Сенин А.И. Учебное пособие Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010) (Сенин А.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. (2010)), страница 4

ИнтегралI=ZTs(t)n(t)dt0представляет собой гауссовскую случайную величину, так какn(t) — гауссовский случайный процесс, а интегрирование — линейная операция.Математическое ожидание TZ ZTmη = Ms(t)n(t)dt = M{n(t)}s(t)dt = 0.00Дисперсия=M= TZ0TTZ Z0n(τ1 )s(τ1 )dτ1ZT0n(τ2 )s(τ2 )dτ2=M{n(τ1 )n(τ2 )}s(τ1 )s(τ2 )dτ1 dτ2 =0N0=2ZT ZT030σ2η = M{η(t)η(t)} =0δ(τ2 − τ1 )s(τ1 )s(τ2 )dτ1 dτ2 =N0=2ZTs(τ1 )0=ZT0N02ZTδ(τ2 − τ1 )s(τ2 )dτ2 dτ1 =s(τ1 )s(τ1 )dτ1 =N0 E.203адачи для самостоятельного решенияЗадача 1.

Найти математическое ожидание, дисперсию и плотность распределения вероятностей для случайного процессаu(t) = s(t) + n(t),где s(t) = S cos(ωt + ϕ) — детерминированная функция; n(t) —гауссовский случайный процесс с математическим ожиданиемmn (t) и дисперсией σ2n (t).22Ответ: mu = mn (t) +S cos(ωt + ϕ); σu (t) = σn (t); 2 {x − [mn (t) + S cos( ωt + ϕ)]}1exp −.w(u; t) = √2 σ2n (t)2 πσn (t)Задача 2.

Найти математическое ожидание, дисперсию и плотность вероятности случайного процессаu(t) = x(t) + y(t),где x(t) и y(t) — гауссовские стационарные случайные процессыс математическими ожиданиями mx и my и дисперсиями σ2x и σ2y ,характеризующиеся взаимной корреляционной функциейRxy (τ) = Ryx (τ) = R(0) exp(−λ|τ|).Ответ: mu = mx + my ; σ2u = σ2x + σ2y + 2R(0);w(u) = √1qexp2 π σ2x + σ2y + 2R(0)−[u − (mx + my )]2.2( σ2x + σ2y + 2R(0))Задача 3. Найти плотность вероятности случайного процессаη(t), представляющего собой сумму большого числа независимыхслучайных процессов ξi (t), каждый из которых распределен по31закону Рэлеяw(ξi ) = ξi exp− ξ2i,2ξi > 0,i = 1, 2, . . .

, N.r 2π− η−N12Ответ: w(η) = pexp.πN(4−)πN (4 − π)Задача 4. На вход линейной системы подается случайный процесс с произвольным законом распределения.Сформулировать условия, при которых закон распределениявыходной величины η(t) можно считать гауссовским.Задача 5. На вход дифференцирующей цепочки (рис. 2) воздействует случайное напряжение ξ(t), представляющее собой шум,спектральная плотность которогоN0 , 0 6 ω 6 ω1 ;S(ω) =0, ω < 0; ω > ω1 .Рис. 2. Схема дифференцирующей цепочкиНайти дисперсию D η напряжения η(t) на выходе цепочки.1N0Ответ: D η =arctg ω1 RC).(ω1 −RC2πЗадача 6.

На вход системы (рис. 3) воздействует ограниченное по полосе частот случайное напряжение ξ(t) со спектральнойплотностью мощностиN0 , ω0 − Δω 6 ω 6 ω0 + Δω;S ξ (ω) =0для всех других ω.32Рис. 3. Схема RC-фильтраРис. 4. Схема RL-цепочкиНайти спектральную плотность S η (ω) напряжения η(t) на выходе.R22 + ( ωCR1 R2 )2;Ответ: S η (ω) = N0(R1 + R2 )2 + ( ωCR1 R2 )2ω0 − Δω 6 ω 6 ω0 + Δω.Задача 7. На цепь, составленную из последовательно соединенных индуктивности L и сопротивления R (рис.

4), воздействует напряжение ξ(t), представляющее собой белый шум с нулевымматематическим ожиданием m ξ = 0 и спектральной плотностьюмощностиN0S ξ (ω) =, −∞ < ω < ∞.2Найти спектральную плотность мощности S η (ω) и корреляционную функцию R η (τ) напряжения η(t) на сопротивлении R.N0R2Ответ: S η (ω) =, −∞ < ω < ∞;2 R2 + ( ωL)2 −R| τ| N0 R.expR η (τ) =L2 2LЗадача 8. Определить, какие из случайных процессов с корреляционными функциями являются дифференцируемыми:1) R(τ) = exp[−λ|τ|]; 2) R(τ) = exp[−λ|τ|] cos ωτ;3) R(τ) = exp(−α2 τ2 ); 4) R(τ) = exp(−α2 τ2 ) cos ωτ.Ответ: 3) и 4).Задача 9.

Определить корреляционную функцию процессаη(t) =d ξ(t),dt33где ξ(t) — стационарный гауссовский случайный процесс с математическим ожиданием m ξ = 0 и корреляционной функциейR ξ (τ) = D ξ exp[−α|τ|](1 + α|τ|).Ответ: R η (τ) = α2 D ξ [1 − α|τ|] exp[−α|τ|].Задача 10. Показать, что стационарный случайный процессξ(t) и его производная в совпадающие моменты времени некоррелированы.Задача 11. Определить корреляционную функцию и дисперсиюслучайного процессаη(t) =еслиd ξ(t),dtαsin β|τ|).βαОтвет: R η (τ) = A(α2 + β2 ) exp[−α|τ|][cos βτ − sin β|τ|] ;βD η = R η (0) = A(α2 + β2 ).Задача 12. Определить взаимные спектральные плотностимощности S ξ ξ̇ (ω) и S ξ̇ξ (ω), если R ξ (τ) = A exp(−α2 τ2 ).√πAω2Ответ: S ξ ξ̇ (ω) = −S ξ̇ξ (ω) = j ω.exp −α4 α2Задача 13. Найти корреляционную функцию случайного процессаZtη(t) =ξ(t)dt,R ξ (τ) = A exp[−α|τ|](cos βτ +0где ξ(t) — стационарный случайный процесс с корреляционнойфункциейR ξ (τ) = σ2 exp[−α|τ|].σ2Ответ: R η (t1 , t2 ) =[2α min(t1 , t2 ) − 1 + exp(−αt1 ) +α2+ exp(−αt2 ) + exp[−α|t1 − t2 |].343.

ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВЧЕРЕЗ НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕИНЕРЦИОННЫЕ СИСТЕМЫКраткие теоретические сведенияПростейшим нелинейным преобразованием является преобразование, при котором значение выходного процесса η(t)в любоймомент времени определяется только значением входного процесса ξ(t)в тот же момент времени, т. е.η(t) = ϕ[ξ(t)].(3..1)При таком преобразовании плотность распределения вероятностейнаходится легко.Пусть входной случайный процесс имеет плотность распределения вероятностей w(ξ), а выходной процесс η(t) = ϕ[ξ(t)],причем обратная функция ξ(t) = ψ[η(t)] является однозначной.Тогда плотность распределения вероятностей выходного случайного процесса определяется как d ψ( η) .(3..2)w(η) = w[ψ(η)] dη Если обратная функция является К -значной, тоKX d ψi ( η) .w(η) =w[ψi (η)] dη (3..3)i=1Пусть случайные величины η1 , η2 , . .

. , ηn определяются какηi = ϕi (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ),i = 1, 2, . . . , n,причем обратные функцииξj = ψj (η1 , η2 , . . . , ηn ),j = 1, 2, . . . , n,являются однозначными.Тогдаwn (η1 , η2 , . . . , ηn ) == wn [ψ1 (η1 , η2 , . . . , ηn ), ψ2 (η1 , η2 , . . . , ηn ), . . . ,. . . , ψn (η1 , η2 , . . . , ηn )]|Dn |,(3..4)35гдеDn = ∂ ξ1∂ ξ1∂ ξ1......∂ η1∂ η2∂ ηn∂ ξ2∂ ξ2∂ ξ2......∂ η1∂ η2∂ ηn...... ...... ...... ......∂ ξn∂ η1∂ ξn∂ η2......∂ ξn∂ ηn(3..5)— якобиан преобразований от случайных величин ξ1 , ξ2 , .

. . , ξn кслучайным величинам η1 , η2 , . . . , ηn .Рассмотрим частный случай. Пустьη1 = ξ1 ;причем обратные функцииη2 = ϕ(ξ1 , ξ2 ),ξ1 = η1 ; ξ2 = ψ2 (η1 , η2 )являются однозначными.Якобиан преобразований 10 ∂ ψ2.D2 = ∂ ψ2 ∂ ψ2 = ∂ η2 ∂ηη∂12Плотность распределения вероятностей случайных величин η1и η2 ∂ ψ2 .w2 (η1 , η2 ) = w2 [η1 , ψ2 (η1 , η2 )] (3..6)∂ η2 Проинтегрировав выражение (3.6) по переменной η1 , найдемплотность распределения вероятностей w(η2 ) случайной величины η2 , которая представляет собой функцию двух случайных величин:Z∞ ∂ ψ2 ( η1 , η2 ) dη .w2 [η1 , ψ2 (η1 , η2 )] (3..7)w(η2 ) = 1∂ η2−∞Используя формулу (3.7), нетрудно найти плотности вероятностей суммы, разности, произведения и отношения двух случайныхвеличин:36w(η2 ) =w(η2 ) =w(η2 ) =w(η2 ) =Z∞−∞Z∞−∞Z∞−∞Z∞−∞w2 (ξ1 , η2 − ξ1 )dξ1 ;η2 = ξ1 + ξ2 ;(3..8)w2 (ξ1 , η2 + ξ1 )dξ1 ;η2 = ξ2 − ξ1 ;(3..9)η2 = ξ1 ξ2 ;(3..10)η2 = ξ2 /ξ1 .(3..11)w2ηξ1 , 2ξ11dξ ;| ξ1 | 1w2 (ξ1 , η2 ξ1 )|ξ1 |dξ1 ;В общем виде корреляционную функцию выходного процессаη(t) можно определить какR η (t1 , t2 ) =Z∞ Z∞−∞ −∞[η(t1 ) − m η (t1 )][η(t2 ) − m η (t2 )]××w2 (η1 , η2 ; t1 , t2 )dη1 dη2 .(3..12)При однозначной связи η = ϕ(ξ) справедливо равенствоw(η)dη = w(ξ)dξ,и формулу (3.12) можно переписать в видеR η (t1 , t2 ) =Z∞ Z∞−∞ −∞ϕ(ξ1 )ϕ(ξ2 )××w2 (ξ1 , ξ2 ; t1 , t2 )dξ1 dξ2 − m η (t1 )m η (t2 ).(3..13)При вычислении интеграла (3.13) приходится прибегать кразличным способам аппроксимации характеристики нелинейного устройства.

Часто используют полиномиальную и кусочнолинейную аппроксимации.37При полиномиальной аппроксимации характеристику нелинейного устройства представляют в виде ряда Тейлорагдеη = ϕ(ξ) = a0 + a1 (ξ − c) + . . . + an (ξ − c)n ,(3..14)1 dk ϕ( ξ) .ak =k! d ξk ξ=cФункция ϕ(ξ) должна быть аналитической в окрестности точки ξ = c. Число членов ряда определяется точностью аппроксимации.Корреляционная функция записывается в видеR η (t1 , t2 ) = a20 + a0 a1 [M{ξ(t1 )} + M{ξ(t2 )} − 2c]++a21 [M{ξ(t1 )ξ(t2 )} − c M{ξ(t1 )} − c M{ξ(t2 )}++c2 ] + . .

. + a2n M{[ξ(t1 ) − c]n [ξ(t2 ) − c]n } − m η (t1 )m η (t2 ),(3..15)т. е. является линейной комбинацией моментных функций входногопроцесса. При c = 0 ряд (3.14) переходит в ряд Маклорена.В случае кусочно-линейной аппроксимации используются саминелинейные характеристики и статистическое усреднение осуществляется непосредственно с плотностями вероятностей. При этомобласть интегрирования разбивается на ряд подобластей, в каждойиз которых нелинейная функция записывается в явном виде.При решении задач с гауссовскими стационарными случайными процессами с нулевыми математическими ожиданиями частооказывается удобным представление двумерной плотности вероятности в виде ряда n∞Xξ1ξ2 r ξ ( τ)−2(n+1)(n+1)w2 (ξ1 , ξ2 ; τ) = σΦΦ, (3..16)σσn!n=0гдеΦ(z) =Zz−∞1−t2√ expdt22π— интеграл вероятностей;Φ(n+1) (z) — производная n + 1-го порядка от интеграла вероятностей;38r ξ (τ) — нормированная корреляционная функция случайногопроцесса ξ(t).Разложение (3.16) позволяет легко находить двумерные моментные функции любого порядка:mij (τ) =Z∞ Z∞−∞ −∞= σi+jξi1 ξj2 w2 (ξ1 , ξ2 ; τ)dξ1 dξ2 =∞Xk=0гдеN μk =Z∞Nik Njkrkξ ( τ)k!,(3..17)ξ μ Φ(k+1) (ξ)dξ.−∞Можно указать следующий алгоритм для нахождения коэффициентов N μk :1) N μk = 0, если μ < k;2) N μk = 0, если индексы μ и k имеют различную четность;3) во всех остальных случаях к заданному числу μ добавляютсяв качестве сомножителей числа (μ − 1), (μ − 2), (μ − 3) и т.

д. так,чтобы всего было k сомножителей, затем все нечетные числа от(μ − k + 1) до 1, исключая число (μ − k + 1);4) коэффициент N μk положителен, если индексы четные, в противном случае он берется со знаком минус.Типовые примерыПример 1. На безынерционный односторонний квадратичныйдетектор с характеристикойαξ2 , ξ > 0, α > 0;η=0, ξ < 0воздействует стационарный гауссовский шум ξ(t) с плотностьювероятности1( ξ − m)2w(ξ) = √exp −.2 σ22 πσ39Определить плотность вероятности w(η) процесса η(t) на выходе детектора.Решение. Так как η > 0, то w(η) = 0 при η < 0.Все отрицательные значения входного процесса дают на выходе нулевое значение. Поэтому w(η = 0) = S δ(η), где S —вероятность того, что ξ < 0; δ(η) — дельта-функция.Для нахождения w(η) при η > 0 воспользуемся формулойпреобразования плотности вероятности (3.2): rη2(−m) 11α √w(η) = √exp − 2 αη .22σ2 πσТаким образом,0, η < 0; rη2(−m) 1w(η) =1α √√exp − 2 αη + S δ(η), η > 0.2σ2πσ2Пример 2.