Сенин А.И. Учебное пособие Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010) (Сенин А.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010)), страница 5

На безынерционный двусторонний квадратичныйдетектор с характеристикой η = αξ2 , α > 0, воздействует стационарный гауссовский шум ξ(t) с плотностью вероятности1( ξ − m)2w(ξ) = √exp −.2 σ22 πσОпределить плотность вероятности w(η) процесса на выходедетектора.Решение. Так как η > 0, то w(η) = 0 при η < 0. Найдемплотность вероятности w(η) для η > 0. В данном случае обратнаяфункция двузначная:rrηηξ1 =; ξ2 = −.αα40Воспользуемся формулой (3.3) и получим rη2(−m)1  1α+√exp −w(η) = √22σ2 αη πσ2rη2 (− α − m) 1 .+√exp −2 σ22 πσПример 3. На вход безынерционного ограничителя с характеристикой −b, ξ < −β;sξ, −β 6 ξ 6 α;η = ϕ(ξ) =a, ξ > αвоздействует стационарный гауссовский случайный процесс сплотностью вероятности1( ξ − m)2√w(ξ) =exp −.2 σ22 πσОпределить плотность вероятности w(η)процесса η(t)на выходе ограничителя при s > 0.Решение.

Все значения ξ > α преобразуются ограничителемв одно значение η = a, а все значения ξ < −β преобразуются водно значение η = −b, поэтому w(η) = 0 при η > a и η < −b,w(η = a) = λs1 δ(η − a), w(η = −b) = s2 δ(η + b), где s1 иs2 — вероятности того, что ξ > α и ξ < −β; λ — коэффициентпропорциональности, который находится из условия нормировкиплотности вероятности w(η). Для нахождения w(η) на интервале−a ≤ η ≤ b воспользуемся формулой (3.2). Учитывая, что η = sξ,находим 2 η−m 1s1√w(η) =exp − .2σ2s2 πσ41Итак, окончательно0, η < −b, η > a;2 η−m  1 1s√w(η) =exp −+2σ2sπσ2+λs1 δ(η − a) + λs2 δ(η + b), −b 6 η 6 a.Пример 4. Найти плотность вероятности амплитуды напряжения на выходе ограничителя с характеристикойUвх > U0 ;U0 ,Uвых =0 для других Uвх ,если на вход подается случайный процесс с рэлеевским распределением амплитуды.Решение.

Очевидно, чтоw(Uвых ) = sδ(Uвых ) + (1 − s)δ(Uвых − U0 ),гдеs=ZU0w(Uвх )dUвх =0= − expZU002−Uвх2 σ2 2 UвхUвхexp −dUвх =2σ2 σ2U02 = 1 − exp −U0 .2 σ20Пример 5. На нелинейный элемент с характеристикойη = a1 ξ + a2 ξ2воздействует стационарный случайный процессξ(t) = s(t) + n(t),где s(t) = A0 cos(ω0 t + ϕ) — гармонический сигнал с постояннойамплитудой, частотой и случайной начальной фазой ϕ, равномернораспределенной на интервале [−π; π]; n(t) — гауссовский стационарный шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Rn (τ) = σ2 rn (τ).Определить математическое ожидание m η и корреляционнуюфункцию R η (τ) процесса η(t) на выходе элемента при условиистатистической независимости сигнала и шума.42Решение.

По условиюη(t) = a1 [s(t) + n(t)] + a2 [s(t) + n(t)]2 = a1 s(t)++a1 n(t) + a2 s2 (t) + 2a2 s(t)n(t) + a2 n2 (t).Математическое ожидание процесса η(t)m η = M{η(t)} = M{a1 s(t)} + M{a1 n(t)} + M{a2 s2 (t)}++M{2a2 s(t)n(t)} + M{a2 n2 (t)}.Учитывая, чтоM{s(t)} = 0;M{n(t)} = 0; M{s(t)n(t)} = 0,получаемA2m η = a2 0 + a2 σ2n .2Корреляционная функцияR η (τ) = M{η(t)η(t + τ)} − m2η = M{[a1 s(t) + a1 n(t) + a2 s2 (t)++2a2 s(t)n(t) + a2 n2 (t)][a1 s(t + τ) + a1 n(t + τ) + a2 s2 (t + τ)++2a2 s(t + τ)n(t + τ) + a2 n2 (t + τ)]} − m2η == a21A20A4cos ω0 τ + a21 σ2 rn (τ) + a22 0 cos 2ω0 τ+282 2 22 4 2+2a2 A0 σ rn (τ) cos ω0 τ + 2a2 σn rn (τ).Пример 6.

На безынерционный ограничитель с характеристи−b, ξ < −β;sξ, −β 6 ξ 6 α;η=a,ξ> αвоздействует стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функциейкойR ξ (τ) = σ2ξ r ξ (τ).Вычислить математическое ожидание m η и корреляционнуюфункцию R η (τ) процесса η(t) на выходе ограничителя.Решение. Математическое ожиданиеZ∞ϕ(ξ)w(ξ)dξ =mη =−∞43= −bZ−βw(ξ)dξ + s−∞Zαξw(ξ)dξ + aw(ξ)dξ.α−βУчитывая, чтоZ∞ 21−ξw(ξ) = √exp,2 σ22 πσпосле несложных вычислений получаем ααa01− Φ−Φ−m η = sσ ξσξσξs σξ ββb0−1− Φ+Φ,σξσξs σξгде Φ0 (x) — производная первого порядка от интеграла вероятностей Φ(x).В случае гауссовского входного процесса корреляционнаяфункция2 ∞ Z∞Xξ1ϕ(ξ)Φ(n+1)dξ rnξ (τ).R η (τ) = σ−2ξσξn!n=1−∞Интегрируя по частям дважды и используя известные свойствафункции Φ(n) (z) : Φ(n+1) (∞) = 0; Φ(n+1) (0) = 0 при n нечетном, получаемR η (τ) = (sσ ξ )2∞ XΦ(n−1)n=1=σ2ηασξ∞X−Φ(n−1)β−σξ2rnξ ( τ)n!=cn rnξ (τ),n=1где2(s σ ξ )2αβ(n−1)−Φ−.cn = Φσξσξn! σ2ηСледует заметить, что здесь определяющую роль для R η (τ) играеткоэффициент c1 .

Поэтому иногда при расчетах учитывают только44(n−1)первый член суммы, что, по существу, соответствует линейномупреобразованию процесса ξ(t).Пример 7. Случайный процесс ξ(t) с функцией распределенияF ξ (x) подвергается преобразованиюη = a + (b − a)F ξ (x).Показать, что плотность вероятности w(η) = 1/(b − a).Решение. Так как 0 6 F ξ (x) 6 1, то случайная величинаa 6 η 6 b. Поэтому w(η) = 0 для η < a и η > b. При a 6 η 6 bобратная функция однозначная, и для нахождения w(η) на данноминтервале воспользуемся формулой (3.2). После простых вычислений находим, что1.w(η) =b−aТаким образом, случайную величину с произвольной плотностью вероятности можно преобразовать в случайную величину сравномерным распределением.Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1. Найти плотность распределения вероятности мгновенных значений тока на выходе нелинейного преобразователя схарактеристикойi0 e αu , u > 0;i=0,u < 0,если на его вход поступает гауссовский случайный процесс с ну2левым математическим ожиданием и дисперсией2 σu .(ln i − ln i0 )1exp −Ответ: w(i) = √+ 0,5δ(i),2 σ2u α22 πσu αii = 0, i > i0 .Задача 2.

На вход безынерционного квадратичного детекторас характеристикой i = αu2 подается гауссовский шум с нулевымматематическим ожиданием и дисперсией σ2u .Найти выражение для плотности вероятности огибающей тока,считая входной процесс узкополосным с центральной частотой ω0 .1−IОтвет: w(I) =exp.2ασuασ2u45Задача 3. Найти плотность вероятности случайного процессаη(t) на выходе нелинейного устройства с характеристикой pαξ, ξ > 0;η=ξ < 0,0,если на его вход поступает гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданиемσ2 . и4дисперсией 2η 11−η + δ(η), η > 0.expОтвет: w(η) = √222α σ α 22 πσЗадача 4.

Найти одномерную плотность распределения вероятностей для гармонического колебания ξ(t) = A0 cos(ω0 t + ϕ),имеющего постоянную амплитуду A0 , угловую частоту ω0 и случайную фазу ϕ, равномерно распределенную на интервале [−π; π].1Ответ: w(ξ) = q; |ξ| 6 A0 .π A20 − ξ2Задача 5. Найти плотность вероятности случайного процессаη(t) = |ξ(t)|, где ξ(t) — гауссовский случайный процесс с нулевымматематическим ожиданием и дисперсией σ2ξ .√2− η2Ответ: w(η) = √.exp2 σ2πσЗадача 6. Найти плотность вероятности случайного процессана выходе нелинейного устройства с характеристикойη = ln ξ,если на его вход поступает случайный процесс ξ(t) с плотностьювероятности1w(ξ) =; a > 0; b > 0.b−aexp( η)Ответ: w(η) =; ln a 6 η 6 ln b.b−aЗадача 7. Найти плотность вероятности отношения η = ξ2 /ξ1двух коррелированных гауссовских случайных величин ξ1 и ξ2 снулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями σ21 и σ22соответственно.√1 − r2 ; r — коэффициент корОтвет: w(η) = σ2σ1 2πη− 2r η +σ1σ2реляции.46Задача 8.

На вход нелинейного устройства с характеристикойη = ξ2 поступает стационарный гауссовский шум с корреляционной функцией R ξ (τ) = σ2ξ exp(−α|τ|).Найти корреляционную функцию и спектральную плотностьмощности процесса η(t).Ответ: R η (τ) = 2σ4ξ exp(−2α|τ|);2α.S η (ω) = 4σ4ξ 24 α + ω2Задача 9. Найти плотности вероятностей огибающей и фазыгауссовского узкополосного случайного процесса ξ(t) == A(t) cos[ω0 t + ϕ(t)] с нулевым математическим ожиданиеми дисперсией σ2 .A2A1; 0 6 ϕ 6 2π.Ответ: w(A) = 2 exp − 2 ; w(ϕ) =σ2σ2π4. ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАДИОПРИЕМАКраткие теоретические сведенияЛюбую задачу приема сигналов можно сформулировать какзадачу о принятии решения, которая состоит в том, чтобы на основании априорных данных о пространстве сигналов S, пространстве помех N , распределениях вероятностей на этих пространствах w(s) и w(n), способе взаимодействия сигнала s и помехиn и заданной функции потерь П(s, γ) по полученному сигналу uоптимальным образом принять решение γ о том, какой конкретноиз сигналов был передан.

При этом за показатель оптимальностиправила принятия решения можно взять величинуZ ZR=П(s, γu )w(s, u)dsdu,(4..1)U Sназываемую средним риском, который характеризует средние потери, связанные с принятием решения.Оптимальным правилом выбора решений будет такое, при котором значение среднего риска будет наименьшим. Такое правилоназывается байесовским, а критерий оптимальности — критериемБайеса.47В технике связи ошибочные решения одинаково нежелательны,поэтому целесообразно функцию потерь задавать в видеconst, i 6= j;П(si , γj ) =0,i = j.ТогдаR = constXXii6=jw(si , γj ),(4..2)jт.

е. средний риск с точностью до постоянной совпадает с полной вероятностью ошибки. При этом критерий Байеса переходит вкритерий минимума полной вероятности ошибки (он носит такжеследующие названия: критерий идеального наблюдателя, критерийКотельникова — Зигерта, критерий максимума апостериорной вероятности).Если w(si ) = const, i = 1, 2, . . ., то средний риск R будет зависеть только от функции правдоподобия w(u/sj ). Решение принимается в пользу сигнала sj , для которого функция w(u/sj ) максимальна. Критерий, которому соответствует данное правило приемасигнала, называется критерием максимального правдоподобия.В радиолокации, как правило, используется критерий Неймана — Пирсона, при котором минимизируется вероятность однихошибок (пропуск сигналов) при условии, что вероятность другихне превышает заранее выбранное значение α. Следует также отметить критерий Вальда.

Он позволяет добиться минимума среднеговремени наблюдения, необходимого для принятия решения приобеспечении заданных вероятностей ошибок.Процедура принятия решений в задачах обнаружения сигнала при использовании критериев Байеса, идеального наблюдателя,максимального правдоподобия и Неймана — Пирсона сводится квычислению отношения правдоподобия l(u) = w(u|s1 )/w(u|s0 ) исравнения этого отношения с пороговым уровнем l0 (порогом):l0 =П01 (1 − p);П10 pl0 =1−p;pl0 = 1; l0 = C,(4..3)где П01 = П(s0 , γ1 ), П10 = П(s1 , γ0 ) — значения функции потерьпри ошибочных решениях; p−вероятность присутствия полезногосигнала s1 (t); C — постоянная величина, которая находится из48условия, что вероятность выполнения неравенства l(u) > C приотсутствии полезного сигнала не превышает α.При применении критерия Вальда на каждом шаге наблюдения вычисляется отношение правдоподобия, которое сравнивается с двумя порогами: верхним A = (1 − β)/α и нижнимB = β/(1 − α).