Сенин А.И. Учебное пособие Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010) (1092035), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти корреляционную функцию и спектральнуюNXплотность мощности случайного процесса ξ(t) =ξk (t), гдеk=1ξk (t), k = 1, 2, . . . , N — центрированные случайные стационарные процессы.18Ответ: R ξ (τ) =NPk=1S ξ (ω) =R ξk (τ) +NXk=1N XNXi=1i6=jS ξk (ω) +R ξi ξj (t1 , t2 );j=1N XNXi=1i6=jS ξi ξj (ω).j=1Задача 21. По заданной плотности вероятности случайногопроцессаw(x) = αx2 exp(−kx), k > 0,определить коэффициент α, математическое ожидание, дисперсиюи вероятность попадания р значений случайного процесса в интервал (0, 1/k).k333Ответ: α = ; m = ; D = 2 ; p = 1 − 2, 5e−1 .2kkЗадача 22.
Функция распределения стационарного случайногонапряжения u(t) имеет вид(1 − exp(−ku), u > 0, k > 0, B −1 ;F (u) =0, u < 0.Определить математическое ожидание, средний квадрат и дисперсию этого процесса.121Ответ: mu = , B; M{u2 (t)} = 2 , B2 ; Du = 2 , B2 .kkk2. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ2.1. Краткие теоретические сведенияДля описания линейных систем можно использовать дифференциальные уравнения, импульсные и комплексные частотныехарактеристики. В тех случаях, когда исследуют как стационарные, так и нестационарные режимы работы системы при ненулевых начальных условиях, для анализа систем применяют аппаратдифференциальных уравнений. При нулевых начальных условиях в системе удобнее использовать импульсные характеристики.19Комплексные частотные характеристики применяют обычно, когда исследуют только стационарный режим работы системы.Импульсная характеристика h(t) — это реакция системы насигнал типа δ — функции.Комплексная частотная характеристика K(j ω) системы определяется как отношение сигнала на выходе системы к входномугармоническому сигналу (сигналы записываются в комплекснойформе), т.
е.A2 exp[j( ωt − ϕ2 )]K(j ω) =,(2..1)A1 exp[j( ωt − ϕ1 )]где A2 и ϕ2 — амплитуда и фаза сигнала на выходе линейнойсистемы; A1 и ϕ1 — амплитуда и фаза входного сигнала.Можно показать, чтоZ∞1h(t) =K(j ω) exp(j ωt)dω;(2..2)2πK(j ω) =−∞Z∞h(t) exp(−j ωt)dt.(2..3)−∞Для физически реализуемых системh(t) = 0 при t < 0;h(t) = 0 при t → ∞.(2..4)Зная импульсную характеристику и входной случайный процесс ξ(t), можно определить процесс η(t) на выходе системы:η(t) =Zt0ξ(t − τ)h(τ)dτ =Zt0ξ(τ)h(t − τ)dτ.(2..5)При рассмотрении вопросов прохождения случайных сигналовчерез линейные системы приходится решать задачи, связанные снахождением:1) моментных функций и спектральных плотностей выходныхслучайных сигналов;2) плотностей распределения вероятностей выходных случайных сигналов.20Решение задач группы 1) можно получить из решения задачгруппы 2). Однако следует заметить, что если входной сигнал неявляется гауссовским, то нельзя указать метод, который позволилбы непосредственно вычислять плотность распределения вероятностей выходного процесса.
В общем случае эта задача решаетсяпутем нахождения моментных функций выходного процесса с последующим вычислением характеристической функции в соответствии с (1.10). Поэтому задачи группы 1) имеют самостоятельноезначение. В частном случае, когда входной случайный процессимеет гауссовское распределение, процесс на выходе системы также будет иметь гауссовское распределение. Если внешнее воздействие не подчиняется гауссовскому закону, то закон распределениявыходного случайного процесса не будет гауссовским. Однако вовсех случаях он будет ближе к нему, чем закон распределения входного случайного процесса. Линейная система как бы нормализуетзакон распределения, причем чем у́же полоса пропускания системы по сравнению с шириной спектра входного воздействия, тем вбольшей степени проявляется эффект нормализации.Если входной процесс является стационарным, то корреляционная функция процесса на выходе линейной системы в установившемся режиме определяется формулойR η (t1 , t2 ) = R η (τ) =Z∞ Z∞00R(τ − u + v)h(u)h(v)dudv,(2..6)где τ = t2 − t1 ; h(t) — импульсная характеристика системы.Спектральная плотность мощности стационарного выходногопроцесса имеет видS η (ω) = S ξ (ω)|K(j ω)|2 .(2..7)К числу линейных преобразований относятся, в частности,дифференцирование и интегрирование случайных процессов.Случайный процесс ξ(t) называется дифференцируемым всреднеквадратическом смысле, если существует такая случайнаяфункция η(t), для которой(2 )ξ(t + T ) − ξ(t)− η(t)lim M= 0.T →0T21При этом ее называют производной процесса ξ(t)в среднеквадратическом смысле и обозначают какη(t) =либоd ξ(t)dtη(t) = ξ̇(t).Для производнойd ξ(t)dtслучайного процесса ξ(t) математическое ожиданиеη(t) =dm ξ (t),dt(2..8)∂ 2 K ξ (t1 , t2 ),∂t1 ∂t2(2..9)∂ 2 R ξ (t1 , t2 ).∂t1 ∂t2(2..10)m η (t) =ковариационная функцияK η (t1 , t2 ) =корреляционная функцияR η (t1 , t2 ) =Если случайный процесс ξ(t) является стационарным, тоm η (t) = 0;R η (t1 , t2 ) = R η (τ) = −d2 R ξ ( τ).d τ2(2..11)Спектральная плотность мощности стационарного процессаη(t) =определяется какd ξ(t)dtS η (ω) = ω2 S ξ (ω).(2..12)Не все случайные функции имеют производные.
Cтационарнаяслучайная функция ξ(t) будет дифференцируемой, если существует вторая производная ее корреляционной функции в точке τ = 0,т. е.d2 R ξ ( τ) = const.(2..13)d τ2 τ=022Дисперсию производнойd ξ(t)dtслучайного процесса ξ(t) можно найти в видеη(t) =1Dη =2πZ∞ω2 S(ω)dω.(2..14)−∞Из формулы (2.14), в частности, следует, что у дифференцируемого, а следовательно, у реального случайного процесса спектральная плотность должна убывать быстрее, чем ω−3 .Интеграл от случайной функции ξ(t)η(t) =Ztξ(t)dt0определяют, как и производную, в среднеквадратическом смысле,а именно: случайная функция η(t) является интегралом от случайной функции ξ(t), если выполняется условиеlim M{[η(t) −T →0Можно показать, чтоm η (t) =Ztt/TXk=1ξ(kT )]2 } = 0.(2..15)m ξ (t)dt;0R η (t1 , t2 ) =Zt1 Zt20R ξ (τ1 , τ2 )dτ1 dτ2 .(2..16)0Если случайный процесс ξ(t) является стационарным, тоm η (t) = m ξ t;R η (t1 , t2 ) =Zt1 Zt200R ξ (τ2 − τ1 )dτ1 dτ2 .(2..17)23Типовые примерыПример 1.
Найти математическое ожидание, дисперсию иплотность вероятностей случайного процессаu(t) = x(t) + y(t),где x(t) и y(t) — независимые гауссовские случайные процессы сматематическими ожиданиями mx (t) и my (t) и дисперсиями σ2x (t)и σ2y (t) соответственно.Решение. Случайный процесс u(t) будет гауссовским с математическим ожиданиемmu (t) = mx (t) + my (t)и дисперсиейσ2u (t) = σ2x (t) + σ2y (t),т. е.w(u) = √2πq{u − [mx (t) + my (t)]}2exp −2[ σ2x (t) + σ2y (t)]σ2x (t) + σ2y (t)1.Пример 2. Показать, что если на вход линейной системы подается гауссовский случайный процесс, то закон распределениявыходного случайного процесса также будет гауссовским.Решение. Запишем выходной процесс η(t) в видеη(t) =Zt0h(τ)ξ(t − τ)dτ.Перейдем к приближенному выражению путем замены интеграла суммой:t/Δτη(t) ≈Xi=1h(iΔτ)ξ(t − iΔτ)Δτ.По условию величина ξ распределена по гауссовскому закону,«взвешенная сумма» случайных величин, образованных произведением ξi на hi , также будет иметь гауссовское распределение.Пример 3.
На линейную систему с импульсной характеристикой h(t) воздействует стационарный гауссовский белый шум ξ(t)24с корреляционной функциейR ξ (τ) =N0δ(τ).2Определить взаимную корреляционную функцию R ξη (τ) процесса ξ(t) на входе системы и выходного процесса η(t).Решение. Для установившегося режима взаимную корреляционную функцию R ξη (τ) можно записать в видеR ξη (τ) = M{ξ(t1 )η(t2 )} = M{ξ(t1 )Z∞0=Z∞0M{ξ(t1 )ξ(t2 − u)}h(u)du ==N02Z∞0Z∞0ξ(t2 − u)h(u)du} =R ξ (τ − u)h(u)du =δ(τ − u)h(u)du =( N0h(t2 − t1 ), 0 6 t1 6 t2 ;=20, t1 > t2 .Пример 4. Линейная система имеет комплексную частотнуюхарактеристику K(j ω) = K0 на интервалах частот (ω0 − Δω 66 ω 6 ω0 + Δω) и (−ω0 − Δω 6 ω 6 −ω0 + Δω) и K(j ω) = 0вне этих интервалов.
На вход системы подается белый шум ξ(t) сдвусторонней плотностью мощности S ξ (ω) = N0 /2.Найти корреляционную функцию R η (τ) процесса η(t) на выходе. Как следует выбрать Δω, чтобы дисперсия D η выходногопроцесса не превышала заданного значения D?Решение. С учетом (2.7) спектральная плотность выходногопроцесса K02 N0, (ω0 − Δω 6 ω 6 ω0 + Δω),2S η (ω) =(−ω0 − Δω 6 ω 6 −ω0 + Δω); 0для других значений ω.25Величина Δω определяется из выражения1πω0Z+ΔωS η (ω)dω =ω0 −ΔωТаким образом,Δω 61 2K N0 Δω 6 D.π 0Dπ.K02 N0Корреляционная функция1R η (τ) =π=ω0Z+Δωω0 −ΔωK02 N0 sin ωτ ω0 +ΔωK02 N0=cos ωτdω =τ ω0 −Δω22πK02 N0sin( ω0 + Δω) τ − sin( ω0 − Δω) τΔω=Δωτ2π=K02 N0sin ΔωτΔωcos ω0 τ.ΔωτπПример 5.
На вход пропорционально-интегрирующего фильтра (рис. 1) поступает стационарное случайное напряжение ξ(t) сматематическим ожиданием m ξ и корреляционной функциейR ξ (τ) = D ξ exp[−α |τ|].Рис. 1. Схема пропорционально-интегрирующего фильтраОпределить математическое ожидание m η и спектральнуюплотность мощности S η (ω) напряжения η(t) на выходе фильтра.26Решение. Найдем комплексную частотную характеристикуфильтра11 + j ωT11 + j ωcRj ωc.=K(j ω) ==11 + j ωT21 + j ωc(R + R1 )R + R1 +j ωcR1 +Математическое ожидание m η можно определить какm η = m ξ K(0) = m ξ .Спектральная плотность мощностиS η (ω) = |K(j ω)|2 S ξ (ω) + 2πm2η δ(ω) =×Z∞1 + ( ωT1 )2×1 + ( ωT2 )2R ξ (τ) exp(−j ωτ)dτ + 2πm2ξ δ(ω) =−∞1 + ( ωT1 )2=1 + ( ωT2 )2=Z∞D ξ exp[−α|τ|] exp(−j ωτ)dτ + 2πm2ξ δ(ω) =−∞1 + ( ωT1 )22αD+ 2πm2ξ δ(ω).1 + ( ωT2 )2 ξ α2 + ω2Пример 6.
Найти математическое ожидание случайного процесса η(t) на выходе линейной системы с импульсной характеристикой h(t), если на ее вход подан стационарный случайныйпроцесс ξ(t).Решение. Выходной случайный процесс в установившемся режимеZ∞η(t) = h(τ)ξ(t − τ)dτ.0Его математическое ожидание∞Zh(τ)ξ(t − τ)dτ =m η = M{η(t)} = M027=Z∞0h(τ)M{ξ(t − τ)}dτ = m ξZ∞h(τ)dτ = m ξ K(j ω)| ω=0 .0Пример 7. Найти спектральную плотность мощности производной ξ̇(t) стационарного случайного процесса ξ(t), имеющегоспектр S ξ (ω).Решение.
Спектральная плотность мощности производнойZ∞Z∞ 2d R ξ ( τ)R ξ̇ (τ) exp(−j ωτ)dτ = −exp(−j ωτ)dτ.S ξ̇ (ω) =d τ2−∞−∞(2..18)Найдемd2 R ξ ( τ).d τ2Запишем выражение для R ξ (τ) через спектральную плотностьмощности:Z∞1R ξ (τ) =S ξ (Ω) exp(j Ωτ)dΩ.(2..19)2π−∞Продифференцируем выражение (2.19) дважды:d2 R ξ ( τ)1=−2πd τ2Z∞Ω2 S ξ (Ω)ej Ωτ dΩ.(2..20)−∞Подставляя (2.20) в (2.18), получаемZ∞Z∞1Ω2 S ξ (Ω) exp(j Ωτ)dΩ exp(−j ωτ)dτ =S ξ̇ (ω) =2π−∞=Z∞−∞−∞Ω2 S ξ (Ω)δ(Ω − ω)dΩ = ω2 S ξ (ω).Пример 8. На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс ξ(t) с математическим ожиданиемm ξ (t) = sin βt и корреляционной функциейR ξ (t1 , t2 ) = D ξ exp[−α(t2 − t1 )2 ].28Определить математическое ожидание m η (t) и дисперсиюD η (t) процесса η(t) на выходе системы.Решение. Математическое ожидание процесса η(t)dm ξ (t)d ξ(t)== β cos βt.m η (t) = MdtdtКорреляционная функция процесса∂ 2 R ξ (t1 , t2 )∂2=D exp[−α(t2 − t1 )2 ] =∂t1 ∂t2∂t1 ∂t2 ξ= 2D ξ α exp[−α(t2 − t1 )2 ][1 − 2α(t2 − t1 )2 ].R η (t1 , t2 ) =Полагая t2 = t1 = t, находим D η = 2αD ξ .Пример 9.
Найти корреляционную функцию случайного процесса1η(t) = ξ(t) + ξ̇(t),αгде ξ(t) — стационарный случайный процесс с корреляционнойфункциейR ξ (τ) = σ2 exp(−α2 τ2 ).Решение. В соответствии с формулой (1.7) нетрудно показать,что111R η (τ) = R ξ (τ) + 2 R ξ̇ (τ) + R ξ ξ̇ (τ) + R ξ̇ξ (τ).αααКорреляционная функция производной стационарного случайного процессаd2 R ξ ( τ)= 2σ2 α2 exp(−α2 τ2 )(1 − 2α2 τ2 ).d τ2Взаимная корреляционная функцияR ξ̇ (τ) = −R ξ ξ̇ (τ) =dR ξ ( τ)= −2τα2 σ2 exp(−α2 τ2 ).dτУчитывая, что R ξ ξ̇ (τ) = R ξ̇ξ (−τ), и обращая внимание на нечетность функции R ξ̇ξ (τ), получаемR ξ ξ̇ (τ) + R ξ̇ξ (τ) = 0.29Таким образом,1R (τ) =α2 ξ̇= σ2 exp(−α2 τ2 ) + 2σ2 exp(−α2 τ2 )(1 − 2α2 τ2 ).R η (τ) = R ξ (τ) +Пример 10. Найти плотность распределения вероятностей случайной величиныZTη = s(t)n(t)dt,0где s(t) — детерминированный сигнал с длительностью T и энергией E; n(t) — гауссовский белый шум со спектральной плотностьюмощности N0 /2.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
