Диссертация (Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты), страница 8

В первойиз них, расположенной выше указанной кривой, движение по интегральным кривым характеризуется монотонным уменьшением эксцентриситетаи монотонным увеличением среднего движения по орбите. Это означает,55Рис. 1.6что спутник приближается к планете. Во второй части фазовой плоскости, расположенной ниже разделительной кривой, движение имеет болеесложный петлеобразный характер.

Происходит увеличение величины ˜ донекоторого максимального значения с последующим его уменьшением донуля. При этом эксцентриситет достигает некоторого минимального значения, затем начинает увеличиваться. Т.е. в процесса эволюции большаяполуось и эксцентриситет орбиты спутника увеличиваются.Точка (0; 1) на фазовой плоскости соответствует движению спутникапо круговой орбите, при котором орбитальная угловая скорость совпадаетс угловой скоростью Ω вращения планеты. Это движение является стационарным.

Ранее в §1.4 было показано, что такое стационарное движениеявляется неустойчивым. Полученный ранее результат согласуется с поведением интегральных кривых на фазовом портрете в окрестности точки(0; 1).§1.5.2. б. Пространственный случайРассмотрим сначала невозмущенную задачу — движение спутника (материальной точки массы ) под действием силы F0 (рис. 1.3). Кинетическая56энергия спутника имеет вид:}︁ {︁ ˙ 22222 2˙ + sin · + ˙ . =2От обобщенных скоростей ˙ , ˙ , ˙ перейдем к обобщенным импульсам , , := ˙ ˙ == 2 ˙ sin2 ˙ == 2 ˙ ˙ =⇒˙ =˙ =2 sin2 ˙ =2Невозмущенный гамильтониан ( = 0) задачи имеет вид:⃒⃒˙˙0 = · + · + · ˙ − − 0 ⃒˙→˙→=→˙22 ( + )2+−.=+2 22 sin2 22(1.69)От переменных , , , , , перейдем к переменным Делоне , , , , , ℎ [6, 43] с помощью соотношений: =, =, =,=,ℎ=,=,где = [, , , , , ] — производящая функция канонического преобразования,∫︁ √︃∫︁ √︂220 2 2 02 4 = +2 −+− 2 − 2 ,sin2 (1.70)0 = ( + ).Компоненты вектора R в переменных Делоне в системе координат1 2 3 (рис.

1.7) определяются равенством:R = Γ3 (ℎ)Γ1 ()Γ3 ( + )(, 0, 0) ,(1.71)57где√︂22, = 1− 2,cos = , =0 2 (1 + cos )⎞⎛⎞⎛00 ⎟⎜1⎜cos − sin 0⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜Γ3 () = ⎜ sin cos 0⎟ , Γ1 () = ⎜0 cos − sin ⎟ ,⎟⎜⎟⎜⎠⎝⎠⎝0 sin cos 001 — эксцентриситет орбиты спутника, — долгота перигелия от восходящего узла, — истинная аномалия, зависящая от переменных , , через + cos соотношения: cos =, = − sin , в которых — средняя1 + cos аномалия, — эксцентрическая аномалия.Рис. 1.7Из уравнений (1.69) и (1.70) получим:√︂20 2 2 02 4 ==− 2− 2 , == ,√︃2 == 2 −.sin2 (1.72)Невозмущенный гамильтониан задачи (1.69) в переменных Делоне с02 3учетом (1.72) имеет вид: 0 = −, а дополнительный член возмущен2258ного гамильтониана равен{︂1 = −1 = −1Ω2(R, Ω)2+−6 335}︂,где вектор R определяется равенством (1.71), при этом его модуль является функцией переменных , , . Таким образом, гамильтониан задачиравен(1.73) = 0 + 1 .Канонические уравнения возмущенного движения в переменных Делоне имеют вид:1˙ = () + − ,1˙ = − ,1ℎ̇ = − ,1+ ,˙ = −1+ ,˙ = −1˙ = −+ ℎ ,ℎ(1.74)02 3, а обобщенные силы , , ℎ , , , определяются3из выражения для элементарной работы:где () = = F2 · R = ( + + ℎ ℎ + + + ),RRR, = F2 ·, ℎ = F2 ·,ℎRRR = F2 ·, = F2 ·, = F2 · = F2 ·F2 = −27{︃˙Γ˙ + 3 Γ}︃, Γ = R/(1.75)59Согласно равенству (1.71)⎞⎛⎜cos( + ) cos ℎ − sin( + ) sin ℎ cos ⎟⎟⎜⎟⎜R = ⎜cos( + ) sin ℎ + sin( + ) cos ℎ cos ⎟ , cos = ,⎟⎜⎠⎝sin( + ) sin (1.76)Дифференцирование по времени величин и в F2 производится всилу уравнений невозмущенного движения.

Так как единственной «быстрой» переменной является средняя аномалия , то производная по временивычисляется следующим образом:Поэтому(*) = (*) · ˙ = (*) · .2 sin ·=˙ =· 2 ( + )(1 − 2 )3/2Γ˙ =⎛(Γ)· − [Ω × Γ] =⎞⎜ cos( + ) sin ℎ(Ω − cos ) + sin( + ) cos ℎ(Ω cos − ) ⎟⎜⎟⎜⎟= ⎜− cos( + ) cos ℎ(Ω − cos ) + sin( + ) sin ℎ(Ω cos − )⎟⎜⎟⎝⎠ cos( + ) sin (1.77)Подставляя (1.76),(1.77) в (1.75) получим следующие выражения для обобщенных сил:{︂}︂2 2 = − 7 3 ( ) + ( − Ω ) 2 = − 6 ( − Ω ) {︂}︂22ℎ = − 6 sin2 ( + )Ω(1 − 2 ) + ( − Ω)(1.78) {︂}︂2 3 = − 6··+( −Ω )+ sin( + ) cos( + )Ω 2 2 2 Ω =sin(2 + 2)2660Обобщенная сила для усреднения не вычислялась, т. к.

— быстраяпеременная.Дополнительный член гамильтониана 1 в уравнениях системы (1.74)определяется равенством{︂1 = 1Ω2(R, Ω)2−−533 6}︂С учетом соотношения (1.76) и равенства Ω = (0; 0; Ω) получим{︃1 = 122Ω sin ( + )(1 −322 )2−Ω−33 6}︃Частные производные возмущающей части гамильтониана 1 имеют вид:{︂(︂)︂2Ω2 11sin2 ( + )(1 − 2 ) −+= 1 −3 4 3(︂)︂}︂Ω2 2+ 3 sin(2 + 2) (1 − 2 ) + 6 7 }︂{︂ 212Ωsin(2( + ))(1 − 2 )= 131=0ℎ{︂(︂)︂1Ω2 212= 1 −3 4sin ( + )(1 − 2 ) −+ 3}︂22Ω2Ω2+ 3 sin(2( + ))(1 − 2 ) + 2 3 sin2 ( + ) 3 + 6 7 {︂}︂21Ω= 1 −2 3 sin2 ( + ) 2(1.79)Усредним правые части уравнений (1.74), по быстрой угловой переменной с учетом полученных соотношений (1.78), (1.79). В формулах (1.78),(1.79) 3 sin 2 sin cos 2,==,=0 2 (1 + cos ) 0 2 0 2 0 2 (1 − 2 )3/2 (1 + cos )2 sin (2 + cos ) sin (2 + cos )=,=,=−(1 − 2 )3/2=61Процедура усреднения заключается в вычислении интеграла:1⟨ * ⟩ =2∫︁21( * ) =20∫︁2(1 − 2 )3/2(*)(1 + cos )20Усредненная система диф.

уравнений относительно переменных «действие» , , и медленных угловых переменных , ℎ имеет вид:{︁}︁1 42 3/2Ω cos (1 − ) 2 () − 3 () ,(1 − 2 )15/2}︁1 4 {︁2 3/2˙=Ω cos (1 − ) 1 () − 2 () ,(1 − 2 )6{︂[︂(︂)︂244311Ω(1 − 2 )3/2 1 () −++sin2 −˙ =26(1 − )2416(︂ 2)︂]︂}︂ (1.80)43−+sin2 · sin2 − 2 () cos ,24(︁)︁ ⎫⎧324)︂(︂⎨⎬15 1 + 2 + 82 7/315222Ω + +˙ =cos −(1 − 2 )2 ⎩ 22( + )(1 − 2 )3 ⎭{︂ 2}︂343 13/3Ω · cos · sin 2 ·+,+(1 − 2 )524{︂ 2}︂2 7/3 23 13/334Ω cos −Ω · sin 2+.ℎ̇ = −(1 − 2 )2(1 − 2 )524˙ =02 3Здесь =,33 4152 454 561 () = 1 + 3 + , 2 () = 1 +++,82816312 2554 1856 2583 () = 1 ++++,2816649()027()2 01, 2 =1 =,=,32/32/370( + )140220() =(1 + )(9 + 13)5 + 70.Заметим, что уравнение для угловой переменной ℎ отделяется от остальных уравнений системы (1.80), правые части которых не зависят от ℎ. Так√︀02 32 /2 , cos =как =,=1−, то используя первые три урав362нения системы (1.80), получим эволюционную систему уравнений относительно среднего движения спутника по орбите , эксцентриситета и наклонения орбиты :}︁63 16/3 {︁2 3/2˙ = −Ω cos (1 − ) 2 () − 3 () ,(1 − 2 )15/2}︁23 13/3 {︁2 3/2˙ =Ω cos (1 − ) 5 () − 4 () ,(1.81)(1 − 2 )13/2(︂)︂(︂)︂ }︂{︂23 13/3 sin · Ω 19 3 251 22=−+− sin +− sin 425(1 − )24 216 4135 2 135 4 45 611 33 2 11 4 + + , 5 () =+ + .48642416Система уравнений (1.81) совместно с четвертым уравнением системы(1.80) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений 4-го порядка относительно параметров орбиты спутника , , , .

Для большойполуоси орбиты справедливо равенство:где 4 () = 9 +√︀ = 3 0 −2 .(1.82)Из последнего уравнения системы (1.81) следует, что или ≡ 0, илинаклонение орбиты во все время движения монотонно уменьшается.На рис. 1.6 изображен фазовый портрет системы уравнений (1.81) вслучае ≡ 0 в плоскости переменных (, ˜ ), где ˜ = Ω−1 , т.е. для дифференциального уравнения3˜˜=−(1 − 2 ){︂}︂(1 − 2 )3/2 2 () − ˜ 3 ().(1 − 2 )3/2 5 () − ˜ 4 ()В 2004 году российскими астрономами [71] было установлено, что ежегодно Земля удаляется от Солнца в среднем на 15 сантиметров.

Используяэтот факт, получим средние скорости изменения больших полуосей орбитдругих планет Солнечной системы в рамках рассматриваемой в даннойработе модели. Из (1.81), (1.82) следует, что в случае ≡ 0{︁}︁27Δ0 11/32 3/2˙ =Ω(1 − ) 2 () − 3 () , (1.83)35 1/3 ( + )4/3 (1 − 2 )15/2где Δ = ().63Найдем значение параметра Δ, связанного с вязкоупругими свойствами Солнца, рассматривая систему Солнце-Земля и используя следующиезначения параметров, входящих в уравнение (1.83) [30]:см = 4, 753 · 10−9 м , = 5, 974 · 1024 кг, = 1, 989 · 1030 кг,˙ = 15 годс280 = 6, 96 · 10 м, = 6, 67 · 10−11 Нкг·м2 , = 1, 991 · 10−7 радс , = 0, 0167,22Ω = 2, 865 · 10−6 радс ( = , Ω = , = 365, 26 сут — период обращения Земли вокруг Солнца, = 25, 38 сут — сидерический период вращения·с3.Солнца).

Получим Δ = 3, 2977 · 10−5 мкгИспользуя найденное значение Δ, найдем из равенства (1.83) значения˙ для остальных планет солнечной системы, моделируя их материальнымиточками. Результаты вычислений представлены в таблице 1.1.Таблица 1.1. Скорости изменения больших полуосей орбит для планетСолнечной системыПланета(кг)(︀ рад )︀ссм˙ год(︁)︁Меркурий 3, 302·1023 0,2068, 267 · 10−7170, 39Венера4, 869·1024 0,006763, 236 · 10−768, 95Земля5, 974·1024 0,01671, 991 · 10−715, 0Марс6, 419·1023 0,093441, 059 · 10−70, 184Юпитер1, 899·1027 0,048901, 678 · 10−80, 602Сатурн5, 685·1026 0.056896, 712 · 10−96, 364 · 10−3Уран8, 663·1025 0.046342, 369 · 10−92, 103 · 10−5Нептун1, 028·1026 0,011291, 210 · 10−92, 069 · 10−664ГЛАВА 2ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЛАНЕТА-СПУТНИК ВГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ СИЛ (НЕОГРАНИЧЕННАЯПОСТАНОВКА)Вторая глава посвящена неограниченной постановке задачи о движении спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты.В первой главе вектор угловой скорости планетыΩсчитался по-стоянным.