Выбор рациональных параметров системы подрессоривания быстроходных гусеничных машин, страница 11

Дважды проинтегрируем посовместную плотность вероятностии̇ в пределах взаимного изменения этих величин. Поскольку как для стационарного процесса̇̇ ,то получим:̇∫∫̇̇̇̇∫̇∫̇̇67̇∫∫̇̇̇̇̇∫∫̇̇̇В этих выражениях– математическое ожидание,–дисперсия.C учетом выражений (2.40 - 2.43) дифференциальные уравнения (2.39) послестатистического усреднения примут следующий вид:∑[(∑ [∑[()()())]()()]]}68Дифференциальные уравнения (2.44) связывают между собой центрированные стационарные случайные составляющие и неслучайные составляющие. Для разделения этих составляющих применим операцию математического ожидания к правым и левым частям уравнений системы (2.44).В результате получим систему дифференциальных уравнений дляопределения случайных составляющих (2.45):()∑[(((())])∑[()∑[()()]()])}и систему алгебраических уравнений, связывающих неслучайные (для стационарных случайных процессов) составляющие (2.46):69∑∑∑}Из уравнений (2.46), в частности следует вывод, что сумма среднихзначений сил, действующих от катков на корпус ГМ, равна его подрессоренному весу, а сумма моментов средних значений сил, относительно поперечной оси и продольной оси, проходящих через ЦМ машины, равна нулю.Уравнения (2.45) и (2.46) являются статистически линеаризованнымиуравнениями, позволяющими произвести теоретико-вероятностные исследования колебаний корпуса ГМ при ее движении со случайной скоростью поместности, профиль которой изменяется случайным образом.2.5 .

Определение статистиче ских коэффициентовлинеаризацииРассмотренная статистическая линеаризация нелинейных сил, действующих от катков через детали и узлы подвесок на корпус ГМ, являетсяосновой для приближенного теоретико-вероятностного исследования замкнутой динамической системы: «СП – корпус ГМ» в рамках корреляционной теории.Как следует из вышеизложенного, нелинейные преобразования, входящие в динамическую систему, заменяются статистическими линеаризованными преобразованиями.

С эквивалентными коэффициентами усилия и другими параметрами. Эти параметры зависят от вероятностных характеристикслучайной функции возмущения.70Как следует из выражений (2.32) и (2.33), если известна совместная̇ ), то при заданных характеристиках ((плотность распределения̇)определение эквивалентных коэффициентов не вызывает принципиальныхтрудностей.Если- стационарная функция, то для нашей задачи будут так жестационарными обобщенные координатыи,, так и координата относи-тельного хода катка.

Следовательно, совместную плотность распределенияслучайных функцийи ̇ можно представить в виде̇)(̇ .(2.47)Задача определения плотностей распределенияи̇оченьсложна, т.к. требуется СП с различающимися своими характеристиками идля различных энергетических характеристик возмущения каждый раз производить большой объем статистической обработки величин относительныхходов катков и их скоростей, получаемых в ходе экспериментов.

Естественно, что такой подход к определениюи̇кроме своей сложностиимеет весьма существенные недостатки, заключающиеся в том, что для проектируемых СП задача становиться неопределенной.Значительно проще этот процесс решается, если относительное перемещение -го катка, а, следовательно, и ̇ , имеют нормальное распределе-ние.Введем основное предположение, заключающиеся в том, что законраспределения относительного перемещения катка на входе нелинейногоэлемента является нормальным. Оно эквивалентно предположению о нормальности случайных обобщенных координаткак случайные величины,,и,zи. Действительно, такнормальны, то из выражения (2.32) наосновании правила композиции нормальных знаков [15], получается снованормальный закон.Предположение о нормальности выходных сигналов системы, т.е.обобщенных координат,иосновывается на факте нормализации слу-71чайного стационарного процесса при прохождении его через линейные дифференциальные звенья.Для доказательства этого запишем первое уравнение (2.1) в следующемвидё∑В такой записи дифференциальное уравнение (2.48) является линейными его передаточная функцияЕсли на вход линейной системы воздействует случайный сигналто выходной сигнал,определяется интегралом Дюамеля,∫где– импульсная характеристика линейной системы.∫Рассмотрим линейное преобразование (2.50) интегрального вида.

Вэтом преобразовании случайный процесс является ненормальным. Будемсчитать, что(стационарное состояние),вал) корреляции случайного процесса;, где– время (интер-– постоянная времени инерци-онной линейной системы.Времяопределяют как половину ширины основания прямоуголь-ника единичной высоты, площадь которого равна площади под кривой модуля корреляционной функции, отнесенной к дисперсии [127]:̇∫||Представим выражение (2.50) в виде интегральной суммы72∑причем, элементарный интервалвозьмем таким, что. Приэтом, отдельные слагаемые суммы будут практически независимы. Так как, то на интервале интегрирования (0, Т) содержится большое число n независимых случайных членов суммы, и в соответствие с центральной предельной теоремой [22] плотность вероятности суммы будетприближаться к нормальной при увеличении числа слагаемых n.Основным условием для нормализацииявляется соблюдение не-равенствачто эквивалентногде– полоса пропускания частотной характеристики;– полоса суще-ственных частот спектральной плотности возмущения.Таким образом, для нормализации процесса достаточно, чтобы выявлялись условия (2.54).Обычно СП представляют собой фильтр низких частот с полосой пропускания, где– высота среза, выше которой амплитудно-частотная характеристика начинает резко падать, а входное возмущение, а,следовательно, и сумма ∑, действующая на корпус, будут являться ши-рокополосными по отношению к полосе пропускания амплитудно-частотнойхарактеристики (особенно при высоких скоростях движения машины).

Вэтом случае всегда можно предположить, что выходной сигналиметь нормальное распределение. Аналогично можно показать, чтобудетитакже будет иметь нормальное распределние.При соизмеримых между собой правых и левых частях неравенства(2.54) можно было также показать эффект нормализации процесса, но приэтом пришлось бы учитывать наличие корреляционных связей между вели-73чинами суммы (2.52) и расширить центральную предельную теорему каксумму зависимых случайных величин [22].Безусловно эффект нормализации имеет место не при всех условиях иникогда не является полным. Однако в большинстве случаев, встречающихсяв реальной практике, предположение о нормальноститочно разумным результатам, особенно, если подприводит к доста-понимать не действи-тельный ход катка, а изменение расстояния между грунтом и корпусом машины по вертикали, проходящей через ось j–ого катка.Таким образом, будем предполагать, что случайные функцииимеютнормальное распределение.

Следовательно, их совместную плотность распределения можно представить в следующем виде((̇)( ̇)̇)̇√̇√Подставив (2.55) в формулы (2.32 - 2.34), получим после интегрирования выражения для эквивалентных статистических коэффициентов,и .В большинстве случаев, интегрирование правых частей формул (2.32 - 2.34)для реальных характеристик СП, обладающей существенными нелинейностями, представляет собой сложную и весьма кропотливую задачу. Однако,когда на входе нелинейной подвески действует нормальный случайный процесс, представляется возможным во многих случаях вычислить не взаимнуюкорреляционную функцию процесса на выходе подвески, а производные этойфункции по коэффициенту корреляции входного нормального процесса.

После чего искомая взаимная корреляционная функция находится элементарным интегрированием, чем из (2.32), (2.33) и (2.34).Этот способ определения взаимной корреляционной функции на выходе нелинейного элемента является следствием метода контурных интеграловв приложении к нормальным процессам и называется методом производных[68].74Покажем, как метод производных можно применить для вычислениякоэффициентов статистической линеаризации.̇) с помощью двойного инте-(Представим характеристику силыграла в следующем виде(̇)̇∬где∬Здесьи̇)(̇– контуры интегрирования.Для удобства записи положим̇Тогда выражение (2.56) можно представить в виде∬Очевидно, можно также записать, что∫где для взаимной корреляционной функции будем иметь[∭[∫]∭∬]75Здесь предполагается, чтоивзято при времени, а– при;.

Изменив порядок интегрирования, (2.64) можно записать в следующем вид∫ ∫ ∫где- характеристическая функция определяемая следующимвыражением:∭Для нормального процесса трехмерная характеристическая функциябудет равна [16]:[]Из (2.62) непосредственным интегрированием кратного интеграла попараметру R13 находим∭Дифференцируя выражение для трехмерной характеристической функции (2.63) и учитывая (2.62), получаем76∭Подставляя в (2.64) вместо производной от трехмерной характеристической функции нормального случайного процесса ее выражение для преобразования Фурье, определяемое правой частью (2.65), будем иметь после изменения порядка интегрирования∭[[∬]∫]В соответствии с (2.62) и (2.63) выражения, заключенные в квадратные скобки, соответственно равны:∬∫Поэтому правую часть выражения (2.66) с учетом (2.67) и (2.68) можнопредставить в следующем виде∭∬Левая часть этого выражения не зависит от , поэтому∬77Предположив в этой формуле, с учетом (2.57) будем иметь̇∬̇̇Из физических соображений ясно, чтоТаким образом, вы-ражение для взаимной корреляционной функции относительно хода катка исилы, действующей от катка через подвеску на корпус машины, будет иметьследующий вид̇∬̇Взаимная корреляционная функция̇по форме совпадает с кор-реляционной функцией относительного хода катка.

Положив в (2.72)учитывая, чтои, будем иметь для коэффициентов жесткости и со-противления подвески соответственно̇∬∬̇̇̇̇̇̇Перейдем теперь к преобразованию выражения для постоянной составляющей. Представив характеристику силы̇ с помощью двойногоконтурного интеграла (2.56), выражение для постоянной составляющейвсоответствии с формулой (2.30) можно после изменения порядка интегрирования записать в виде∬где- двумерная характеристическая функция нормального про-цесса, определяемого следующим выражением:78∬[], ̇Здесь, как и прежде,.Продифференцировав (2.74) по математическому ожиданию, и учи-тывая, что в соответствии с (2.76)получим∬∬ [∬]Так как выражение, заключенное в скобки, в соответствии с (2.67) равно⁄, то формулу (2.78) можно представить в таком виде∬̇̇̇Если же учесть формулу (2.73), то будем иметьТаким образом, если известно выражение длящем случае функциейпо,и̇, которое, будет в об-, то, продифференцировав это выражение, получим коэффициент статистической линеаризации.

Проиллю-стрируем метод производных несколькими примерами. Сначала получим вы-79ражение для коэффициентов статистической линеаризации силы, действующей от подвески, в которой присутствует демпфер. Тогда в соответствии с(2.30), (2.31), (2.32) получим∫∫То есть характеристика силы аппроксимирована кусочно-линейной зависимостью{Тогда в соответствии с выражением (2.81) имеем∫Так как для нормального закона√дляполучим:[(√)]Для рассматриваемой задачи в соответствии с (2.73) коэффициент статистической линеаризации будет равен[]где в выражениях (2.83) и (2.84)- интеграл вероятности Гаусса или ин-теграл ошибок√∫80В качестве второго примера применения метода производных, рассмотрим методику определения коэффициентовидля подвески с гидрав-лическим амортизатором (демпфером), работающей только на прямом ходукатка.