Сенин А.И. Учебное пособие Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010) (1092035), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(1..20)0Так как ковариационная функция стационарного случайногопроцессаK ξ (τ) = R ξ (τ) + m2ξ ,(1..21)нетрудно видеть, чтоS ξ (ω) = S ξ0 (ω) + 2πm2ξ δ(ω).(1..22)Спектральная плотность мощности обладает следующимисвойствами:1) S(ω) > 0 при любых ω;2) S(ω) = S(−ω) для вещественных случайных процессов.Спектральная плотность в формулах (1.17) — (1.20) определенакак для положительных, так и для отрицательных значений круговой частоты ω, т. е.
является двусторонней. При решении задаччасто пользуются односторонней физической спектральной плотностью. Для центрированных процессов(2S ξ0 (ω), ω > 0;(1..23)S ξ0 ,одн (ω) =0, ω < 0,9при этомS ξ0 ,одн (ω) = 4Z∞R ξ0 (τ) cos ωτdτ;(1..24)S ξ0 ,одн (ω) cos ωτdω.(1..25)0R ξ0 (τ) =12πZ∞0Одной из характеристик случайного процесса является эффективная ширина спектра Δωэ , определяемая какZ∞1Δωэ =S(ω)dω,(1..26)Sm−∞где Sm — максимальное значение спектральной плотности мощности.Для пары случайных процессов ξ(t) и η(t) можно найти двевзаимные ковариационные функции:K ξη (t1 , t2 ) = M{ξ(t1 )η(t2 )} =Z∞ Z∞xyw(x, y; t1 , t2 )dxdy;(1..27)=−∞ −∞K ηξ (t1 , t2 ) = M{η(t1 )ξ(t2 )} =Z∞ Z∞=yxw(y, x; t1 , t2 )dxdy(1..28)−∞ −∞и две взаимные корреляционные функции:R ξη (t1 , t2 ) = M{[ξ(t1 ) − m ξ (t1 )][η(t2 ) − m η (t2 )]} =Z∞ Z∞=[x − m ξ (t1 )][y − m η (t2 )]w(x, y; t1 , t2 )dxdy;(1..29)−∞ −∞R ηξ (t1 , t2 ) = M{[η(t1 ) − m η (t1 )][ξ(t2 ) − m ξ (t2 )]} =Z∞ Z∞[y − m η (t1 )][x − m ξ (t2 )]w(y, x; t1 , t2 )dxdy.(1..30)=−∞ −∞10Для совместно стационарных в широком смысле случайныхпроцессов ξ(t) и η(t) справедливо равенствоK ξη (τ) = K ηξ (−τ).(1..31)Случайные процессы ξ(t) и η(t)можно характеризовать взаимными спектральными плотностями.
Для стационарно связанных вшироком смысле процессов они определяются как прямое преобразование Фурье от взаимных ковариационных функций:S ξη (ω) =S ηξ (ω) =Z∞−∞Z∞K ξη (τ)e−j ωτ dτ;(1..32)K ηξ (τ)e−j ωτ dτ.(1..33)−∞Соответственно по взаимным спектральным плотностям мощности, используя обратное преобразование Фурье, можно найти взаимные ковариационные функции.1.2.
Типовые примерыПример 1. Найти одномерную и двумерную плотности распределения вероятностей процессаξ(t) = α cos ωt + β sin ωt,где ω = const; α и β — взаимно независимые гауссовские величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиямиD α = D β = σ2 .Решение. Для любого фиксированного значения t случайнаявеличина ξ представляет собой линейную комбинацию гауссовских случайных величин. Поэтому она также является гауссовской.Следовательно, для определения w(x; t)и w2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ) необходимо найти математическое ожидание M{ξ(t)} и корреляционнуюфункцию R(t1 , t2 ).В соответствии с (1.5)m ξ = M{α cos ωt + β sin ωt} = M{α} cos ωt + M{β} sin ωt = 0.11Корреляционная функция определяется какR(t1 , t2 ) = M{[α cos ωt1 + β sin ωt1 ][α cos ωt2 + β sin ωt2 ]} == M{α2 } cos ωt1 cos ωt2 + M{αβ} cos ωt1 sin ωt2 ++M{βα} cos ωt2 sin ωt1 + M{β2 } sin ωt1 sin ωt2 == σ2 cos ωt1 cos ωt2 + σ2 sin ωt1 sin ωt2 = σ2 cos ω(t2 − t1 ).Теперь нетрудно записать выражения для искомых плотностейраспределения вероятностей:x21exp(− 2 );2σ2 πσw2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ) = 2x1 − 2x1 x2 cos ωτ + x221√=exp −.2 σ2 (1 − cos2 ωτ)2 πσ2 1 − cos2 ωτПример 2.
Пусть ξ(t) и η(t) — гауссовские некоррелированныеслучайные процессы с математическими ожиданиями m ξ и m η идисперсиями σ2ξ и σ2η .Записать совместную плотность распределения вероятностейw2 (x, y).Решение. Учитывая, что некоррелированные гауссовские случайные процессы являются независимыми, находимw1 (x; t) = √w2 (x, y) = w1 (x)w1 (y) ="#(x − m ξ )2 (y − m η )21=exp −−.2 σ2η2 πσ ξ σ η2 σ2ξПример 3.
Доказать, что параметры m и σ плотности гауссовского распределения являются математическим ожиданием исредним квадратическим отклонением.Решение. Найдем среднее значение случайной величины ξ:Z∞1(x − m)2M{ξ} =x√exp −dx.2 σ22 πσ−∞Введем переменнуюz=12x−m.σТогдаM{ξ} ==σZ∞−∞Z∞−∞−z 21√ exp(z σ + m)dz =22π−z 21√ expzdz + m22πZ∞−∞Дисперсия2M{(ξ − m) } =Z∞−∞(x − m)2 √−z 21√ expdz = m.22π1(x − m)2exp −dx.2 σ22 πσВведем переменнуюz=x−m.σТогдаZ∞−z 21σ2 z 2 √ expdz =22π−∞Z∞2 ∞211−z−z√ exp= σ2 −z √ exp+dz = σ2 .2 −∞22π2π2M{(ξ − m) } =−∞Пример 4.
Найти одномерную характеристическую функциюгауссовского процесса ξ(t), имеющего плотность распределениявероятностей1(x − m)2w(x) = √exp −.2 σ22 πσРешение. В соответствии с формулой (1.3)Z∞−(x − m)21θ(ju) =exp(jux) √expdx =2 σ22 πσ=Z∞−∞−∞√1−[x2 − 2(m + ju σ2 )x + m2 ]expdx =2 σ22 πσ13=Z∞−∞√−[x2 − 2x(m + ju σ2 ) + m2 + 2ju σ2 m − u2 σ4 ]1exp×2 σ22 πσu2 σ2u2 σ2dx = exp jum −.× exp jum −22Пример 5. Найти спектральную плотность центрированногослучайного процесса, корреляционная функция которого определяется как R(τ) = B exp(−α|τ|).Решение. В соответствии с формулой (1.19)Z∞B exp(−α|τ|) exp(−j ωτ)dτ =S(ω) ==Z0−∞−∞B exp(ατ) exp(−j ωτ)dτ +Z∞B exp(−ατ) exp(−j ωτ)dτ =0exp[ τ( α − j ω)] 0exp[− τ( α + j ω)] ∞=B+B=( α − j ω) −∞−( α + j ω) 02α11+=B 2.=Bα + ω2α − jωα + jωПример 6. Найти корреляционную функцию шума, имеющегоравномерную спектральную плотность мощности, равную N0 /2 вполосе частот (−Δω, Δω) и нулю вне этой полосы.Решение.
В соответствии с формулой (1.20)1R(τ) =2π=ZΔω−ΔωN01 N0 exp(j ωτ) Δω=exp(j ωτ)dω =2π 2jτ2−Δω1 N0 2j sin Δωτ1sin Δωτ=N0 Δω.Δωτ2π 22πjτПример 7. Найти интервал корреляции случайных процессов,имеющих корреляционные функции:R(τ) = A exp(−α2 τ2 );sin ατR(τ) = A.ατ14Решение. В соответствии с формулой (1.16):для первого случайного процесса1τk =2√2π√=α∙2 2Z∞−∞Z∞exp(−α2 τ2 )dτ =−∞√π−2( ατ)2 √1√ exp;d( 2ατ) =22α2πдля второго случайного процесса1τk =2Z∞−∞sin ατ1dτ =ατ2αZ∞−∞πsin ατdατ =.ατ2αПример 8.
Найти эффективную ширину спектра стационарного случайного процесса, спектральная плотность которого имеет2α.вид S(ω) = 2α + ω2Решение. В соответствии с формулой (1.26)1Δωэ =S(0)=αZ∞−∞Z∞−∞αS(ω)dω =2Z∞−∞α22αdω =+ ω21d(ω/α) = α arctg(ω/α)|∞−∞ = απ.1 + ( ω/ α)2Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1. Найти математическое ожидание и дисперсию показательного распределения(λ exp(−λx), x > 0,w(x) =0, x < 0.Ответ: M{ξ} =11, D = 2.λλ15Задача 2. Плотность показательного распределения имеет вид(C exp(−λx), x > 0,w(x) =0, x < 0.Найти постоянную С .Ответ: C = λ.Задача 3. Найти дисперсию случайной величины ξ, распределенной равномерно в интервале (a, b).(b − a)2.Ответ: D =12Задача 4.
Найти дисперсию и корреляционную функцию белого шума.N0Ответ: D = ∞, R(τ) =δ(τ).2Задача 5. Найти корреляционную функцию случайного процесса, имеющего спектральную плотностьS(ω) = A exp(−α2 ω2 ).AОтвет: R(τ) = √exp(−τ2 /4α2 ).2 παЗадача 6. Найти корреляционную функцию и спектральнуюплотность мощности для стационарного случайного сигналаξ(t) = A0 sin(ω0 t + ϕ),где A0 и ω0 — постоянные величины; ϕ — случайная величина с плотностью распределения вероятностей w(ϕ) = 1/2π,−π ≤ ϕ ≤ π.A2A2 πОтвет: R(τ) = 0 cos ω0 τ; S(ω) = 0 [δ(ω − ω0 ) + δ(ω +22+ ω0 )].Задача 7. Найти спектральную плотность мощности случайного процесса, корреляционная функция которого определяется выражениемR(τ) = exp(−α|τ|) cos ω0 τ.11Ответ: S(ω) = α+ 2.α2 + ( ω − ω0 )2α + ( ω + ω0 )2Задача 8. Найти корреляционную функцию стационарного случайного процесса ξ(t) с нулевым математическим ожиданием и16спектральной плотностью мощности( N0, −ω2 6 ω 6 −ω1 , ω1 6 ω 6 ω2 ;S(ω) =20при других значениях ω.τΔωN0 Δω2sinΔω = ω2 − ω1 ,Ответ: R(τ) =τ cos ω0 τ,2πΔω2ω1 + ω2ω0 =.2Задача 9.
Найти спектральную плотность мощности случайного процессаξ(t) = A0 n(t) cos(ω0 t + ϕ),где A0 и ω0 — постоянные величины; n(t) — стационарный белыйшум с корреляционной функциейN0δ(τ);2ϕ — случайная фаза, равномерно распределенная на интервале(−π, π).A2 N0Ответ: S ξ (ω) = 0 .4Задача 10. Найти корреляционную функцию сигналаR(τ) =s(t) = A0 ξ(t) cos(ω0 t + ϕ),где A0 и ω0 — постоянные величины; ξ(t) — стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией R ξ (τ); ϕ — случайная начальная фаза, равномернораспределенная на интервале (−π, π) и не зависящая от ξ(t).A2Ответ: R(τ) = 0 R ξ (τ) cos ω0 τ.2Задача 11.
Найти интервал корреляции случайных процессов,имеющих корреляционные функции:A;(1 + α2 τ2 )R(τ) = A exp(−α|τ|).R(τ) =Ответ: τk1 =1π; τk2 = .α2α17Задача 12. Доказать, что корреляционная функция произведения двух взаимно некоррелированных случайных процессов ξ(t)иη(t) с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями R ξ (t1 , t2 ) и R η (t1 , t2 ) равна произведению корреляционных функций сомножителей.Задача 13. Доказать, что не существует стационарного случайного процесса ξ(t), корреляционная функция которого определяется как 2σ , |τ| 6 τ1 ;R(τ) =0при других τ.Задача 14. Определить спектральную плотность мощностислучайного процесса, имеющего корреляционную функциюR(τ) = A exp(−α|τ|)(1 + α|τ|).Ответ: S(ω) = 4Aα3 /(ω2 + α2 )2 .Задача 15.
Определить эффективную ширину Δωэ спектраS(ω) стационарного случайного процесса ξ(t)с корреляционнойфункциейR(τ) = A exp(−α2 τ2 ).√Ответ: Δωэ = 2α π.Задача 16. Показать, что для любого стационарного случайного процесса ξ(t) с корреляционной функцией R(τ), принимающейтолько положительные значения, произведение интервала корреляции τk на эффективную ширину спектра Δωэ равно π/2.Задача 17. Показать, чтоqq|R ξη (t1 , t2 )| 6 D ξ (t1 ) ∙ D η (t2 ).Задача 18. Показать, что взаимная спектральная плотностьмощности S ξη (ω) в общем случае не является четной функцией.Задача 19. Показать, что взаимные спектральные плотностимощности связаны соотношением S ξη (ω) = S ∗ηξ (ω), где «∗» —знак комплексной сопряженности.Задача 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
