получимsin at1p2 U (p) + a2 U (p) = 1; U (p) = 2; u(t) =η(t).p + a2a503.2. Фундаментальное решение одномерноговолнового оператораРассмотрим одномерное волновое уравнение (x ∈ R1 ):2∂ 2 u(t, x)2 ∂ u(t, x)−a= f (t, x), a = const > 0.∂t2∂x2Найдем его фундаментальное решение.
Для этого решим уравнение2∂ 2 u(t, x)2 ∂ u(t, x)−a= δ(t, x).(3..1)∂t2∂x2Замечание. Когда рассматриваются дифференциальные уравнения с частными производными, то полезно применять преобразование Фурье по всем переменным, превращая дифференциальное уравнение в алгебраическое, или комбинировать преобразование Фурье по всем, кроме одной, переменным (тогда уравнениес частными производными превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение) и преобразование Лапласа по оставшейсяпеременной для решения получившегося обыкновенного дифференциального уравнения.Применим преобразование Фурье по переменной x к обеимчастям уравнения (3.1).
Обозначим преобразование Фурье функции u(t, x) через u(t, y). Тогда, по свойствам преобразованияФурье∂ 2∂ 2∂2uu(t, x)u(t, x)(t, y)2=(iy)u(t,y);=∂x2∂t2∂t2 = 1 · δ(t).и так как δ(t, x) = δ(t)δ(x), то δ(t,x) = δ(t) δ(x)Таким образом, получим обыкновенное дифференциальноеуравнение на функцию переменной t с параметром y:∂2u(t, y)+ a2 y 2 u(t, y) = δ(t).(3..2)∂t2В левой части уравнения (3.2) стоит линейный дифференциальный оператор∂2∂2Ly = 2 + a2 y 2 = 2 + a2 |y|2 ,∂t∂tи нам надо решить уравнениеLy u = δ,51т. е. найти фундаментальное решение этого оператора.
Фундаментальное решение такого оператора было найдено c помощью операционного исчисления в примере 3.2. Оно имеет видsin a|y|tsin aytu(t, y) =η(t) =η(t)a|y|ayв силу четности последней дроби.Таким образом, фундаментальное решение одномерного волнового уравнения — это обратное преобразование Фурье по y функции u(t, y). В примере 2.1 было показано, что2 sin yaη(a− |x|) =yдля a > 0, и, значит,1sin atyη(at− |x|) =2aayпри at > 0.
При at < 0, т. е. t < 0, η(at − |x|) ≡ 0, η(at− |x|) ≡ 0,и, значит,1sin atyη(at− |x|) =η(t).2aayИтак, фундаментальное решение одномерного волнового оператора — это функция1u(t, x) =η(at − |x|).2aФундаментальные решения двумерного и трехмерного волновогооператора могут быть найдены аналогичным образом [1].3.3. Фундаментальное решение оператора ЛапласаРассмотрим уравнение Пуассона в R3 :Δu = f.В левой части уравнения стоит оператор Лапласа:Δ≡∂2∂2∂2+ 2 + 2.2∂x1 ∂x2 ∂x3Если мы найдем фундаментальное решение оператора Лапласа,то научимся решать уравнение Пуассона для весьма обширногокласса функций f в правой части уравнения Пуассона.52Итак, необходимо решить уравнениеΔu(x) = δ(x),R3 .где x = (x1 , x2 , x3 ) ∈Найдем фундаментальное решение оператора Δ с помощьюпреобразования Фурье. Применим преобразование Фурье к обеимчастям уравнения Δu = δ: 2u2u2u∂∂∂Δu(y)=++(y) =∂x21 ∂x22 ∂x23= (iy1 )2 u(y) + (iy2 )2 u(y) + (iy3 )2 u(y) =2u(y).= −(y1 + y22 + y32 )Перейдем к сферическим координатам, тогда y12 + y22 + y32 = r2 , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
