Выбор рациональных параметров системы подрессоривания быстроходных гусеничных машин, страница 10

Этот критерий можно сформулировать следую-щим образом:[ ][]([] )([] )[ ].ЗдесьВторой критерий состоит в выполнения условия минимума математического ожидания квадрата разности истинной и аппроксимирующей случайной функций:([] )Замечено, что во многих случаях, когда первый из этих критериевобеспечивает завышенное значение корреляционной функции нелинейногослучайного процесса по сравнению с точной, то второй дает заниженное значение [85].Следует отметить, что статистическая линеаризация, согласно второгокритерия, дает результат, эквивалентный методу гармонической линеаризации в теории нелинейных преобразований детерминированных гармонических сигналов [35]. Сам метод гармонической линеаризации можно рассматривать как метод наилучшего приближения в смысле минимума среднеквадратического отклонения, причем среднее берется по времени за период. Этоявляется частным проявлением, так называемого свойства коэффициентовряда Фурье. Метод гармонической линеаризации нелинейных динамическихсистем получил в настоящее время широкое распространение при теоретических исследованиях и расчете СП ГМ [35, 60, 96 - 98, 103].

Поэтому весьмаважной является задача использования накопленных результатов исследования систем подрессоривания с позиций гармонической линеаризации для вероятностно-теоретических исследований этих систем. Наиболее просто этазадача решается, если при вероятностно-теоретических исследованиях используется метод статистической линеаризации, согласно второго критерия.59Для реальных систем подрессоривания ГМ значения статистическихкоэффициентов, вычисленных согласно обоих критериев, оказываются оченьблизкими друг к другу по своей величине. Поэтому, учитывая вышеприведенные соображения, а также то, что весь метод является приближенным и,что вычисление статистических коэффициентов, согласно второго критерияаппроксимации, осуществляется значительно легче, ввиду более простойструктуры получающихся формул, то аппроксимацию нелинейной случайнойфункции (̇ ) будем проводить согласно второго критерия.Будем рассматривать обобщенные координаты ,икак случайныестационарные функции (здесь и далее стационарность случайных функцийпредполагается, по крайней мере, в широком смысле, т.е.

определяемая только их моментами первых двух порядков). В теории случайных функций [86,105] устанавливается следующий результат: если на вход стационарной динамической системы поступает случайная функция, выходную случайнуюфункцию можно считать стационарной в том случае, когда момент времени,для которого отыскивается решение, достаточно велик для того, чтобы можно было приять, что все переходные процессы, связанные с начальнымиусловиями, затухнут. Для нашей задачи условия, необходимые для установления стационарного режима случайных колебаний, выполняются достаточно хорошо. Предполагая, что возмущение, передаваемое от катка через СП накорпус, представляет собой стационарную случайную функцию. Следовательно, динамическая система «корпус ГМ – система подрессоривания» является стационарной, т.к.

нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие колебания корпуса машины, имеют постоянные коэффициенты, которые практически не зависят от времени и представляют собой комбинациииз постоянных параметров системы, т.е. комбинации из постоянных физических величин, характеризующих систему. Наконец, СП современных ГМ обладают хорошими демпфирующими свойствами [35], что обеспечивает быстрое затухание переходных процессов, связанных с начальными условиями.60Если,zиные хода катковстационарные случайные функции, то и относитель-,, в соответствии с (2.10) будут также стационарными, а,̇ ) (производная стацио-(следовательно, будут стационарными и силынарного случайного процесса также стационарна). Поэтому математическиеожидания случайных процессовине будут зависеть от времени, а мате-матическое ожидание случайного процесса ̇ будет равно нулю.В этом случае выражения (2.13), (2.14), (2.15) примут вид:̇Поставив в формулу (2.19) выражения (2.17), получим для общего случая̇{[] }(2.23)Выражение (2.23) после возведения в квадрат можно записать в следующем виде[][[][ ̇][[]̇ ][[ ̇]]][̇(2.24)].Выполняя операцию математического ожидания для отдельных членови учитывая стационарности, будем иметь:[[ ̇ ][][̇][̇[[]]]̇[ ̇]](2.25)61̇[]̇Подставив значения математических ожиданий, определяемых выражениями(2.25) в (2.24), будем иметь̇.̇Здесь,икаткаи скорости относительного хода катка ̇ ;̇(2.26)- соответственно дисперсии силы , относительного хода,̇,̇- взаимные корреляционные функции в совпадающие моменты времени.При заданных значенияхфункцией параметровфункции,,,,̇,,величина̇являетсяи .

Приравнивая к нулю частные производныепо параметрам, и , получим следующие выражения:̇̇Легко показать, что необходимые условия (2.27) экстремума функцииопределяют в данном случае минимум этой функции. Из условий минимумаследуют формулы для определения эквивалентных статистических коэффициентов:̇̇Эти формулы позволяют при изучении случайных стационарных процессов колебаний корпуса ГМ заменять нелинейные силы эквивалентными (встатистическом смысле) линейными силами62̇Подставив в дифференциальные уравнения (2.1) вместо силближенные выраженияих при-, получим систему линейных дифференциальныхуравнений, с определнной точностью характеризующих случайные стационарные колебания корпуса ГМ̈̈̈∑∑∑̇∑̇∑̇∑∑∑∑Эти уравнения позволяют применить для исследования нелинейныхСП хорошо разработанные и сравнительно простые методы исследованиястационарных линейных систем [35, 82].

Необходимо отметить, что эквивалентная статистическая линеаризация, тем не менее, отражает особенностинелинейных СП. Это выражается в том, что эквивалентные статистическиекоэффициенты остаются постоянными для определенного энергетическогоспектра возмущений и с изменением его они меняют свое значениеУчитывая выражение (2.27) для центрированной составляющей случайного процессаследующем виде, дифференциальные уравнения можно представить в63̈̇̇̇̇ )∑(̈̇̇ )∑ (̈̇̇̇∑̇̇̇ )(}Здесь;∑∑∑∑∑∑(2.31)∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑На основании формул (2.28) и определений математического ожиданияи взаимной корреляционной функции выражения для эквивалентных коэф-64фициентов статистической линеаризациии,можно записать в общемвиде следующим образом:̇) (∬ (̇)̇∬() (̇) (∬ ̇ (̇) (̇)̇)̇̇Из анализа выражений следует, что коэффициенты,ибудут за-висеть, с одной стороны, от параметров, характеризующих двухмернуюплотность вероятностикоэффициент(̇ ).

Коэффициентимеет размерность силы,размерность коэффициента жесткости упругого элемента иразмерность коэффициента сопротивления амортизатора. Поэтому в дальнейшем эти коэффициенты будем называть:- постоянная составляющая силы;- эквивалентный коэффициент жесткости;- эквивалентный коэффициент сопротивления амортизатора.Можно перейти к исследованию колебаний корпуса ГМ из временной впространственную область, характеризуемой координатойэтого осуществим замену переменнойпеременнойпути ГМ.

Дляпри помощи диффе-ренциального соотношениягде- скорость прямолинейного движения ГМ. Тогда, для обобщеннойкоординаты и ее производных будем иметь:[]65[]Аналогичные формулы перехода от аргументаются и для , ,гаем, чток аргументуи их производных. При переходе к аргументуполучапредпола-является непрерывным случайным процессом, допускающим,по крайней мере, двукратное дифференцирование в статистическом смысле[69].Осуществив замену аргументааргументоми проведя операциюстатистического усреднения дифференциальных уравнений, получим систему дифференциальных уравнений:[]∑[[()]]∑ [[()()()()()]]∑[]}Полученные дифференциальные уравнения характеризуют случайныеколебания корпуса ГМ по пути движения с учетом случайного изменения66скорости движения по времени.

При исследовании этих уравнений будемучитывать, что скорость движения, вследствие стационарностипредставляет собой случайный стационарный, по крайней мере, в широкомсмысле процесс, т.е. математическое ожидание этого процесса (средняя скорость движения)и корреляционная функцияне зависят от времени.Кроме того, будем считать, что скорость движениявсецело в вероят-ностном смысле определяется характером распределений сопротивленияпрямолинейному движению машины и высот неровностей микропрофиля(спуски и подъемы).

Тем самым мы вводим предположение, что скоростьдвижения ГМи высота неровностей микропрофиля, обуславлива-ющая колебания корпуса машины, являются статистически независимымислучайными процессами. Поэтому можно также считать, чточески не связана с обобщенными координатами ,статисти-и .Так как при статистических исследованиях динамических систем изучают поведение этих систем лишь в общих чертах, «в среднем», то осуществим усреднение дифференциальных уравнений (2.39) пои ̇. Дляэтой цели, умножим левые и правые части дифференциальных уравнений на̇ .