Сенин А.И. Учебное пособие Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010) (Сенин А.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010)), страница 6

Наблюдение за сигналом ведется до тех пор, покане будет выполнено одно из неравенств:l(u) > A;l(u) 6 B.(4..4)При выполнении первого неравенства (4.4) принимается решение в пользу сигнала, а при выполнении второго неравенства — впользу шума.Алгоритм работы оптимального обнаружителя в случае детерминированного сигнала и помехи типа белого гауссовского шумасводится к вычислению значения случайной величины2q=N0ZTu(t)s(t)dt(4..5)0и сравнению его с порогомE,N0где E — энергия сигнала; N0 — односторонняя спектральная плотность мощности шума.Если q > z0 , то принимается решение о наличии сигнала, впротивном случае — об его отсутствии.Вероятность ложной тревоги определяется какE ln l0 + N0 α = 1 − Φ(4..6) r 2E  ,N0а вероятность пропуска сигналаE−lnl 0 N0 β = Φ(4..7) r 2E  ,N0z0 = ln l0 +49t21 Rxгде Φ(x) = √exp(− )dt — интеграл вероятностей.22 π −∞Алгоритм работы оптимального обнаружителя в случае сигнала со случайной начальной фазой сводится к вычислению значенияслучайной величины 2Zq = ln I0(4..8)N0и сравнению его с порогом z0 ; здесь I0 (x) — модифицированнаяфункция Бесселя нулевого порядка;v2  T2u Tu ZZuZ = t u(t)A cos ω0 tdt +  u(t)A sin ω0 tdt00— значение огибающей напряжения на выходе оптимального приемника в момент времени t = T .Вероятность ложной тревоги для данного случая 2−v0α = exp,(4..9)2вероятность правильного обнаруженияD=Z∞v0v 2 + α20I0 (α0 v)dv,v exp −2(4..10)pгде α0 = 2E/N0 ; v0 = z0 /σ — нормированный порог.Алгоритм работы оптимального обнаружителя в случае сигнала со случайной начальной фазой и флуктуирующей амплитудойпо рэлеевскому законуa2a2w(a) = 2 e 2 σаσа−сводится к вычислению значения случайной величины2 σ2a z 2N0expq= ˉˉ + N0 ) ,E + N0N0 ( E50(4..11)ˉ — средняя энергия сигнала; z = Z/σ, и сравнению его сгде Eпорогом v0 .Вероятность ложной тревоги −v02,(4..12)α = exp2а вероятность правильного обнаружения(4..13)ˉ .E1+N0Алгоритм работы оптимального различителя для случая двухсигналов сводится к вычислению отношения функций правдоподобияw(u|s1 )l(u) =,(4..14)w(u|s0 )илиw(u|s1 ),(4..15)ln l(u) = lnw(u|s0 )и сравнению с порогами l0 или ln l0 соответственно; значение l0выбирается исходя из выбранного критерия оптимальности (см.формулу (4.3)).В случае детерминированных сигналов алгоритм сводится квычислению значения случайной величиныZT2q=u(t)[s1 (t) − s0 (t)]dt(4..16)N0 v02D = exp − 210и сравнению его с порогомz0 = ln1 − p E1 − E0.+N0pЕсли q > z0 , то принимается решение о наличии сигнала s1 (t),в противном случае – о наличии сигнала s0 (t).При p = 1/2 и E1 = E0 = E значение порога равно нулю.Средняя вероятность ошибки в этом случае"r#E(1 − rS ) ,(4..17)Pош = 1 − ΦN0где rS — коэффициент взаимной корреляции между сигналами.51В случае сигналов со случайными начальными фазами алгоритм работы оптимального различителя сводится к вычислениюзначения случайной величины2Z12Z0− ln I0,(4..18)q = ln I0N0N0где Z1 и Z0 — значения огибающих напряжений на выходах оптимальных приемников, настроенных на прием сигналов s1 (t) и s0 (t)соответственно, и сравнению его с порогомz0 =E1 − E01−p.+ lnpN0(4..19)Если q > z0 , то принимается решение о наличии сигнала s1 (t),в противном случае — о наличии сигнала s0 (t).При p = 1/2 и E1 = E0 = E значение порога равно нулю.Средняя вероятность ошибки в этом случаев при использованиисигналов, ортогональных в усиленном смысле (например, ортогональных частотно-манипулированных сигналов), определяетсяформулой1−E.(4..20)Pош = exp22N0Оптимальные приемные устройства можно построить на основе коррелятора или согласованного фильтра.Коррелятор представляет собой перемножитель и интеграторсо сбросом.

На входы перемножителя подаются принятый и опорный сигналы. Для нормальной работы необходимо обеспечить точную синхронизацию (временную, частотную, фазовую).Согласованный фильтр представляет собой линейный фильтрс комплексной частотной характеристикойK(j ω) = CSc∗ (j ω) exp(−j ωt0 ),Sc∗ (j ω)(4..21)— комплексно-сопряженный спектр сигнала,где C = const;t0 > T ; T — длительность сигнала.Импульсная характеристика согласованного фильтра записывается в видеh(t) = Cs(t0 − t),(4..22)где t0 > T.Согласованный фильтр в момент t0 при флуктуационной помехе типа белого гауссовского шума обеспечивает на своем выходе52максимально возможное отношение мощности сигнала к среднеймощности шума:2EPcρmax == 2F T.(4..23)Pш вхN0Отношение сигнал/шум на выходе коррелятора также равно2E/N0 .Комплексно-частотная характеристика фильтра, обеспечивающая максимум отношения сигнал/шум в условиях действия гауссовской флуктуационной помехи с произвольной спектральнойплотностью Sn (ω), имеет видK(j ω) = CSc∗ (j ω) exp(−j ωt0 ).Sn ( ω)При этом максимально возможное отношение сигнал/шумZ∞1|Sc (j ω)|2ρmax =dω.Sn ( ω)2π(4..24)(4..25)−∞При решении задачи измерения параметров сигналов используют следующие критерии:1) критерий минимума среднеквадратичной погрешности (в качестве оценки берется координата центра тяжести апостериорногораспределения);2) критерий максимума апостериорной плотности вероятности(в качестве оценки берется то значение λ∗ , для которого апостериорная плотность вероятности максимальна);3) критерий максимума функционала правдоподобия (в качестве оценки берется то значение λ∗ , для которого функционалправдоподобия максимален).Дисперсия оценки неэнергетического параметра полностью известного сигнала определяется формулой1σ2λ = − 00,(4..26)qs ( λ0 )где00ZT200s(t, λ0 )s(t, λ)dtqs (λ0 ) = N0053— производная второго порядка сигнальной функции qs (λ) по измеряемому параметру в точке λ = λ0 , λ0 — истинное значениеизмеряемого параметра сигнала.Для радиосигнала со случайной начальной фазойσ2λ = −где00|qs (λ)| = 2|N01,|qs ( λ0 )|00ZT0(4..27)00s(t, λ0 )s(t, λ)dt|— производная второго порядка модуля сигнальной функции поизмеряемому параметру в точке λ = λ0 .В частности, дисперсия оценки временного положения радиоимпульса со случайной начальной фазойs(t) = Af (t − τ) cos[ω0 (t − τ) + ψ(t − τ) − θ],где А — амплитуда радиоимпульса; f (t) — огибающая радиоимпульса единичной амплитуды, характеризующая амплитудную модуляцию; ψ(t) — функция, характеризующая угловую модуляцию,при использовании критерия максимума функционала правдоподобия определяется какσ2τ =1.2Eβ2N0(4..28)Здесьβ2 =Z∞−∞ ∞2Z1 21ω |F (j ω)|2 dω − ω|F (j ω)|2 dω ,2π2π−∞(4..29)где F (j ω) — спектр нормированнойкомплексной огибающей сиг√нала u(t) = f (t) exp[j ψ(t)]/ 2E1 , E1 — энергия сигнала s(t) самплитудой A = 1.Дисперсия оценки смещения частоты Ω радиоимпульсаs(t, Ω) = Af (t) cos[(ω0 − Ω)t + ψ(t) − θ], 0 6 t 6 T54определяется выражениемσ2Ω =1.α2 2E/N0Здесьα2 =ZT0t2 |g(t)|2 dt − √ZT0(4..30)2t|g(t)|2 dt ,(4..31)где g(t) = [f (t) exp(j Ωt+j ψt)]/ 2E1 — нормированная комплексная огибающая сигнала s(t).Типовые примерыПример 1.

По каналу связи без памяти передаются символы«1» и «0» с вероятностями p(1) и p(0). Символ «1» передаетсясигналом s1 (t) = A, а символ «0» — сигналом s0 (t) = −A. Вканале действует гауссовский стационарный шум с дисперсией σ2 .Приемное устройство принимает решение о переданном символепо трем независимым отсчетам (u1 , u2 и u3 ) принимаемой смеси(в точках t1 = T /3, t2 = 2T /3, t3 = T ).Найти алгоритм работы приемника, оптимального по критериюминимума средней вероятности ошибки, оптимальный порог приравновероятных символах и вероятность ошибки.Решение.

Функции правдоподобия сигналов s1 (t) и s0 (t) призаданных независимых отсчетах u1 , u2 и u3 определяются трехмерными плотностями вероятностей:31w3 (u1 , u2 , u3 |s1 ) = √×2 πσ2(u1 − A)2 (u2 − A)2 (u3 − A)2× exp −−−;(4..32)2 σ22 σ22 σ231×w3 (u1 , u2 , u3 |s0 ) = √2 πσ2(u1 + A)2 (u2 + A)2 (u3 + A)2× exp −−−.(4..33)2 σ22 σ22 σ255Используя (4.32), (4.33) и (4.15), находим, что алгоритм работыразличителя сводится к вычислению значения случайной величиныq = u1 + u2 + u3и сравнению его с порогомu0 =σ2 p(0).ln2A p(1)Если q > u0 ,то принимается решение о наличии сигнала s1 (t), впротивном случае — о наличии сигнала s0 (t).При равновероятных символах порог u0 = 0.Определим вероятность ошибки.

Для этого необходимо знатьраспределение величины q при передаче сигналов s1 (t) и s0 (t).Заметим, что отсчеты ui , i = 1, 2, 3, являются гауссовскимислучайными величинами с дисперсией σ2 и математическим ожиданием А (при передаче символа «1») или −A (при передаче символа «0»). Сумма независимых гауссовских величин имеет такжегауссовское распределение с математическим ожиданием и дисперсией, равными сумме математических ожиданий и дисперсий исходных величин. Поэтому условные плотности вероятностей суммы отсчетов записываются в виде1(q − 3A)2,exp −w1 [q|s1 )] = √2 ∙ 3 σ22 π3 σ2(q + 3A)21exp −.w1 (q|s0 ) = √2 ∙ 3 σ22 π3 σ2Теперь нетрудно найти вероятности ошибочных решенийPош (s0 |s1 ) и Pош (s1 |s0 ) при равновероятной передаче символов«1» и «0» соответственно:√ !Z03APош (s0 |s1 ) =w1 (q|s1 )dq = 1 − Φ;σ−∞Pош (s1 |s0 ) =56Z∞0w1 (q|s0 )dq = 1 − Φ!3A.σ√Средняя вероятность ошибкиPош1= [Pош (s0 |s1 ) + Pош (s1 |s0 )] = 1 − Φ2√3Aσ!.Пример 2. В двоичной системе для передачи равновероятныхсимволов «1» и «0» используются сигналыs1 (t) = A0 cos(ω0 t + ϕ0 ),0 6 t 6 T;s2 (t) = −s1 (t).Определить среднюю вероятность ошибки при условии, что вканале действует стационарный гауссовский шум с нулевым маN0δ(τ).тематическим ожиданием и корреляционной функцией2Прием осуществляется приемником, оптимальным по критериюидеального наблюдателя.Решение.

Алгоритм работы оптимального различителя длярассматриваемого случая сводится к вычислению значения случайной величины2q=N0ZT0u(t)[s1 (t) − s2 (t)]dtи сравнению его с нулевым порогом.При q > 0 принимается решение о наличии сигнала s1 (t), впротивном случае – о наличии сигнала s2 (t).Пусть передается сигнал s1 (t). Тогда4E2+q=N0N0ZT0n(t)[s1 (t) − s2 (t)]dt.Величина q распределена по гауссовскому закону. Ее математическое ожидание4EM{q} =N0и дисперсия8Eσ2 =.N057Вероятность ошибки при передаче сигнала s1 (t)Pош (s2 |s1 ) =Z0w(q|s1 )dq =−∞2 4ErZ0− q − N2E10r=,exp  dq = 1 − Φ16E√N08E2π−∞N0N0гдеZx1−t2√ expdt.Φ(x) =22π−∞Аналогично вероятность ошибки при передаче сигнала s2 (t)определяется выражениемr2E.Pош (s1 |s2 ) = 1 − ΦN0Соответственно средняя вероятность ошибкиr2EPош = 1 − Φ.N0Пример 3. В системе двоичной фазовой манипуляции использованы сигналыr2Ecos[ω0 t + (i − 1)π], i = 1, 2, 0 6 t 6 T,si (t) =Tгде E — энергия сигналов si (t), i = 1, 2; T — длительность сигнала.Опорное колебание имеет видr2Ecos(ω0 t + ϕ),sоп (t) = KTгде ϕ — фазовый сдвиг, отличный от нуля.Определить вероятность ошибки, полагая, что в канале действует стационарный гауссовский белый шум со спектральнойплотностью мощности N0 , и оценить степень ухудшения помехоустойчивости системы по сравнению с идеальным случаем(ϕ = 0).58Какую можно допустить фазовую расстройку ζ, при которойэнергетический проигрыш η не превышает значение 1,1?Решение.