Сенин А.И. Учебное пособие Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010) (Сенин А.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010))

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаУчебное пособиеА.И. СенинСТАТИСТИЧЕСКАЯРАДИОТЕХНИКА.ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.И. СенинСТАТИСТИЧЕСКАЯРАДИОТЕХНИКА.ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИРекомендовано Научно-методическим советомМГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2010УДК 621.396(075.8)ББК 32.84C31Рецензенты: С.И. Масленникова, В.А. ХачикянC31Сенин А.И.Статистическая радиотехника.

Примеры и задачи : учеб.пособие / А.И. Сенин. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,2010. – 71, [1] с. : ил.Учебное пособие содержит примеры и задачи по основным разделам курса «Статистическая радиотехника». В каждом разделе пособия приведены справочные теоретические сведения, подробно рассмотрены типовые примеры, даны задачи для самостоятельного решения.Для студентов, обучающихся по специальности «Радиоэлектронные системы».УДК 621.396(075.8)ББК 32.84Учебное изданиеСенин Александр ИвановичСТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА.ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИРедактор О.М.

КоролеваКорректор М.А. ВасилевскаяКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать 15.01.2010. Формат 60×84/16.Усл. печ. л. 4,19. Тираж 300 экз. Изд. № 34.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010ПРЕДИСЛОВИЕУчебное пособие представляет собой сборник примеров и задач по курсу «Статистическая радиотехника».

Его цель — помочьстудентам усвоить теоретические основы статистической радиотехники, приобрести навыки по решению практических задач.Пособие состоит из четырех разделов, охватывающих основные вопросы курса. В начале каждого раздела даны краткие теоретические сведения в объеме, необходимом для решения задач.Методика их применения иллюстрируется на большом количестверазобранных примеров. В конце каждого раздела приведены задачи с ответами для самостоятельного решения.При подборе примеров и задач была использована в основном отечественная литература. Большинство задач содержат какойлибо существенный элемент, освещающий общие положения теории, и имеют практическую направленность.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ1.1. Краткие теоретические сведенияСлучайный процесс описывается случайной функцией ξ(t),значение которой в любой момент времени t представляет случайную величину с определенным законом распределения.Наиболее полными характеристиками случайного процессаξ(t) являются:• n-мерная функция распределения вероятностейFn (x1 , x2 , .

. . , xn ; t1 , t2 , . . . , tn ) == P {ξ(t1 ) < x1 , ξ(t2 ) < x2 , . . . , ξ(tn ) < xn }(1..1)(она определяет вероятность совместного выполнения n неравенств ξ(t1 ) < x1 , ξ(t2 ) < x2 , . . . , ξ(tn ) < xn , где ξ(ti ),i = 1, 2, . . . , n — значение случайного процесса в момент времени ti );• n-мерная плотность распределения вероятностейwn (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , .

. . , tn ) =∂ n Fn (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . . , tn )=;(1..2)∂x1 ∂x2 . . . ∂xn• n-мерная характеристическая функцияYnθn (ju1 , ju2 , . . . , jun ; t1 , t2 , . . . , tn ) = Mexp(jui ξi ) =i=1=Z∞−∞...Z∞−∞exp(ju1 x1 + . . . + jun xn )××wn (x1 , . . . , xn ; t1 , .

. . , tn )dx1 . . . dxn ,4(1..3)где M{ξ} — математическое ожидание случайной величины ξ. Чембольше значение n, тем более детально описывается случайныйпроцесс.Указанные характеристики равноценны в смысле количестваинформации о случайном процессе, содержащейся в каждой изних.Плотность распределения вероятностей удовлетворяет следующим условиям:1) wn (x1 , x2 , . . .

, xn ; t1 , t2 , . . . , tn ) > 0 (условие положительнойопределенности);Z∞Z∞...wn (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . . , tn )dx1 dx2 . . . dxn = 12)−∞−∞(условие нормировки);3) wk (x1 , x2 , . . . , xk ; t1 , t2 , . . . , tk ) =Z∞−∞...Z∞wn (x1 , x2 , . . . ,−∞xn ; t1 , t2 , . . . , tn )dxk+1 dxk+2 . . . dxn , k < n (условие согласованности);4) плотность распределения вероятностей wn (x1 , x2 , . .

. , xn ;t1 , t2 , . . . , tn ) не изменяется при любой перестановке аргументовx1 , x2 , . . . , xn (условие симметрии).Многомерные характеристики случайных процессов являютсянаиболее полными. Однако при решении ряда задач оказываетсядостаточным знание более простых характеристик. К ним относятся так называемые моментные функции.Различают начальные и центральные моментные функции.В общем виде n-мерная начальная моментная функция порядкаν = ν1 + ν2 + . . . + νn , где νi — целые числа, определяетсяследующим образом:М ν1 ν2 ...νn (t1 , t2 , . . . , tn ) = M{[ξ(t1 )] ν1 [ξ(t2 )] ν2 . . .

[ξ(tn )] νn } =Z∞Z∞...x1ν1 x2ν2 . . . xnνn wn (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . . , tn )×=−∞−∞×dx1 dx2 . . . dxn .(1..4)Центральные моментные функции определяются так же, как иначальные, но вместо случайных величин ξ(ti ), i = 1, 2, . . . , n,5в формуле (1.4) берут центрированные случайные величиныξ(ti ) − m ξ (ti ), где m ξ (ti ) — математическое ожидание случайной величины ξ(ti ).На практике наибольшее применение получили:1) одномерная начальная моментная функция первого порядкаZ∞M1 (t) = M {ξ(t)} =xw1 (x; t)dx = m ξ (t)(1..5)−∞— математическое ожидание случайного процесса ξ(t);2) двумерная начальная моментная функция второго порядка=M11 (t1 , t2 ) = M {ξ(t1 )ξ(t2 )} =Z∞x1 x2 w2 (x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1 dx2 =Z∞−∞ −∞= K ξ (t1 , t2 )(1..6)— ковариационная функция случайного процесса;3) двумерная центральная моментная функция второго порядка=μ11 (t1 , t2 ) = M{[ξ(t1 ) − m ξ (t1 )][ξ(t2 ) − m ξ (t2 )]} =Z∞[x1 − m ξ (t1 )][x2 − m ξ (t2 )]w2 (x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1 dx2 =Z∞−∞ −∞= R ξ (t1 , t2 )(1..7)— корреляционная функция случайного процесса;4) одномерная центральная моментная функция второго порядкаμ2 (t) = M{[ξ(t) − m ξ (t)] } =2= M2 (t) −m2ξ (t)Z∞−∞[x − m ξ (t)]2 w1 (x; t)dx == R ξ (t, t) = D ξ (t)(1..8)— дисперсия случайного процесса.Моментные функции можно найти через характеристическиефункцииМ ν1 ν2 ...νn (t1 , t2 , .

. . , tn ) = −j (ν1 +ν2 +...+νn ) ×6∂ ν1 + ν2 +...+ νn×∂u1ν1 ∂u2ν2 . . . ∂unνn×Qn (ju1 , ju2 , . . . , jun ; t1 , t2 , . . . , tn )×(1..9).u1 =u2 =...=un =0СоответственноQn (ju1 , ju2 , . . . , jun ; t1 , t2 , . . . , tn ) = 1 + jnXM (t μ )u μ +μ=1nn1 XXM11 (t μ , t ν )u μ u ν ++ j22!μ=1 ν=11+ j33!n Xn XnXM111 (t μ , t ν , t λ )u μ u ν u λ + . .

.(1..10)μ=1 ν=1 λ=1Случайный процесс называется стационарным в узком смысле,если плотность распределения вероятностей произвольного порядка не меняется при одновременном сдвиге всех точек t1 , t2 , . . . , tnвдоль оси времени на любой промежуток времени τ. В частности,для таких процессовw1 (x, t) = w(x);w2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ) = w2 (x1 , x2 ; t2 − t1 ) = w2 (x1 , x2 ; τ);M{ξ(t)} = m ξ = const;D ξ (t) = D ξ = const;(1..11)R ξ (t1 , t2 ) = R ξ (τ).Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, еслиM{ξ(t)} = m ξ ;D ξ (t) = D ξ ;R ξ (t1 , t2 ) = R ξ (τ).(1..12)Очевидно, что случайный процесс стационарный в узком смысле является стационарным и в широком смысле.

Обратное утверждение несправедливо за исключением гауссовских случайныхпроцессов, для которых оба понятия стационарности совпадают.Случайный процесс называется эргодическим, если все егостатистические характеристики, полученные путем усреднения помножеству реализаций, с вероятностью, равной единице, совпадают с характеристиками, полученными из одной достаточно длин7ной k-й реализации x(k) (t) случайного процесса путем временногоусреднения.

Для таких процессов в качестве оценок математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции принимаютвеличины:ZT1x(k) (t)dt;(1..13)m̂ ξ = limT →∞ 2T−T1D̂ ξ = limT →∞ 2TZT−T1R̂ ξ (τ) = limT →∞ 2T[x(k) (t) − m ξ ]2 dt;(1..14)ZT(1..15)−T[x(k) (t) − m][x(k) (t + τ) − m]dt.Корреляционная функция стационарного случайного процессаобладает следующими свойствами:1) R ξ (τ) = R ξ (−τ);2) R ξ (0) = D ξ ;3) R ξ (0) > R ξ (τ);4) для многих процессов lim R ξ (τ) = 0;τ→∞Z∞R(τ)e−j ωτ dτ > 0.5)−∞У различных случайных процессов корреляционные связи распространяются на различные промежутки времени.

Для оценкистепени коррелированности случайных процессов пользуются понятием «интервал корреляции», который определяется формулойZ∞Z∞11τk =|ρ(τ)|dτ =|ρ(τ)|dτ,(1..16)2R(0)R(0)−∞0где |ρ(τ)| — модуль огибающей корреляционной функции.Величина τk дает представление о том, на какой временнойпромежуток в среднем распространяются корреляционные связи.Важной характеристикой случайного процесса является спектральная плотность мощности S ξ (ω), определяемая как преобразование Фурье от ковариационной функции.8Для стационарных процессовS ξ (ω) =Z∞K ξ (τ)e−j ωτ dτ.(1..17)−∞Справедливо и обратное преобразование Фурье:1K ξ (τ) =2πZ∞S ξ (ω)ej ωτ dω.(1..18)−∞Для центрированного случайного процесса ξ0 (t)S ξ0 (ω) =Z∞−∞1R ξ0 (τ) =2πR ξ0 (τ)e−j ωτdτ = 2Z∞R ξ0 (τ) cos ωτdτ;(1..19)0Z∞−∞S ξ0 (ω)ej ωτ1dω =πZ∞S ξ0 (ω) cos ωτdω.