Бутко Я.А. Элементы функционального анализа и методы математической физики. Ч.1. Под ред. М.М. Сержантовой (2011), страница 4

rectyПример 2.2. Найдем преобразование Фурье функции f (x) =2−ax:=e+∞2f (y) =e−ax e−ixy dx.Функция−∞Преобразуем степень экспоненты, выделив полный квадрат:−ax2 − ixy = −a(x +тогдаf(y) = ey2− 4aiy 2 y 2) − ,2a4a+∞iy 2e−a(x+ 2a ) dx.−∞Под интегралом стоит аналитическая в C функция переменнойx ∈ C, стремящаяся к нулю вдоль каждой прямой, параллельнойвещественной оси (при |Re x| → ∞).

Поэтому в силу теоремыКоши интеграл не изменит своего значения, если его взять не подействительной оси, а по любой другой прямой, параллельной этойiyоси. Возьмем его по прямой x = z − , z ∈ (−∞, +∞), тогда2a+∞y2y2π− 4a− 4a−az 2,edz = ef (y) = ea−∞+∞√π − y2−z 2так как интеграл Пуассонаe 4a .e dz = π. Итак, f (y) =a−∞x21получим f (x) = e− 2 , f(y) =Замечание. В случае a =2y2x2√= 2πe− 2 . Функция f (x) = e− 2 называется гауссовской экспо-28нентой и часто встречается в теории вероятностей и математической статистике. Также она представляет собой фундаментальноерешение оператора теплопроводности. Аналогично можно найтиix21преобразование Фурье функции f (x) = √e 2 (с помощью за2 πiмены переменных и леммы Жордана нужно перейти к интегралу отiy 2√гауссовской экспоненты, [4]).

При этом f(y) = 2πie 2 . Функцияix21f (x) = √e 2 представляет собой фундаментальное решение2 πiоператора Шредингера.Предложение 2.1. Если f ∈ L1 (R) то f — ограниченная непрерывная функция, причем f(y) → 0 при |y| → ∞.Доказательство можно найти в работе [3].Предложение 2.2. Если f , f ∈ L1 (R), причем для f в любой точке x ∈ R cправедлива формула Ньютона — Лейбницаxf (x) = f (0) + f (t)dt, то преобразованием Фурье функции f (x)0является функция iy f(y), т. е. f (y) = iy f(y).Действительно,+∞f (y) =f (x)e−ixy dx.−∞Интегрируя по частям, получим+∞x=+∞−ixy f (y) = f (x)e+ iyf (y)e−ixy dx = iy f(y).x=−∞−∞Последнее равенство выполняется в силу того, что функция f (x) —+∞|f (x)|dx < ∞, а значит,абсолютно интегрируема на R, т.

е.−∞x=+∞f (x) → 0 при |x| → ∞. Из этого следует, что f (x)e−ixy x=−∞ = 0.29Следствие. Если f, f , . . . f (k) ∈ L1 (R), причем для f (k−1) влюбой точке x ∈ R cправедлива формула Ньютона — Лейбница, то(k) (y) = (iy)k f(y).f(k) (y) = (iy)k f(y) → 0 при |y| → ∞Замечание. Так как fпо предложению 2.1, то f(y) → 0 при |y| → ∞ быстрее, чем1. Таким образом, чем больше производных есть у функции f в|y k |L1 (R), тем быстрее убывает на бесконечности ее преобразованиеФурье.Предложение 2.3.

Если f (x) и xf (x) принадлежат L1 (R),то преобразованием Фурье функции −ixf (x) является функцияdf(y)(x) = (f) .= (f) , т. е. −ixfdyДействительно,df(y)dd−ixy(f ) (y) =f (x)edx = f (x) (e−ixy )dx ==dydydyR R(x).= −i xf (x)e−ixy dx = −ixfИнтегралRxf (x)e−ixy dx существует, так как xf (x) ∈ L1 (R).Rkf =Следствие.

Если f , −ixf, . . . , (−ix)k f ∈ L1 (R), то (−ix)(k)= (f ) .Замечание. Предложение 2.3 утверждает также само существование производной преобразования Фурье. Таким образом, чембыстрее убывает функция f на бесконечности (т. е. чем для более высоких степеней k функция (−ix)k f ∈ L1 (R)), тем большепроизводных существует у ее преобразования Фурье.Введем пространство S(R) функций f : R → C, бесконечнодифференцируемых на всей прямой и убывающих на бесконечности вместе со всеми своими производными быстрее, чем любая1, т.

е.степень|x|S(R) = {f ∈ C ∞ (R) | ∀m, n ∈ N xm · f (n) (x) → 0 при |x| → ∞}.30Пространство S(R) называется пространством быстро убывающихфункций, или пространством Шварца. Из замечаний к предложениям 2.2 и 2.3 вытекает следствие (см. ниже).Cледствие. Для любой функции f из S(R) ее преобразованиеФурье f также принадлежит S(R).Предложение 2.4. Преобразованием Фурье функции f ∗ g служит функция f · g, т. е. f∗ g = f · g.Действительно,+∞f∗ g(y) =f ∗ g(x)e−ixy dx =−∞⎛ +∞⎞+∞ ⎝f (z)g(x − z)dz ⎠ e−ixy dx ==−∞ −∞⎛ +∞+∞f (z) ⎝=−∞⎞g(x − z)e−ixy dz ⎠ dx =−∞⎞⎛ +∞+∞=f (z) ⎝g(x1 )e−ix1 y dx1 ⎠ e−izy dz =−∞−∞+∞f (z)e−iyz dz = f(y)g (y).= g(y)−∞Замечание.

Для функций f, g ∈ S(R) справедливо и двойственное свойство: f· g = f ∗ g.Предложение 2.5. Прямое и обратное преобразования Фурье1 f (−·), где символ f (−·)связаны следующим образом: f(·) =2πобозначает функцию f от аргумента −x.Действительно,1f(y) =2π+∞+∞11 f (x)eixy dx =f (−z)e−izy dz =f (−·)(y).2π2π−∞−∞31Предложение 2.6. Преобразование Фурье обладает также следующими свойствами:1) [af+ bg] = af + bg для любых чисел a, b;1y2) f(ax) = f( );a a3) f (x + c) = e−iyc f(y);4) eicxf (x) = f(y + c).Замечание.

Преобразование Фурье хорошо обобщается на случай функций нескольких переменных. Пусть x = (x1 , . . . , xn ) ∈nn∈ Rn , функция f : R → C — абсолютно интегрируема на R ,f (x)e−ix·y dx, где x · y — скалярное произведениетогда f(y) =Rnвекторов x и y. При этом в обратном преобразовании Фурье будетстоять множитель (2π)−n .2.2. Преобразование Фурье обобщенных функцийРассмотрим пространство Шварца S(R). Введем на пространстве S(R) понятие сходимости последовательности функций.Определение. Последовательность функций {ϕn }∞n=1 ⊂ S(R)сходится к функции ϕ ∈ S(R) в пространстве S(R), если для всех(k)m, k ∈ N ∪ {0} равномерно по x ∈ R xm ϕn (x) → xm ϕ(k) (x).Oтметим, что D(R) ⊂ S(R) и из сходимости в D(R) следуетсходимость в S(R).

Тем не менее пространства S(R) и D(R) не2совпадают, так как, например, функция e−x принадлежит S(R) ине принадлежит D(R).Предложение 2.7. Пространство Шварца обладает следующими свойствами:1) S(R)—линейное пространство;2) для любой ϕ ∈ S(R) ее производная k-го порядка ϕ(k) ∈∈ S(R);3) для любой ϕ(x) ∈ S(R) и a ∈ R функция ϕ(x − a) ∈ S(R);4) если ψ ∈ C ∞ (R) вместе со всеми своими производнымирастет на бесконечности не быстрее полинома, то для любойϕ ∈ S(R) функция ϕψ ∈ S(R).32Определение (обобщенных функций медленного роста).Примем пространство S(R) за пространство основных функций.Рассмотрим множество всех линейных непрерывных функционалов на S(R). Это множество будем называть пространствомобобщенных функций медленного роста и обозначать S (R).

(Непрерывность функционала F на пространстве S(R) определяетсятак же, как и непрерывность функционала на пространстве D(R).)Предложение 2.8. Верно вложение: S (R) ⊂ D (R).Действительно, если f — непрерывное линейное отображениепространства S(R), то оно тем более непрерывное линейное отображение его подпространства D(R).2Пример 2.3. Рассмотрим функцию f (x) = ex . Тогда f (x) ∈∈ Lloc1 (R), т. е. f — локально абсолютно интегрируемая функция и,следовательно, ей соответствует обобщенная функция f ∈ D (R).2Так как функция f (x) = ex растет быстрее, чем любая функmция |x| , то не для всех функций из S(R) существует интегралf (x)ϕ(x)dx. Таким образом, f ∈ D (R), но f ∈ S (R).RПример 2.4.

Дельта-функция Дирака может быть определенапо формуле (δ, ϕ) = ϕ(0) для любой непрерывной на R функцииϕ, в частности, для любой ϕ ∈ S(R). Таким образом, δ ∈ S (R).Теперь определим сходимость в пространстве S (R). Определяется она аналогично сходимости в пространстве D (R).Определение. Функционал f ∈ S (R) является (слабым) пределом последовательности функционалов {fn }∞n=1 ⊂ S (R), еслидля любой ϕ из S(R) числовая последовательность (fn , ϕ) → (f, ϕ)при n → ∞.Замечание. Для определения преобразования Фурье на множестве обобщенных функций необходимо рассматривать обобщенные функции, принимающие комплексные значения.

Таким образом, далее будем считать, что пространство обобщенных функцийS (R) — это пространство всех линейных непрерывных функционалов на S(R), принимающих комплексные значения. Тогдарегулярную обобщенную функцию f ∈ S (R), соответствующую«обычной» функции f ∈ Lloc1 (R), будем задавать по формуле33+∞(f, ϕ) =f (x)ϕ(x)dx,∀ϕ ∈ S(R), где f (x) — комплексно-−∞сопряженное к f (x) число. Если f : R → R, то f (x) = f (x).Определение (преобразования Фурье обобщенных функций).

Преобразованием Фурье обобщенной функции F из S (R)называется обобщенная функция F ∈ S (R), действующая поформуле(F, ϕ) = 2π(F, ϕ) ∀ϕ ∈ S(R). , получим формулуОбозначив ϕ = ψ, ϕ = ψ ) ∀ψ ∈ S(R).(F, ψ) = 2π(F, ψПроверим корректность определения. Пусть F — регулярнаяобобщенная функция, т.

е. ∃f ∈ Llocf (x)ϕ(x)dx.1 (R) : (F, ϕ) =RПусть, кроме того, функция f ∈ L1 (R), т. е. существует ее преобразование Фурье f в обычном смысле. Покажем, что функцииf соответствует обобщенная функция, определенная по формуле ) для любой ψ из S(R). Итак,(f, ψ) = 2π(F, ψ⎛⎞1 = f (x) ⎝ ) = f (x) ψ(x)dx(F, ψψ(y)eixy dy ⎠ dx =2πR=1=2π12πR RRf (x)eixy ψ(y)dy dx =R R⎞⎛⎝Rf (x)e−ixy dx⎠ ψ(y)dy ==f(x)1=2πR1 f(x)ψ(y)dy =(f , ψ).2πОтметим, что при таком определении все свойства преобразования Фурье сохраняются.34Пример 2.5. Найдем преобразование Фурье δ-функции Дирака:2πixy (0) = ) = 2π ψ( δ, ψ) = 2π(δ, ψψ(y)e dy =2πRx=0=ψ(y) · 1dy = (1, ψ).RТаким образом, δ = 1.Пример 2.6. Найдем преобразование Фурье обобщенной функции f (x) ≡ 1.