Сенин А.И. Учебное пособие Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010) (Сенин А.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010)), страница 7

Пусть передается сигнал s1 (t). Тогда на выходе коррелятора2Eqвых (t) = KT+Kr2ETZTcos ω0 t cos(ω0 t + ϕ)dt+0TZn(t) cos(ω0 t + ϕ)dt =0= KE cos ϕ + Kr2ETZTn(t) cos(ω0 t + ϕ)dt.0Напряжение на выходе будет распределено по гауссовскому закону со средним значением m = KE cos ϕ и дисперсиейσ2 = K 2 EN0 /2 :1(q − KE cos ϕ)2r.w(q|s1 ) =exp −K 2 EN0√K 2 EN02π2Аналогично находится распределение напряжения на выходекоррелятора при передаче сигнала s2 (t).Теперь нетрудно определить условные вероятности ошибок:rZ02EPош (s2 |s1 ) =w(q|s1 )dq = 1 − Φcos ϕ ;N0Pош (s1 |s2 ) =−∞Z∞0w(q|s2 )dq =1 − Φr2Ecos ϕ .N0Средняя вероятность ошибкиr2Ecos ϕ .Pош = 1 − ΦN0Таким образом, несинфазность принимаемого сигнала и опорного колебания при фазовой манипуляции ведет к энергетическому59проигрышуEN01=.Ecos2 ϕcos2 ϕN0При η = 1, 1 допустимая фазовая расстройка ϕ 6 18◦ .Пример 4.

В двоичной системе для передачи равновероятныхсимволов «1» и «0» используются сигналыη=s1 (t) = A0 cos(ω1 t + ϕ1 );s2 (t) = A0 cos(ω2 t + ϕ2 ),где ϕ1 и ϕ2 — независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [−π, π], причем |ω2 − ω1 |T 1.Определить среднюю вероятность ошибки при условии, что вканале действует стационарный гауссовский шум с нулевым маN0тематическим ожиданием и корреляционной функциейδ(τ).2Прием осуществляется в соответствии с критерием идеального наблюдателя.Решение. Пусть передается сигнал s1 (t). Введем величиныv1 = Z1 /σ и v2 = Z2 /σ, где Z1 и Z2 — значения огибающихнапряжений на выходах каналов, настроенных на сигналы s1 (t) иs2 (t) соответственно; σ2 — дисперсия сигнала на выходе согласованного фильтра.С учетом условий задачи сигналы s1 (t) и s2 (t) можно рассматривать как сигналы, ортогональные в усиленном смысле.

Тогдаплотности распределения вероятностей−(v12 + α20 )w(v1 ) = v1 expI0 (v1 α0 );2 2−v2w(v2 ) = v2 exp,2где α20 = 2E/N0 ; I0 (v1 α0 ) — модифицированная функция Бесселянулевого порядка.Ошибка возникает, если v2 > v1 . Учитывая, что значения огибающих v1 и v2 в случае использования сигналов, ортогональных в усиленном смысле, статистически независимы, вероятность60ошибкиPош (s2 |s1 ) = p(v2 > v1 ) =×Z∞v2 expv1Z∞0−(v12 + α20 )v1 expI0 (v1 α0 )×22−v21Edv2 dv1 = exp −.222N0Аналогично находим1EPош (s1 |s2 ) = exp −.22N0Средняя вероятность ошибкиPош1E= exp −.22N0Пример 5. Определить комплексную частотную характеристику фильтра, согласованного с одиночным прямоугольным видеоимпульсом:(A, 0 6 t 6 τи ;s(t) =0для других t.Решение. Спектр сигнала s(t)S(j ω) ==AZτиZ∞s(t) exp(−j ωt)dt =−∞exp(−j ωt)dt =0A[1 − exp(−j ωτи )].jωПолагая t0 = τи , по формуле (4.21) находим комплексную частотную характеристику согласованного фильтра в видеK(j ω) =cA[1 − exp(−j ωτи )].jωПример 6.

На вход линейного фильтра воздействует аддитивная смесьu(t) = s(t) + n(t),61гдеs(t) =(A, 0 6 t 6 τи ,0, t < 0, t > τи ;n(t) — стационарный гауссовский шум со спектральной плотностью мощности2 αaSn (ω) = 2; −∞ < ω < ∞.α + ω2Найти комплексную частотную характеристику K(j ω) фильтра, максимизирующего выходное отношение сигнал/шум.Решение. Спектр сигнала s(t)AS(j ω) =[1 − exp(−j ωτи )].jωПолагая t0 = τи , в соответствии с (4.24) находим[1 − exp(−j ωτи )]( α2 + ω2 )=j ω2 αa 2αc= K0 [1 − exp(−j ωτи )]− j ω , K0 =.2 αajωПример 7.

Определить математическое ожидание и дисперсиюоценки амплитуды A прямоугольного радиоимпульсаK(j ω) = cs(t, A) = A cos(ωt + ϕ0 ),0 6 t 6 T,ωT >> 1,принимаемого на фоне гауссовского стационарного шума с корреN0δ(τ).ляционной функцией2Решение. Функционал правдоподобия параметра A 1 ZTF (A) = const exp −[ξ(t) − As1 (t)]2 dt , N00где s1 (t) — полезный сигнал единичной амплитуды.Определим, при каком значении A функционал F (A) максимаd ln F (A)и приравняем ее клен. Для этого найдем производнуюdAнулю:ZTd2F (A) =[ξ(t) − As1 (t)]s1 (t)dt = 0.dAN0062Из этого уравнения получимA∗ =ZTξ(t)s1 (t)dt0ZT.s21 (t)dt0A∗Значениеберется в качестве оценки амплитуды.Математическое ожидание M{A∗ } = A0 .ДисперсияN0,2E1где E1 — энергия полезного сигнала единичной амплитуды.Пример 8.

Найти дисперсию оценки фазы радиоимпульсаσ2a = M{(A∗ − A0 )2 } =s(t) = Af (t) cos[ωt + ψ(t) − θ],где A — амплитуда; f (t) и ψ(t) — функции, характеризующие амплитудную и фазовую модуляции; θ — начальная фаза.Решение. Найдем сигнальную функцию qs (θ):2A2qs (θ) =N0ZT0f 2 (t) cos[ωt + ψ(t) − θ0 ]×× cos[ωt + ψ(t) − θ]dt ≈2Ecos(θ − θ0 ).N0В соответствии с формулой (4.26)N0.2EПример 9.

Найти дисперсию оценки смещения частоты прямоугольного радиоимпульса со случайной начальной фазойσ2θ =TT6t6 ,22принимаемого на фоне стационарного гауссовского шума с корреN0δ(τ).ляционной функцией2s(t, Ω) = Af (t) cos[(ω0 − Ω)t + ψ(t) − θ],−63Решение. Используя формулу (4.31) для рассматриваемого случая, можно показать, что коэффициентα2 =СоответственноZT /2t2 dt−T /2ZT /2=T2.12dt−T /2σ2Ω =12.2E 2TN0Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1. По каналу связи без памяти передаются равновероятные символы «1» и «0». Символ «1» передается сигналомs1 (t) = A = 10−2 В, а символ «0» — сигналом s0 (t) = 0. Вканале действует гауссовский стационарный шум с дисперсиейσ2 = 10−4 Вт.Какой символ зарегистрирует приемник, оптимальный по критерию Котельникова, принимающий решение по одному отсчетуаддитивной смеси u(t) = s(t) + n(t) на интервале T , если в момент принятия решения u = 0, 008 В?Ответ: символ «1».Задача 2.

На вход приемника поступает сигналu(t) = λs(t) + n(t),где λ — случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями p = (1 − p) = 1/2;r2Ecos ω0 t,s(t) =Tn(t) — стационарный гауссовский шум с нулевым математическиможиданием и корреляционной функциейN0δ(τ).R(τ) =264Найти вероятность ошибки при условии, что прием осуществляется приемником, оптимальным по критерию идеального наблюдателя. r1 2E.Ответ: Pош = 1 − Φ2 N0Задача 3. В двоичной системе для передачи равновероятныхсимволов «1» и «0» используются сигналыs1 (t) = A0 cos(ω1 t + ϕ1 );s2 (t) = A0 cos(ω2 t + ϕ2 );где А, ω1 , ω2 , ϕ1 , ϕ2 — постоянные величины, причем |ω1 − ω2 | ××T 1.Определить среднюю вероятность ошибки при условии, что вканале действует стационарный гауссовский шум с нулевым маN0δ(τ).тематическим ожиданием и корреляционной функцией2Прием осуществляется приемником, оптимальным по критериюидеального наблюдателя.r EОтвет: Pош = 1 − Φ.N0Задача 4.

Вычислить вероятность ошибки в двоичной системе с фазоманипулированными сигналами, если сигнал на передаче имеет среднюю мощность p = 0, 5 Вт, коэффициент передачиμ = 10−2 , длительность элементарной посылки T = 10 мс, спектральная плотность мощности помехи N0 = 10−7 Вт/Гц.Ответ: Pош = 0, 8 ∙ 10−3 .Задача 5. По линии связи передаются двоичные сигналы свероятностью искажения символа Pош = 5 ∙ 10−3 . Применяютсяфазовая манипуляция и оптимальный метод приема.Определить требуемое отношение сигнал/шум на выходе приемника.2E= 3, 3.Ответ:N0Задача 6.

В двоичной системе для передачи информации использованы сигналыrr2E2Es1 (t) =cos(ω0 t + ϕ0 ); s2 (t) = −cos(ω0 t + ϕ0 ).TT65Опорное колебание в корреляционном приемнике совпадает поформе с сигналом s1 (t).Полагая, что в канале действует гауссовский стационарный белый шум с односторонней спектральной плотностью N0 , определить вероятность ошибки и энергетический проигрыш, если из-занеточности работы системы синхронизации интервал интегрирования сдвинут относительно начала посылки на величинуTτ |τ| 6.2Найти допустимую величину τ, при которой энергетическийпроигрыш не превышаетrη = 1,1.12E2τОтвет: Pош = 1 − Φ1−; η= ;N0T2τ 21−T−2τ 6 2,5 ∙ 10 T.Задача 7.

Вывести формулы вероятности ошибки и энергетического проигрыша при оптимальном когерентном приеме сигналовв канале с точно известными параметрами и гауссовским стационарным белым шумом со спектральной плотностью мощности N0 ,полагая, что для передачи информации использованы сигналыrr2E2Es1 (t) =cos(ω0 t + ϕ0 ), s2 (t) = −cos(ω0 t + ϕ0 ),TTа опорное колебаниеr2Ecos[(ω0 + Δω)t + ϕ]sоп (t) =Tимеет расстройку по частоте Δω.Какова допустимая расстройка, при которой энергетическийпроигрыш не превышает значениеr 1,1?2E sin ΔωT( ΔωT )2; η =;Ответ: Pош = 1 − ΦN0 ΔωTsin2 ΔωTΔω = ±0, 54/T.Задача 8. По каналу связи передаются двоичные частотноманипулированные сигналы. Отношение энергии сигнала E кспектральной плотности мощности помех N0 на входе каналаравно 9.66Определить вероятность ошибки: а) при когерентном приеме;б) при некогерентном приеме.Ответ: а) Pош ≈ 0,0014; б) Pош ≈ 0,0056.Задача 9.

Определить, во сколько раз уменьшается вероятностьошибки приема двоичных амплитудно-манипулированных сигналов и частотно-манипулированных сигналов при переходе от некогерентного приема к когерентному, если отношение энергии сигнала к спектральной плотности помех E/N0 = 20.Ответ: γАМ ≈ 4; γЧМ ≈ 5,6.Задача 10. В двоичной системе для передачи равновероятныхсимволов «1» и «0» используются сигналыs1 (t, ϕ1 ) = A0 cos(ω0 t + ϕ1 ),0 6 t 6 T;s2 (t, ϕ2 ) = 0,где ϕ1 — случайная величина с плотностью вероятности w(ϕ) == 1/2π, −π 6 ϕ 6 π.Определить среднюю вероятность ошибки при условии, что вканале действует стационарный гауссовский белый шум с нулевымN0δ(τ).математическим ожиданием и корреляционной функцией2Прием осуществляется приемником, оптимальным по критериюидеального наблюдателя.

2 Zv0v 2 + α201−v0+ v exp −I0 (v α0 )dv ,Ответ: Pош =exp2220r√α02Ev0 = 2 при α0 1; v0 =.при α0 1; α0 =N02Задача 11. Определить комплексную частотную характеристику фильтра, согласованного с единичным прямоугольным радиоимпульсом.0 6 t 6 tи ,A cos ω0 t,s(t) =0длядругихзначений t.A exp(−j ωτи ) − exp(−j ω0 τи )−Ответ: K(j ω) = c2 j( ω0 − ω)exp(−j ωτи ) − exp(+j ω0 τи ).−j( ω0 + ω)Задача 12. Определить комплексную частотную характеристику фильтра, согласованного с последовательностью из n радиоим67пульсов с амплитудой A, длительностью τи и периодом следования T .n−1XОтвет: K(j ω) = cs∗1 (j ω) exp(−j ωτи )exp(−j ωνT ).ν=0Задача 13.

Составить схему согласованного фильтра на базедлинной линии с отводами для однополярного и двуполярного двоичных сигналов, соответствующих последовательности символов1110010.Задача 14. Сравнить форму огибающих сигналов на выходахкоррелятора и согласованного фильтра в случае подачи на их входединичного прямоугольного видеоимпульса и единичного прямоугольного радиоимпульса.Задача 15. Определить комплексную частотную характеристику фильтра, согласованного с сигналом" #2t 2,s(t) = A exp −τиA/e.#где τи — длительность импульса" на уровнеf 2− j ωT , где Δf = 2,25/τи —Ответ: K(j ω) = K0 exp −Δfширина спектра на уровне B/e, B = max S(j ω).Задача 16. Найти комплексную частотную характеристикуK(j ω) фильтра, согласованного с сигналом (рис. 5).Рис.