Бутко Я.А. Элементы функционального анализа и методы математической физики. Ч.1. Под ред. М.М. Сержантовой (2011) (1095466), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Аналогично обобщенная производнаяфункции η(x − x0 ) равна δ(x − x0 ).Пример 1.9. Найдем производную δ-функции. Для любой ϕ изD(R) по определению (δ , ϕ) = −(δ, ϕ ) = −ϕ (0). Аналогично(δ(n) , ϕ) = (−1)n ϕ(n) (0).Исследуем взаимосвязь обобщенных и классических производных подробнее. Пусть дана непрерывная функция f (x). Рассмотрим:f (x), x < x0 ;g(x) = f (x) + aη(x − x0 ) =f (x) + a, x ≥ x0 .Тогда функция g имеет в точке x0 скачок величины a и непрерывна в остальных точках вещественной оси.
Любую кусочнонепрерывную функцию g(x), имеющую лишь конечное число разрывов первого рода, можно представить в видеg(x) = f (x) +nak η(x − xk ),k=1где f (x) — некоторая непрерывная функция; xk — точки разрываg; ak — величины скачков функции g в точках xk . Тогдаgобобщ= {f (x) ++nk=1nak η(x − xk )}обобщ = {f }обобщ +k=1ak δ(x − xk ) =fкласс+nak δ(x − xk ).(1..1)k=1Если f — кусочно-дифференцируема, то fобобщ= fкласс, где fклассуже может быть разрывной неограниченной в x1 , . .
. , xn функцией.Пример 1.10. Найдем вторуюобобщенную производную функции:x2 , x ≤ 1;g(x) =x − 1, x > 1(см. рисунок).Функцию g(x) можно представить в видеg(x) = f (x) − 1 · η(x − 1),18x2 , x ≤ 1;где f (x) =x, x > 1— непрерывная функция. Тогда= fобобщ− δ(x − 1),gобобщпричем2x, x ≤ 11, x > 1fобобщ(x) = fкласс(x) == 2xη(1 − x) + η(x − 1).Тогда= 2xη(1 − x) + η(x − 1) − δ(x − 1).gобобщАналогичноgобобщ= 2η(1 − x) + δ(x − 1) − δ (x − 1).Определение (линейной замены переменных). Введем намножестве обобщенных функций операцию, аналогичную операции линейной замены переменных для «обычных» функций.
Пустьf — регулярная обобщенная функция,т. е. для любой ϕ из D(R)f (x)ϕ(x)dx. Тогда определимвыполняется равенство (f, ϕ) =Rобобщенную функцию f (ax + b) следующим образом:(f (ax + b), ϕ) = f (ax + b)ϕ(x)dx.RybСделаем в интеграле замену переменных: ax + b = y, x = − ,a a1dx = dy. Тогда, если a > 0, то изменению x от −∞ до +∞ соотaветствует изменение y от −∞ до +∞; если a < 0, то изменению xот −∞ до +∞ соответствует изменение y от +∞ до −∞.
Такимобразом,R1f (ax + b)ϕ(x)dx =|a|=1f,ϕ|a|+∞yb−dy =f (y)ϕa a−∞x b−a a.191x bϕ−.(f (ax + b), ϕ(x)) = f (x),|a|a aЭту формулу будем использовать для определения линейной замены переменных и в случае, если обобщенная функция не являетсярегулярной. В частности,Итак:(f (x + b), ϕ(x)) = (f (x), ϕ(x − b)).Предложение 1.6.
Справедлива следующая формула:1bδ(ax + b) =δ x+.|a|aДействительно, по определению1x bϕ−.(f (ax + b), ϕ(x)) = f (x),|a|a aТогда(δ(ax + b), ϕ) =x b1x b =−=ϕ−a a|a|a a x=0 1b1b=ϕ −=δ x+,ϕ .|a|a|a|a1ϕδ,|a|Таким образом, в частности, δ(−x) = δ(x).Очевидно, что, используя формальное обозначение (δ, ϕ) ==δ(x)ϕ(x)dx и оперируя с ним, как с обычным интегралом,Rполучим тот же результат.Определение (свертки). Сверткой функций f (x) и g(x) называется функция f ∗ g, заданная формулой+∞(f ∗ g)(x) =f (τ)g(x − τ)dτ.(1..2)−∞Свертка определена для тех функций f и g, для которых интегралв правой части равенства (1.2) существует и конечен при всехx ∈ R.
В частности, свертка двух абсолютно интегрируемых поR функций определена и является абсолютно интегрируемой по Rфункцией.20Теорема (свойства свертки). Пусть даны функции f , g, h,такие, что свертки f ∗g, f ∗h, g ∗h определены. Тогда выполняютсяследующие соотношения:1) свойство линейности: (αf + βg) ∗ h = α(f ∗ h) + β(g ∗ h)для любых чисел α и β;2) свойство симметричности: f ∗ g = g ∗ f .3) правило дифференцирования свертки: если существуютdn fdn gdnфункции n (f ∗ g), n ∗ g, f ∗ n , то справедливо равенdxdxdxствоdn fdn gdn(f∗g)=∗g=f∗.dxndxndxnОчевидно, что свойство линейности свертки следует из свойствалинейности интеграла.Правило дифференцирования свертки вытекает из формулы интегрирования по частям.Докажем свойство симметричности свертки.
По определению:+∞f (τ)g(x − τ)dτ.(f ∗ g)(x) =−∞Сделаем в интеграле замену переменных: x − τ = y, тогдаτ = x − y, dτ = −dy. Следовательно:−∞+∞(f ∗g)(x) = −f (x−y)g(y)dy =f (x−y)g(y)dy = (g ∗f )(x).+∞−∞Теперь введем операцию свертки на множестве обобщенныхфункций. Пусть функция f ∗ g ∈ Lloc1 (R), т.
е. функция f ∗ g задаетрегулярную обобщенную функцию. Тогда для любой ϕ ∈ D(R)имеем(f ∗ g, ϕ) = f ∗ g(x)ϕ(x)dx ==R⎡⎣R⎤f (τ)g(x − τ)dτ⎦ ϕ(x)dx =R21=R=R⎡f (τ) ⎣R⎡f (τ) ⎣⎤g(x − τ)ϕ(x)dx⎦ dτ =⎤g(t)ϕ(t + τ)dt⎦ dτ =Rf (τ)g(t)ϕ(t + τ)dtdτ = (f (τ)g(t), ϕ(t + τ)),=R2где последнее выражение понимается как действие функционалаf (τ)g(t) из D (R2 ) на функцию ϕ(t + τ) двух переменных t иτ.
Определим свертку аналогичным образом и для произвольныхобобщенных функций.Определение (свертки обобщенных функций). Cверткойобобщенных функций f , g из D (R) называется (если существует)такая обобщенная функция f ∗g из D (R), что для любой ϕ ∈ D(R)справедива формула(f ∗ g, ϕ) = (f (τ)g(t), ϕ(t + τ)).Заметим, что, хотя произведение f (τ)g(t) и задает линейныйнепрерывный функционал на D(R2 ), функция ϕ(t + τ) двух переменных t и τ уже может не принадлежать пространству основныхфункций D(R2 ), и поэтому выражение (f (τ)g(t), ϕ(t + τ)) имеет смысл лишь для тех обобщенных функций f , g из D (R), длякоторых все функции ϕ(t + τ) входят в область определения функционала f (τ)g(t).
Таким образом, свертка определена не для всехобобщенных функций. Отметим, что для тех обобщенных функций, для которых свертка определена, свойства 1) — 3) сверткисохраняются.Пример 1.11. Найдем свертку с дельта-функцией: δ ∗ f == f ∗ δ = f . Действительно:(δ ∗ f, ϕ) = (δ(τ)f (t), ϕ(t + τ)) = (f (t), ϕ(t + 0)) = (f, ϕ).Для некоторых обобщенных функций можно определить и другие операции, такие как преобразование Фурье и преобразованиеЛапласа.
Эти операции мы рассмотрим в гл. 2.221.5. Многомерные аналоги δ-функции ДиракаАналогично определению пространств D(R) и D (R) можноопределить пространства основных и обобщенных функций D(Rn )и D (Rn ), D(Ω) и D (Ω) для области Ω ⊂ Rn . При этом D(Ω) —это множество всех бесконечно-дифференцируемых по каждомуиз аргументов функций, каждая из которых обращается в нуль вненекоторого замкнутого и ограниченного подмножества Ω. Понятиедельта-функции Дирака и ее производных можно распространитьна случай нескольких переменных различными способами. Рассмотрим некоторые из возможных вариантов.1.
δ-Функция, сосредоточенная в точке.Рассмотрим пространство R3 . Пусть M0 (x0 , y0 , z0 ) — некотораяточка пространства R3 . Для любой ϕ из D(R3 ) определим δM0 как(δM0 , ϕ) = ϕ(M0 ).Как и ранее, можно ввести формальную запись:δM0 (x, y, z)ϕ(x, y, z)dxdydz ≡ ϕ(M0 ).(δM0 , ϕ) =R32.
δ-Функция, сосредоточенная на поверхности («простойслой»).Пусть S — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность в R3 .Для любой ϕ из D(R3 ) определим δS так:(δS , ϕ) ≡ϕ(x, y, z)dS,Sгде в правой части равенства стоит поверхностный интеграл первого рода по поверхности S.Тогда, если S имеет конечную площадь, то (δS , 1) =dS =S= |S| — площадь поверхности S. Снова можно ввести формальнуюзапись:(δS , ϕ) =δS (x, y, z)ϕ(x, y, z)dxdydz ≡ϕ(x, y, z)dS.R3S23При этом, как и в случае одномерной δ-функции, можно считать,что для δS выполняются соотношения:+∞, M (x, y, z) ∈ S;δS (M ) =0, M ∈ Sи1|S|δS (x, y, z)dx dy dz = 1.R31δS играет роль плотности единичной|S|массы или единичного заряда, сосредоточенных на поверхности S.Пример 1.12.
Пусть S — плоскость x = x0 , тогда в пространстве R3 можно рассматривать функцию δx0 = δ(x − x0 ):(δx0 , ϕ(x, y, z)) =ϕ(x, y, z)dS =S : x=x0=ϕ(x0 , y, z)dydz =δ(x − x0 )ϕ(x, y, z)dxdydz.Таким образом, функцияR2R3Упражнение. Показать, что δM0 = δ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ).Пример 1.13. Введем в R3 цилиндрическую систему координат:⎧⎪⎨ x = ρ cos ϕ;y = ρ sin ϕ;⎪⎩z = h,где⎧⎪⎨ 0 ≤ ρ < ∞;0 ≤ ϕ < 2π;⎪⎩h ∈ R.Можно рассматривать δ ϕ0 = δ(ϕ − ϕ0 ), δ ρ0 = δ(ρ − ρ0 ),δh0 = δ(h − h0 ) для поверхностей S, таких что ϕ = ϕ0 или1ρ = ρ0 , или h = h0 . При этом δM0 = δ ϕ0 δ ρ0 δh0 , где точкаρ1возникает из-заM0 (x0 , y0 , z0 ) = M0 (ϕ0 , ρ0 , h0 ). Множительρякобиана замены переменных в тройном интеграле.24Пример 1.14. Введем в R3 cферическую систему координат:⎧⎪⎨ x = r sin θ cos ϕ;y = r sin θ sin ϕ;⎪⎩z = r cos θ,где⎧⎪⎨ 0 ≤ r < ∞;0 ≤ ϕ < 2π;⎪⎩0 ≤ θ ≤ π.Аналогично можно рассматривать δ ϕ0 , δ θ0 , δr0 для поверхностейS, таких, что ϕ = ϕ0 или θ = θ0 , или r = r0 .
При этом11δ(r − r0 )δ(θ − θ0 )δ(ϕ − ϕ0 ),r2sin θгде точка M0 (x0 , y0 , z0 ) = M0 (r0 , ϕ0 , θ0 ). И вновь множитель1возникает из-за якобиана замены переменных в тройномr2 sin θинтеграле.3. δ-Функция, сосредоточенная на кривой.Пусть γ — кусочно-гладкая кривая в R3 . Для любой ϕ из D(R3 )определим δ γ так:(δ γ , ϕ) ≡ϕ(x, y, z)dγ,δM0 =γгде в правой части стоит криволинейный интеграл первого рода покривой γ.Аналогично варианту 2, если кривая γ имеет конечную длину,то(δ γ , 1) = dγ = |γ|γ— длина кривой γ;δ γ (M ) =1| γ|+∞, M (x, y, z) ∈ γ;0, M ∈ γ;δ γ (x, y, z)dx dy dz = 1,R3251δ γ играет роль единичного заряда (или единичной| γ|массы), сосредоточенного на кривой γ.Пример 1.15. Пусть кривая γ задается уравнениями y = y0 ,x = x0 (т. е. γ — это прямая).
Тогда δ γ = δ(x − x0 )δ(y − y0 ).4. Нормальная производная δ-функции («двойной слой»).Это обобщение функции δ (x) на случай нескольких переменных. Пусть S — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность в R3 .∂ δSТогда для любой ϕ из D(R) определим функциюследующим∂nобразом:∂ δS∂ϕ,ϕ =−(x, y, z)dS,∂n∂nт. е.
функцияS∂ϕгде— нормальная производная ϕ, т. е. производная ϕ по напра∂n∂ δSназываетсявлению n; n — нормаль к S. Обобщенная функция∂n«двойным слоем» на поверхности S по нормали n и описываетплотность зарядов, соответствующую распределению диполей наповерхности S с единичной поверхностной плотностью моментов.Глава 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙДля решения обыкновенных дифференциальных уравнений иуравнений с частными производными очень полезны интегральныепреобразования, такие как преобразование Лапласа, преобразование Фурье и многие другие.2.1.
Определение и основные свойства преобразования ФурьеСимволом L1 (R) обозначим множество всех абсолютно интегрируемых на R функций, т. е.|f (x)|dx < ∞}.L1 (R) = {f : R → C,RОпределение (преобразования Фурье). Преобразованием Фурье (интегралом Фурье) функции f ∈ L1 (R) называется функция26f : R → C, определенная по формуле+∞f (x)e−ixy dx.f(y) =−∞Замечание. Для любых действительных x и y верно неравенство e−ixy ≤ 1, следовательно, для любого действительного y:+∞|f(y)| ≤|f (x)|dx < ∞, т. е.
f(y) — непрерывная на R и огра−∞ниченная функция.Теорема (обращения). Пусть функция f ∈ L1 (R) — непрерывна на R за исключением, быть может, изолированных точек. Тогдав каждой точке, в которой функция f дифференцируема, справедлива формула+∞1f(y)eixy dy.f (x) =2π−∞Замечание. Так как функция f не обязательно является абсолютно интегрируемой на R, то интеграл в теореме обращения надо понимать как интеграл в смысле главного значения:+∞−∞+R≡ v.p.= lim.−∞−∞R→0−RЗамечание.
Для функции g(y) функцию1g(x) =2π+∞g(y)eixy dy−∞будем называть обратным преобразованием Фурье функции g. Таким образом, по теореме обращения f = f.Пример 2.1. Найдем преобразование Фурье прямоугольногоимпульса x1, |x| ≤ a, a > 0.f (x) = η(a − |x|) =≡ rect0, |x| > a2a27Итак,f(y) =+∞a2 sin yaeiya − e−iya−ixy=f (x)edx = e−ixy dx =.iyy−∞−asin yx = sinc y.обозначается как sinc y, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
